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摘 要：数形结合思想在数学学科中是一种非常重要的思想。“数”是数学的抽象化符号语言，“形”是数学的直观化图形语言。以形助数，以数辅形，数形结合能化抽象为具体、化难为易、化繁为简、化隐为显，帮助学生理解数的概念、理解运算的算理、理解各种公式、灵活解题、突破难点等，以提高学生的分析与解决问题能力。
关键词：数学教学;数形结合;以形助数;以数辅形
我国著名数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形结合的重要意义。数形结合是北师大版教材的重要特点之一，数形结合是贯穿小学数学教材始终的一条主线。在教学中，当面对抽象的“数”时，可以借助“形”的直观，把复杂的问题变得简单明了;当认识“形”时，也可利用“数”的精确性来准确归纳“形”的特性。
一、以形助数，把抽象的数学知识直观化
（一）以形助数——帮助学生理解数的概念
数的概念的建立，处处蕴涵着数形结合的思想方法。如教学“数的认识”时，通过借助直观的图形帮助学生理解抽象的数的概念。例如，教学三年级下册“认识分数”，让学生通过画一画、涂一涂、折一折等活动认识分数，通过数和形的结合，更好地理解抽象的数的概念。
活动一：先让学生动手折出长方形纸的，学生有三种不同的折法（如下图），为什么都可以用表示呢？学生从图中一眼就可以看出“2”表示平均分的份数，“1”表示取其中的一份，初步理解的含义。再涂一涂课本第67页问题二，学生通过折纸和涂颜色，进一步建立的表象。
活动二：把长方形、正方形或圆形的纸片折一折，涂一涂，你能得到哪些分数？学生操作之后，跟同学交流自己的方法、展示自己找到的分数，并说一说是怎样得到这个分数的。这样通过动手操作和观察，学生充分理解了分数是把一个物体（或图形）平均分成几份，表示这样的一份或几份的数叫作分数。
（二）以形助数——帮助学生理解运算的算理
数形结合是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式，而计算是数学教学的重头戏，因此计算教学重在引导学生借助直观图形理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法并提高计算能力。例如，教学三年级下册“两位数除以一位数”时，学生读懂情境图后列出算式48÷3，发现被除数首位不是除数的整数倍，学生根据已有的知识经验无法解决，产生困惑。这时，适时地启发学生借助小棒分一分，通过直观操作帮助学生探索计算过程（即算理）。活动过程如下：1. 先分4捆（4个十），平均分给3人，每人分到1捆（1个十），共分走了3捆（3个十），还剩1捆（1个十）。2. 把1捆（1个十）拆成10根（10个一），和8根合在一起，再把18根平均分给3人，每人分到6根。这样每人一共分到16根。通过分物活动抽象出口算过程，先把48分成30和18，30÷3=10，18÷3=6，10 6=16。学生结合分物及口算的过程弄懂了算理，再尝试用除法竖式算一算，将实际操作与理解算理有机结合起来，使抽象、枯燥的数学计算具有灵动性，让学生既理解了算理，又掌握了算法。
（三）以形助数——提高学生分析与解决问题能力
解决问题能力的培养是数学教学中的重要任务。在教学中要尽量地渗透画图的思想和方法，使学生养成解题时通过画图帮助理解题意的思维习惯，逐步形成用画图解决问题的意识，巧妙利用直观的“形”，将抽象的数量关系具体化、图形化，解题思路形象化，化难为易、化繁为简、化隐为显。例如，三年级下册18页的第5题，题中说到奇思在泳道内游了3个来回，共游了150米，求游泳池的泳道有多长？这道题看似简单，但是很多学生只看表面信息，错误地列式为150÷3=50（米），这是因为学生没有认真理解“3个来回”的深层含义。为此，笔者引导学生画图来直观理解，发现“3个来回”实际上是6个泳道的长度，所以正确答案是150÷3÷2=25（米）或150÷（3×2）=25（米）。直观图形帮助学生养成善于发现隐藏的信息和养成仔细审题的好习惯。
（四）以形助数——帮助学生突破难点
