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一、研究目的
“屡错屡改，屡改屡错”现象是小学数学教学中的一种常见现象。学生在同类数学问题上出现错误，通过改正、订正，结果还是出错，屡次循环，不断出现，这种现象常常令教师困惑，令学生迷茫，是小学数学教学中的一种“顽症”。另一方面，数学学困生往往存在“屡错屡改，屡改屡错”的问题，这也是导致数学学困生产生的一个重要原因，特别是在数学学习方面的学困生人数较多。我国小学阶段已经全面实现义务教育，而义务教育的一个重要问题是学困生的问题。在以前的精英教育与应试教育中，这些学生几乎都被“淘汰”掉，在教学中被忽视，而现在如何处理好学困生的问题是义务教育的一个重点问题，也是如何处理好数学课程改革中较早出现两极分化问题的一个重要方面。
二、研究对象
根据问题的性质及研究的条件，选取研究者所任教班级的一名数学学困生——学生Z为例。学生Z智力处于中等水平，学习态度较好，在学习混合运算时有典型性错题，并存在“屡错屡改，屡改屡错”的现象。图1、图2表明学生在练习与测试中经常出现类似的错误，并且出现在不同的题型中，说明这种现象的出现不是偶然的，也不仅是数学知识上存在的缺陷。
这对学生Z的后继发展有严重影响，并且说明学生Z是一名典型的数学学困生。通过填写数学错题反思表发现该生不会对错题进行反思。具体见图3。
以下的访谈也表明该生没有对数学错题进行反思的能力。
师：你了解过反思吗?知道反思是怎么回事吗?
生Z：我了解反思，反思是把错题温习一遍。
师：你知道对错题反思些什么内容吗?
生Z：就把这个习题的大概意思的错误告诉我们什么，了解一遍就行了。
师：不用找出错的原因吗？
生Z:要找出错的原因。
以上的分析与访谈表明，学生Z成为一名数学学困生的重要原因是有典型的数学错题，存在“屡错屡改，屡改屡错”的问题，且对数学错题不会进行反思，教学中需要设计反思能力培养的教学对策，培养学生Z对数学错题的反思能力。所以选择学生Z为研究对象，以培养学生Z数学错题的反思能力为切入口，对其数学学习进行转化。
三、研究的实施
首先，有意识地对学生Z的数学错题进行合理的正面评价，改变学生对数学错题的认识。如以下的一些关于数学错题的观点。
学习数学要做一定量的习题，出现错题是不可避免的，数学错题是数学学习的一种宝贵资源。数学错题有时也是数学学习中的一种创造性的表现。通过对数学错题的学习与反思能有效地提高学习成绩，数学错题不可怕，可怕的是对错题的逃避等。
其次，实施以下几个具体教学环节：
1．教师示范：借助错题反思表与课堂教学，教师对错题进行反思示范。针对学生Z学习中出现的错题，如“92 38×59 ,（400-300）＋8”等该生的错题变式进行示范教学。
2．学生自练：在教师示范的基础上，发给学生错题反思表。一是学生根据教师的示范，订正作业、试卷、练习中出现的错题；二是教师出示相关的数学错题，让学生进行分析反思练习，体验对错题进行反思的步骤及反思的有效性。如图4是学生初期自练的反思表。
3．师生修正：发现问题时对学生进行指导与纠正，同时教师也改变指导策略及重新设计指导计划。通过小学数学错题反思表发现该生对错题的反思还局限于解题本身，没有抓住错误的本质，对错题的反思有时还很被动。如图5所示，学生Z就题目中住宅的现实情境进行分析反思，而没有认识到题目的数学本质。
从该生的作业与练习的订正中也发现了类似的问题。另外，以下访谈也发现了上述问题。
师：订正错题你有反思的习惯吗？如：这道题出现错误的原因是什么?订正了这道错题你吸取了什么经验?
生：有时候有反思的习惯，有时候没有。
师：在对错题进行反思学习时，你遇到过什么困难吗?
