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摘要：凡是高于自己所教学段，能够正确指导本学段数学教学的数学方法都可以称为高观点。有许多初等数学的现象只有在更高的理论结构内才能被深刻地理解，初中数学的教学确实需要“高观点”的指导。
关键词：高观点；初中数学教学
中图分类号：G633.63文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）16-025-2
朱崇义、王宇峰两位老师谈到教师应当用高观点指导初中数学的教学，对此，笔者觉得两位的建议很有必要！但笔者以为，这里的“高观点”不一定是指高等数学的观点，而是指高于自己所教学段，能够正确指导本学段数学教学的“高观点”。那么初中数学教师为何要用“高观点”指导教学？笔者现通过几个初中数学教学中常见的知识，力图厘清这个问题，请广大同仁指正。
一、几个案例说明我们的确需要“高观点”指导
1.满足“SSA”的两个钝角三角形真的全等吗？
关于“SSA”能不能判定两个三角形全等，向中军老师在文说“如果两个三角形都是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，那么满足“SSA”的两个三角形是可以判定全等的……”。无独有偶，2015年4月，笔者在苏州市初一数学教学研讨会上，一位老师在《全等三角形》的教学展示课上也谈到满足“SSA”的两个钝角三角形全等，更有甚者2016六盘水市中考数学试题也出现类似错误。反例如下：
已知：△ABC中，∠B=30°，BC=4，AC=3，解这个三角形。
略解：由正弦定理asinA=bsinB，得sinA=23，则∠A=sin-123≈42°，∠C≈108°，AB=23 5或∠A=180°-sin-123≈138°，∠C≈12°，AB=23-5。從结果可以看出这个三角形有两解，而且都是钝角三角形。让我们来把其中相等的关系理一理：这两个三角形都有一条边是4，即B1C1=B2C2=4，都有一个角等于30°，即∠B1=∠B2=30°且30°的对边A1C1=A2C2=3，由于∠A1=138°，∠C2=108°故都是钝角三角形，如图所示，尽管它们是满足“SSA”的一对钝角三角形，它们却不是一对全等的钝角三角形！
反思：其实在钝角三角形中，这个问题应当表述为“两个钝角三角形中，若已知两个钝角相等，且两个钝角所对的边及另一对边也相等，则这两个三角形全等”。必须注意这里的条件一定要已知两个钝角相等，这样由正弦定理，三角形的形状和大小才唯一确定。所以这个问题更一般的表述应当是“两组边及其中较大边的对角对应相等的两个三角形全等。”文对这个问题采用分类探究的方法很好的解决了“SSA”什么情况下可以判定全等的问题，值得欣赏。不过如果从高中解三角形的角度看待这个问题更能反映问题的实质——三角形满足何种条件有唯一解的问题。所以德国数学家克莱因认为“理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单”。
2.没有给出图形意义的按规律填空，答案必唯一吗？
师：根据你发现的规律填空：1，4，9，。
生1：答案是16。
师：很好，说说你的解法！
生1：因为1=12，4=22，9=32，归纳出第四项应当是42，所以我的答案是16。
生2：老师，我的答案也是16，不过我是这么想的。因为题目相当于给出直角坐标系中三对点，即（1，1），（2，4），（3，9），因为答案是唯一的，所以前三者一定在某一给定函数的图像上。所以令y=ax2 bx c（a≠0，a、b、c为常数），带入上述三点，解得a=1，b=c=0。所以y=x2，令x=4，则y=16，故答案为16。
师：很好。这个同学能够站在更高的视野，用函数的观点来解释这种找规律的问题。你的思维很有创造性！
生3：老师，我的答案和他们的不一样，是22。不过，我觉得它也是对的！
师：你是怎么做的？
生3：我和他的想法差不多！不过我觉得这里应当是四个点出现在同一个函数图像上！
师：这个想法没有问题。
生3：所以我令y=ax3 bx2 cx d（a、b、c、d为常数，a≠0），带入上述三点，得b=1-6a，c=11a，d=-6a，再令a=1，则y=x3-5x2 11x-6，当x=4时，y=22。
师：这个确实有些奇怪，……
点评：记得以前曾经有老师撰文谈到利用拉格朗日插值法（其实也可以用样条函数插值法）来解释这种不唯一的现象，拉格朗日插值法的本质是：总可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。此处不再赘述用拉格朗日插值法或者用样条函数插值求解的办法，而是用初中生能理解的方法谈谈为什么会出现答案不唯一的现象。对照生2与生3的解法可以发现，生2设出的函数表达式中有三个系数，而问题原来给出的恰好是三个点，所以根据待定系数法可知的方程组自由度为0，有唯一解；而生3认为“应当是四个点出现在同一个函数图像上”，所以在他所设出的表达式中就含有4个参数，同样因为问题原来给出的只有三个点，所以根据待定系数法获得的方程组自由度为1，有无数个解。生2之所以设出一个二次函数，是基于“因为答案是唯一的，所以前三者一定在某一给定函数的图像上”这一判断。