小学生受年龄、知识、能力等多方面因素的影响，在学习过程中，有些知识点较难理解。这时如果教师能以形助教，就能收到事半功倍的效果。如在教学三年级上册长方形周长时，学生根据周长的意义，经过测量和计算，很快就得到了长方形的周长。展示汇报了三种方法：1. 长 宽 长 宽，2. 长×2 宽×2，3.（长 宽）×2。对第三种方法，虽然有一些学生探索出来了，但还有很多学生没有真正理解其中的道理。于是笔者设计了这样的活动：让学生用小棒摆一个长方形，然后把这个长方形的四条边拆开，重新组合。把一条长和一条宽组成一组（长 宽），另一条长和另一条宽又组成一组（长 宽）。学生通过操作，发现一共有2组（长 宽），这样就理解了长方形周长=（长 宽）×2这种方法。
二、以数辅形，使学生更准确地把握形
（一）以数辅形——帮助学生理解各种公式
几何图形的周长、面积、体积计算公式的推导，都是通过一系列的操作及数据的演算归纳得出的，是学生对形体直观知觉的深化。如教学长方形面积时，让学生摆一摆、量一量、算一算、填一填，再结合操作过程思考如下三个问题：（1）用1平方厘米小正方形摆一摆，你能发现长方形的面积是多少吗？（2）仔细观察一行摆多少个，能摆多少行？与长方形的长和宽有什么关系？（3）长方形的面积大小与它的长和宽有什么关系？
一系列的活动让学生发现：长有几厘米就能摆几个小正方形，宽有几厘米就能摆几行，长方形面积正好是长与宽的乘积。由此明白了长方形面积的计算公式：长方形面积=长×宽。
（二）以数辅形——帮助学生灵活解题
我们在探讨“形”的性质时，往往离不开“数”。有时通过具体计算就能一目了然。如这道题：用同样长的两根铁丝分别围成一个长方形和一个正方形，谁的面积大？仅凭图形难以判断，学生无从下手，教师可以引导学生通过计算来帮忙。假设这根铁丝长16厘米，学生要先想到可以围成怎样的长方形？有多少种围法？长和宽分别是多少？（长、宽取整厘米数）它们的面积又是多少呢？学生通过计算并填表格：（1）7×1=7（平方厘米），（2）6×2=12（平方厘米），（3）5×3=15（平方厘米），（4）4×4=16（平方厘米）。
这样学生通过具体数据的计算和表格的统计明白了：周长相等的长方形，长与宽相差越大，面积越小;长与宽相差越小，面积越大，当长和宽相等也就是正方形时面积最大。学生通过解决问题体会到数形结合的无窮魅力。
数形结合是一种教学方法、教学策略，教师重在帮助学生树立应用数形结合解决问题的意识，认识到数形结合是学习数学知识、解决数学问题的有效策略，同时教会学生运用数形结合解决问题的技巧，使学生受益终生。
关键词：数学教学;数形结合;以形助数;以数辅形
我国著名数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形结合的重要意义。数形结合是北师大版教材的重要特点之一，数形结合是贯穿小学数学教材始终的一条主线。在教学中，当面对抽象的“数”时，可以借助“形”的直观，把复杂的问题变得简单明了;当认识“形”时，也可利用“数”的精确性来准确归纳“形”的特性。
一、以形助数，把抽象的数学知识直观化
（一）以形助数——帮助学生理解数的概念
数的概念的建立，处处蕴涵着数形结合的思想方法。如教学“数的认识”时，通过借助直观的图形帮助学生理解抽象的数的概念。例如，教学三年级下册“认识分数”，让学生通过画一画、涂一涂、折一折等活动认识分数，通过数和形的结合，更好地理解抽象的数的概念。
活动一：先让学生动手折出长方形纸的，学生有三种不同的折法（如下图），为什么都可以用表示呢？学生从图中一眼就可以看出“2”表示平均分的份数，“1”表示取其中的一份，初步理解的含义。再涂一涂课本第67页问题二，学生通过折纸和涂颜色，进一步建立的表象。
活动二：把长方形、正方形或圆形的纸片折一折，涂一涂，你能得到哪些分数？学生操作之后，跟同学交流自己的方法、展示自己找到的分数，并说一说是怎样得到这个分数的。这样通过动手操作和观察，学生充分理解了分数是把一个物体（或图形）平均分成几份，表示这样的一份或几份的数叫作分数。
（二）以形助数——帮助学生理解运算的算理