生：有时候真的遇到过许多困难。
师：比如说？
生：像那些思考题就是难点嘛！所以我都会向家长请教。
师：不愿对错题进行反思的原因是什么呢？
生：觉得这样累死了，根本就没有必要！
并进一步可以发现学生有时不愿反思是怕麻烦，这在以后的培养中也注意到了这一点，对相对简单的错题，让学生自行掌握反思步骤，有时可采用“订正 归纳总结”的简单模式。
总体上对该生进行课外辅导，要求进一步说明反思时要从“旁观者”的视角，对错误进行适当的归类与提升，要力图推广到同类问题。经过一段时间的练习，该生的反思水平有了明显提高。
4．学会反思：通过观察与分析学生的数学错题反思表、作业、试卷及访谈等，对学生的数学错题反思能力进行观察、分析，确认学生形成了一定的数学错题反思能力。如图6是学生Z对测试中错题的订正与反思，说明该生学会了对数学错题进行反思，具备了一定的反思能力。
四、效果评价
通过日常的数学测试及练习等发现该生的类似数学错题明显减少，如图7所示。
学生Z的数学成绩也明显提高，几次平时测验的成绩为：83，88，73.5，
76，71等，期末数学考试成绩为98分。作为一名学困生这还引起了其以前数学老师、班主任及其家长的惊讶。以下的访谈虽不太明确，但也说明该生学会了反思、认识到反思的重要性与有效性，并对反思提出了自己的一点看法。
师：你觉得对错题进行反思给你带来了哪些好处?（对错题的认识、学习的主动性、学习的有效性等探索）
生：好处呢是……嗨！（叹了口气），好处是让我更深刻地了解重点、难点。
师：你能不能举个例子？比如哪道题的重点、难点？
生：比如说，重点……（结合反思表学生指出了他认为的重点题与重要注意点），难点……（结合反思表学生指出了他认为的难点题与主要难点）。
师：对错题进行反思你有什么好的建议？
生：嗯……要深层地理解题目，尽量找出错误的原因，要尽量加强反思。
主要培养效果如下：
1．学生Z能十分坦然地对待错题，把错题视为有效的、正常的数学学习资源。
2．学生Z学会了对数学错题进行反思，形成了一定的数学错题反思能力。作业与考试中出现错题能自觉地进行反思。
3．提高了学生Z对数学学习的兴趣与成绩，课堂上学生Z认真听讲，积极发言，踊跃参与，表现出对数学学习的积极情感。
五、形成策略
学生Z是一名数学学困生，在数学学习中存在典型的数学错题，存在“屡错屡改，屡改屡错”的问题，主要原因是学生Z不会对数学错题进行反思，没有形成一定的数学错题反思能力。针对这个问题，笔者认为可通过培养学生Z的数学错题反思能力来解决，反思能力作为一种元认知能力，按元认知能力培养的一般思路，构建了“一表格 四环节 二分段”的反思能力培养策略：
一表格：设计小学数学错题反思表，利用表格的形式规范以下的错题反思步骤：
错解再现→错误所在→错误原因→正确解法→归纳总结
使学生学会以错题为对象进行反思学习的习惯，从微观上为学生的错题反思提供可操作的程式。
四环节：设计以下四环节对学生的数学错题反思能力进行培养。从宏观上按策略性知识的学习方式，培养学生的反思能力。
教师示范→学生自练→师生修正→学会反思
二分段：经过一段时间的训练与培养后，学生认为对一些简单的数学错题都按反思表的五个步骤进行反思有些繁琐，久而久之学生会失去对数学错题反思的积极性。所以再根据学生的实际情况，对一些简单错题的反思进行简化，在传统订正的基础上，进行反思归纳，形成以下简单模式：
订正 归纳总结
经过一段时间的培养形成学生对数学错题的反思能力，提高了学生Z的数学学习成绩，有效地解决了学生Z存在的“屡错屡改，屡改屡错”的问题。
当然，研究过程中也存在一些不足，如因研究的需要与学生Z的学习交流应更多些，关注也多些，有一部分成绩的提高可能是交流的情感作用产生的，而这与反思能力培养产生的效果在本研究中难以区分。另外，通过个案研究得到本策略，结论的推广有一定的局限性。