二、用“高观点”指导初中数学教学≠初中阶段的试卷考高中、大学的知识点
首先，朱崇义老师在他文章里提到的那些“高观点命题思想”确实要不得！文章认为：“带有选拔特征的数学教育考试往往前置思维考区，小学毕业生以“新概念”形式考初中知识体系、初中考高中、高中考大学知识等高于教材的事实性思维事件。这种超前的命题意识超出了现有教材的思维水平，反映了命题观的高阶性。”笔者强烈认为这种命题观压根不是什么“超前意识”，反而恰恰反映了命题意识的落后，与命题的“能力立意”的指导思想是格格不入的。近年来有些地方的中考数学命题中出现了高中的抛物线的准线、对数概念、弧度制等内容，为此笔者真的心疼这些地区的初三孩子们。有些孩子甚至有些老师，在第一时间看到这些知识为背景的考卷时简直可以用欣喜万分来形容，因为他们讲过，而更多的孩子和老师则非常沮丧。请问这还能体现考试公平的原则吗？笔者呼吁：不能随便下放高中或大学的具体知识点，否则在当前高考指挥棒下，由于教、学、考的一脉相承，教师必然把原本应在高中、甚至大学讲授的内容下放到初中进行拔苗助长式的教学，以力求能应对这种“高观点命题”，长此以往，必将加重学生课业负担，不利于发展学生的数学核心素养。文章的作者还认为中考命题“聚焦于初、高中知识的衔接点、交汇处的考查，并不是将高中知识下放到初中考查，而是基于课标和初中生认知能力，这是命题和教学必须守住的底线。”同样文的作者对“高观点命题”取向就“一直持反对的态度”。所以要用“高观点”审视我们的初中数学命题，就是既要让命题体现高中选拔的功能，与高中教学接轨，又不能下放高中或大学的具体知识点。要体现“方法优先”的原则，即命题时，优先考虑数学思想和数学方法的考查，特别是有利于后续数学学习的、对人的发展有长远意义的思想方法，这些方法在高中数学、大学数学教材中都是应当得到充分展示的，这才是真正的“高阶命题观”。
[参考文献]
[1]朱崇义.自然解法源于“高观点”统领.中学数学教学参考（中旬），2016（04）.
[2]王宇峰.找回“自然解法”的本源意义.中学数学教学参考（中旬），2016（10）.
[3]向中军.试题命制应紧扣教材和课标.中学数学教学参考（中旬），2016（05）.
[4]周玲.增加一节“SSA”探究课又何妨？中学数学教学参考（中旬），2016（06）.
[5]钱德春，何乐.数载坚守 只为初心.中学数学教学参考（中旬），2016（09）.
关键词：高观点；初中数学教学
中图分类号：G633.63文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）16-025-2
朱崇义、王宇峰两位老师谈到教师应当用高观点指导初中数学的教学，对此，笔者觉得两位的建议很有必要！但笔者以为，这里的“高观点”不一定是指高等数学的观点，而是指高于自己所教学段，能够正确指导本学段数学教学的“高观点”。那么初中数学教师为何要用“高观点”指导教学？笔者现通过几个初中数学教学中常见的知识，力图厘清这个问题，请广大同仁指正。
一、几个案例说明我们的确需要“高观点”指导
1.满足“SSA”的两个钝角三角形真的全等吗？
关于“SSA”能不能判定两个三角形全等，向中军老师在文说“如果两个三角形都是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，那么满足“SSA”的两个三角形是可以判定全等的……”。无独有偶，2015年4月，笔者在苏州市初一数学教学研讨会上，一位老师在《全等三角形》的教学展示课上也谈到满足“SSA”的两个钝角三角形全等，更有甚者2016六盘水市中考数学试题也出现类似错误。反例如下：
已知：△ABC中，∠B=30°，BC=4，AC=3，解这个三角形。
略解：由正弦定理asinA=bsinB，得sinA=23，则∠A=sin-123≈42°，∠C≈108°，AB=23 5或∠A=180°-sin-123≈138°，∠C≈12°，AB=23-5。從结果可以看出这个三角形有两解，而且都是钝角三角形。让我们来把其中相等的关系理一理：这两个三角形都有一条边是4，即B1C1=B2C2=4，都有一个角等于30°，即∠B1=∠B2=30°且30°的对边A1C1=A2C2=3，由于∠A1=138°，∠C2=108°故都是钝角三角形，如图所示，尽管它们是满足“SSA”的一对钝角三角形，它们却不是一对全等的钝角三角形！