数形结合是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式，而计算是数学教学的重头戏，因此计算教学重在引导学生借助直观图形理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法并提高计算能力。例如，教学三年级下册“两位数除以一位数”时，学生读懂情境图后列出算式48÷3，发现被除数首位不是除数的整数倍，学生根据已有的知识经验无法解决，产生困惑。这时，适时地启发学生借助小棒分一分，通过直观操作帮助学生探索计算过程（即算理）。活动过程如下：1. 先分4捆（4个十），平均分给3人，每人分到1捆（1个十），共分走了3捆（3个十），还剩1捆（1个十）。2. 把1捆（1个十）拆成10根（10个一），和8根合在一起，再把18根平均分给3人，每人分到6根。这样每人一共分到16根。通过分物活动抽象出口算过程，先把48分成30和18，30÷3=10，18÷3=6，10 6=16。学生结合分物及口算的过程弄懂了算理，再尝试用除法竖式算一算，将实际操作与理解算理有机结合起来，使抽象、枯燥的数学计算具有灵动性，让学生既理解了算理，又掌握了算法。
（三）以形助数——提高学生分析与解决问题能力
解决问题能力的培养是数学教学中的重要任务。在教学中要尽量地渗透画图的思想和方法，使学生养成解题时通过画图帮助理解题意的思维习惯，逐步形成用画图解决问题的意识，巧妙利用直观的“形”，将抽象的数量关系具体化、图形化，解题思路形象化，化难为易、化繁为简、化隐为显。例如，三年级下册18页的第5题，题中说到奇思在泳道内游了3个来回，共游了150米，求游泳池的泳道有多长？这道题看似简单，但是很多学生只看表面信息，错误地列式为150÷3=50（米），这是因为学生没有认真理解“3个来回”的深层含义。为此，笔者引导学生画图来直观理解，发现“3个来回”实际上是6个泳道的长度，所以正确答案是150÷3÷2=25（米）或150÷（3×2）=25（米）。直观图形帮助学生养成善于发现隐藏的信息和养成仔细审题的好习惯。
（四）以形助数——帮助学生突破难点
小学生受年龄、知识、能力等多方面因素的影响，在学习过程中，有些知识点较难理解。这时如果教师能以形助教，就能收到事半功倍的效果。如在教学三年级上册长方形周长时，学生根据周长的意义，经过测量和计算，很快就得到了长方形的周长。展示汇报了三种方法：1. 长 宽 长 宽，2. 长×2 宽×2，3.（长 宽）×2。对第三种方法，虽然有一些学生探索出来了，但还有很多学生没有真正理解其中的道理。于是笔者设计了这样的活动：让学生用小棒摆一个长方形，然后把这个长方形的四条边拆开，重新组合。把一条长和一条宽组成一组（长 宽），另一条长和另一条宽又组成一组（长 宽）。学生通过操作，发现一共有2组（长 宽），这样就理解了长方形周长=（长 宽）×2这种方法。
二、以数辅形，使学生更准确地把握形
（一）以数辅形——帮助学生理解各种公式
几何图形的周长、面积、体积计算公式的推导，都是通过一系列的操作及数据的演算归纳得出的，是学生对形体直观知觉的深化。如教学长方形面积时，让学生摆一摆、量一量、算一算、填一填，再结合操作过程思考如下三个问题：（1）用1平方厘米小正方形摆一摆，你能发现长方形的面积是多少吗？（2）仔细观察一行摆多少个，能摆多少行？与长方形的长和宽有什么关系？（3）长方形的面积大小与它的长和宽有什么关系？
一系列的活动让学生发现：长有几厘米就能摆几个小正方形，宽有几厘米就能摆几行，长方形面积正好是长与宽的乘积。由此明白了长方形面积的计算公式：长方形面积=长×宽。
（二）以数辅形——帮助学生灵活解题
我们在探讨“形”的性质时，往往离不开“数”。有时通过具体计算就能一目了然。如这道题：用同样长的两根铁丝分别围成一个长方形和一个正方形，谁的面积大？仅凭图形难以判断，学生无从下手，教师可以引导学生通过计算来帮忙。假设这根铁丝长16厘米，学生要先想到可以围成怎样的长方形？有多少种围法？长和宽分别是多少？（长、宽取整厘米数）它们的面积又是多少呢？学生通过计算并填表格：（1）7×1=7（平方厘米），（2）6×2=12（平方厘米），（3）5×3=15（平方厘米），（4）4×4=16（平方厘米）。
这样学生通过具体数据的计算和表格的统计明白了：周长相等的长方形，长与宽相差越大，面积越小;长与宽相差越小，面积越大，当长和宽相等也就是正方形时面积最大。学生通过解决问题体会到数形结合的无窮魅力。
数形结合是一种教学方法、教学策略，教师重在帮助学生树立应用数形结合解决问题的意识，认识到数形结合是学习数学知识、解决数学问题的有效策略，同时教会学生运用数形结合解决问题的技巧，使学生受益终生。