注：本文是江苏省教育科学“十一五”规划2009年度重点自筹课题《小学生数学错题反思能力的培养研究》（B—b/2009/02/038）的阶段性成果。
“屡错屡改，屡改屡错”现象是小学数学教学中的一种常见现象。学生在同类数学问题上出现错误，通过改正、订正，结果还是出错，屡次循环，不断出现，这种现象常常令教师困惑，令学生迷茫，是小学数学教学中的一种“顽症”。另一方面，数学学困生往往存在“屡错屡改，屡改屡错”的问题，这也是导致数学学困生产生的一个重要原因，特别是在数学学习方面的学困生人数较多。我国小学阶段已经全面实现义务教育，而义务教育的一个重要问题是学困生的问题。在以前的精英教育与应试教育中，这些学生几乎都被“淘汰”掉，在教学中被忽视，而现在如何处理好学困生的问题是义务教育的一个重点问题，也是如何处理好数学课程改革中较早出现两极分化问题的一个重要方面。
二、研究对象
根据问题的性质及研究的条件，选取研究者所任教班级的一名数学学困生——学生Z为例。学生Z智力处于中等水平，学习态度较好，在学习混合运算时有典型性错题，并存在“屡错屡改，屡改屡错”的现象。图1、图2表明学生在练习与测试中经常出现类似的错误，并且出现在不同的题型中，说明这种现象的出现不是偶然的，也不仅是数学知识上存在的缺陷。
这对学生Z的后继发展有严重影响，并且说明学生Z是一名典型的数学学困生。通过填写数学错题反思表发现该生不会对错题进行反思。具体见图3。
以下的访谈也表明该生没有对数学错题进行反思的能力。
师：你了解过反思吗?知道反思是怎么回事吗?
生Z：我了解反思，反思是把错题温习一遍。
师：你知道对错题反思些什么内容吗?
生Z：就把这个习题的大概意思的错误告诉我们什么，了解一遍就行了。
师：不用找出错的原因吗？
生Z:要找出错的原因。
以上的分析与访谈表明，学生Z成为一名数学学困生的重要原因是有典型的数学错题，存在“屡错屡改，屡改屡错”的问题，且对数学错题不会进行反思，教学中需要设计反思能力培养的教学对策，培养学生Z对数学错题的反思能力。所以选择学生Z为研究对象，以培养学生Z数学错题的反思能力为切入口，对其数学学习进行转化。
三、研究的实施
首先，有意识地对学生Z的数学错题进行合理的正面评价，改变学生对数学错题的认识。如以下的一些关于数学错题的观点。
学习数学要做一定量的习题，出现错题是不可避免的，数学错题是数学学习的一种宝贵资源。数学错题有时也是数学学习中的一种创造性的表现。通过对数学错题的学习与反思能有效地提高学习成绩，数学错题不可怕，可怕的是对错题的逃避等。
其次，实施以下几个具体教学环节：
1．教师示范：借助错题反思表与课堂教学，教师对错题进行反思示范。针对学生Z学习中出现的错题，如“92 38×59 ,（400-300）＋8”等该生的错题变式进行示范教学。
2．学生自练：在教师示范的基础上，发给学生错题反思表。一是学生根据教师的示范，订正作业、试卷、练习中出现的错题；二是教师出示相关的数学错题，让学生进行分析反思练习，体验对错题进行反思的步骤及反思的有效性。如图4是学生初期自练的反思表。
3．师生修正：发现问题时对学生进行指导与纠正，同时教师也改变指导策略及重新设计指导计划。通过小学数学错题反思表发现该生对错题的反思还局限于解题本身，没有抓住错误的本质，对错题的反思有时还很被动。如图5所示，学生Z就题目中住宅的现实情境进行分析反思，而没有认识到题目的数学本质。
从该生的作业与练习的订正中也发现了类似的问题。另外，以下访谈也发现了上述问题。
师：订正错题你有反思的习惯吗？如：这道题出现错误的原因是什么?订正了这道错题你吸取了什么经验?
生：有时候有反思的习惯，有时候没有。
师：在对错题进行反思学习时，你遇到过什么困难吗?