反思：其实在钝角三角形中，这个问题应当表述为“两个钝角三角形中，若已知两个钝角相等，且两个钝角所对的边及另一对边也相等，则这两个三角形全等”。必须注意这里的条件一定要已知两个钝角相等，这样由正弦定理，三角形的形状和大小才唯一确定。所以这个问题更一般的表述应当是“两组边及其中较大边的对角对应相等的两个三角形全等。”文对这个问题采用分类探究的方法很好的解决了“SSA”什么情况下可以判定全等的问题，值得欣赏。不过如果从高中解三角形的角度看待这个问题更能反映问题的实质——三角形满足何种条件有唯一解的问题。所以德国数学家克莱因认为“理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单”。
2.没有给出图形意义的按规律填空，答案必唯一吗？
师：根据你发现的规律填空：1，4，9，。
生1：答案是16。
师：很好，说说你的解法！
生1：因为1=12，4=22，9=32，归纳出第四项应当是42，所以我的答案是16。
生2：老师，我的答案也是16，不过我是这么想的。因为题目相当于给出直角坐标系中三对点，即（1，1），（2，4），（3，9），因为答案是唯一的，所以前三者一定在某一给定函数的图像上。所以令y=ax2 bx c（a≠0，a、b、c为常数），带入上述三点，解得a=1，b=c=0。所以y=x2，令x=4，则y=16，故答案为16。
师：很好。这个同学能够站在更高的视野，用函数的观点来解释这种找规律的问题。你的思维很有创造性！
生3：老师，我的答案和他们的不一样，是22。不过，我觉得它也是对的！
师：你是怎么做的？
生3：我和他的想法差不多！不过我觉得这里应当是四个点出现在同一个函数图像上！
师：这个想法没有问题。
生3：所以我令y=ax3 bx2 cx d（a、b、c、d为常数，a≠0），带入上述三点，得b=1-6a，c=11a，d=-6a，再令a=1，则y=x3-5x2 11x-6，当x=4时，y=22。
师：这个确实有些奇怪，……
点评：记得以前曾经有老师撰文谈到利用拉格朗日插值法（其实也可以用样条函数插值法）来解释这种不唯一的现象，拉格朗日插值法的本质是：总可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数。此处不再赘述用拉格朗日插值法或者用样条函数插值求解的办法，而是用初中生能理解的方法谈谈为什么会出现答案不唯一的现象。对照生2与生3的解法可以发现，生2设出的函数表达式中有三个系数，而问题原来给出的恰好是三个点，所以根据待定系数法可知的方程组自由度为0，有唯一解；而生3认为“应当是四个点出现在同一个函数图像上”，所以在他所设出的表达式中就含有4个参数，同样因为问题原来给出的只有三个点，所以根据待定系数法获得的方程组自由度为1，有无数个解。生2之所以设出一个二次函数，是基于“因为答案是唯一的，所以前三者一定在某一给定函数的图像上”这一判断。
二、用“高观点”指导初中数学教学≠初中阶段的试卷考高中、大学的知识点
首先，朱崇义老师在他文章里提到的那些“高观点命题思想”确实要不得！文章认为：“带有选拔特征的数学教育考试往往前置思维考区，小学毕业生以“新概念”形式考初中知识体系、初中考高中、高中考大学知识等高于教材的事实性思维事件。这种超前的命题意识超出了现有教材的思维水平，反映了命题观的高阶性。”笔者强烈认为这种命题观压根不是什么“超前意识”，反而恰恰反映了命题意识的落后，与命题的“能力立意”的指导思想是格格不入的。近年来有些地方的中考数学命题中出现了高中的抛物线的准线、对数概念、弧度制等内容，为此笔者真的心疼这些地区的初三孩子们。有些孩子甚至有些老师，在第一时间看到这些知识为背景的考卷时简直可以用欣喜万分来形容，因为他们讲过，而更多的孩子和老师则非常沮丧。请问这还能体现考试公平的原则吗？笔者呼吁：不能随便下放高中或大学的具体知识点，否则在当前高考指挥棒下，由于教、学、考的一脉相承，教师必然把原本应在高中、甚至大学讲授的内容下放到初中进行拔苗助长式的教学，以力求能应对这种“高观点命题”，长此以往，必将加重学生课业负担，不利于发展学生的数学核心素养。文章的作者还认为中考命题“聚焦于初、高中知识的衔接点、交汇处的考查，并不是将高中知识下放到初中考查，而是基于课标和初中生认知能力，这是命题和教学必须守住的底线。”同样文的作者对“高观点命题”取向就“一直持反对的态度”。所以要用“高观点”审视我们的初中数学命题，就是既要让命题体现高中选拔的功能，与高中教学接轨，又不能下放高中或大学的具体知识点。要体现“方法优先”的原则，即命题时，优先考虑数学思想和数学方法的考查，特别是有利于后续数学学习的、对人的发展有长远意义的思想方法，这些方法在高中数学、大学数学教材中都是应当得到充分展示的，这才是真正的“高阶命题观”。
[参考文献]
[1]朱崇义.自然解法源于“高观点”统领.中学数学教学参考（中旬），2016（04）.
[2]王宇峰.找回“自然解法”的本源意义.中学数学教学参考（中旬），2016（10）.
[3]向中军.试题命制应紧扣教材和课标.中学数学教学参考（中旬），2016（05）.
[4]周玲.增加一节“SSA”探究课又何妨？中学数学教学参考（中旬），2016（06）.
[5]钱德春，何乐.数载坚守 只为初心.中学数学教学参考（中旬），2016（09）.