生：有时候真的遇到过许多困难。
师：比如说？
生：像那些思考题就是难点嘛！所以我都会向家长请教。
师：不愿对错题进行反思的原因是什么呢？
生：觉得这样累死了，根本就没有必要！
并进一步可以发现学生有时不愿反思是怕麻烦，这在以后的培养中也注意到了这一点，对相对简单的错题，让学生自行掌握反思步骤，有时可采用“订正 归纳总结”的简单模式。
总体上对该生进行课外辅导，要求进一步说明反思时要从“旁观者”的视角，对错误进行适当的归类与提升，要力图推广到同类问题。经过一段时间的练习，该生的反思水平有了明显提高。
4．学会反思：通过观察与分析学生的数学错题反思表、作业、试卷及访谈等，对学生的数学错题反思能力进行观察、分析，确认学生形成了一定的数学错题反思能力。如图6是学生Z对测试中错题的订正与反思，说明该生学会了对数学错题进行反思，具备了一定的反思能力。
四、效果评价
通过日常的数学测试及练习等发现该生的类似数学错题明显减少，如图7所示。
学生Z的数学成绩也明显提高，几次平时测验的成绩为：83，88，73.5，
76，71等，期末数学考试成绩为98分。作为一名学困生这还引起了其以前数学老师、班主任及其家长的惊讶。以下的访谈虽不太明确，但也说明该生学会了反思、认识到反思的重要性与有效性，并对反思提出了自己的一点看法。
师：你觉得对错题进行反思给你带来了哪些好处?（对错题的认识、学习的主动性、学习的有效性等探索）
生：好处呢是……嗨！（叹了口气），好处是让我更深刻地了解重点、难点。
师：你能不能举个例子？比如哪道题的重点、难点？
生：比如说，重点……（结合反思表学生指出了他认为的重点题与重要注意点），难点……（结合反思表学生指出了他认为的难点题与主要难点）。
师：对错题进行反思你有什么好的建议？
生：嗯……要深层地理解题目，尽量找出错误的原因，要尽量加强反思。
主要培养效果如下：
1．学生Z能十分坦然地对待错题，把错题视为有效的、正常的数学学习资源。
2．学生Z学会了对数学错题进行反思，形成了一定的数学错题反思能力。作业与考试中出现错题能自觉地进行反思。
3．提高了学生Z对数学学习的兴趣与成绩，课堂上学生Z认真听讲，积极发言，踊跃参与，表现出对数学学习的积极情感。
五、形成策略
学生Z是一名数学学困生，在数学学习中存在典型的数学错题，存在“屡错屡改，屡改屡错”的问题，主要原因是学生Z不会对数学错题进行反思，没有形成一定的数学错题反思能力。针对这个问题，笔者认为可通过培养学生Z的数学错题反思能力来解决，反思能力作为一种元认知能力，按元认知能力培养的一般思路，构建了“一表格 四环节 二分段”的反思能力培养策略：
一表格：设计小学数学错题反思表，利用表格的形式规范以下的错题反思步骤：
错解再现→错误所在→错误原因→正确解法→归纳总结
使学生学会以错题为对象进行反思学习的习惯，从微观上为学生的错题反思提供可操作的程式。
四环节：设计以下四环节对学生的数学错题反思能力进行培养。从宏观上按策略性知识的学习方式，培养学生的反思能力。
教师示范→学生自练→师生修正→学会反思
二分段：经过一段时间的训练与培养后，学生认为对一些简单的数学错题都按反思表的五个步骤进行反思有些繁琐，久而久之学生会失去对数学错题反思的积极性。所以再根据学生的实际情况，对一些简单错题的反思进行简化，在传统订正的基础上，进行反思归纳，形成以下简单模式：
订正 归纳总结
经过一段时间的培养形成学生对数学错题的反思能力，提高了学生Z的数学学习成绩，有效地解决了学生Z存在的“屡错屡改，屡改屡错”的问题。
当然，研究过程中也存在一些不足，如因研究的需要与学生Z的学习交流应更多些，关注也多些，有一部分成绩的提高可能是交流的情感作用产生的，而这与反思能力培养产生的效果在本研究中难以区分。另外，通过个案研究得到本策略，结论的推广有一定的局限性。
注：本文是江苏省教育科学“十一五”规划2009年度重点自筹课题《小学生数学错题反思能力的培养研究》（B—b/2009/02/038）的阶段性成果。