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我国的中小学数学教学有着很好的传统,其中在数学训练设计与实践方面积累了比较丰富的经验,总结出许多行之有效的数学训练方式,诸如一题多“变”、一题多“用”、一题多“解”和一题多“问”等。当前,在推进数学新课程以及加强教学有效性的背景下,如何继承和发展这些传统的数学训练方式,使之真正起到举一反三的功效,发挥出新的教学活力和价值,有待广大数学教师进一步思考与实践。
一、一题多“变”:把认知冲突引发为有效建模
例1 甲、乙两人合砌30米(60米、90米、120米)长的一道砖墙,甲单独砌6小时可以完成,乙单独砌10小时可以完成。甲、乙两人合砌,几小时可以完成?
本题作为“工程问题”教学复习准备阶段的导入题,教师先出示“30米”的情况,再出示60米、90米和120米的情况,分4组让学生分别独立解答。随后进行反馈与交流,学生发现这4道题虽然综合算式各不相同,但结果却是一样的,都是3.75小时。这样自然引发了学生的认知冲突,产生了强烈的探究欲望。此时,教师再启发道:“看来这里蕴含着数学秘密,你能发现吗?”“如果甲、乙两人合砌一道砖墙,没有具体的数据,你能解答吗?”并把上述题目改为例题:甲、乙两人合砌一道砖墙,甲单独砌6小时可以完成,乙单独砌10小时可以完成。甲、乙两人合砌,几小时可以完成?让学生围绕思考题开展讨论:①工作总量不告诉具体数量,该怎么办?②甲、乙工作效率怎样表示?③此题中基本数量关系是什么?最后学生给予了正确解答:1÷(1/6 1/10)=3.75(小时),从而得出解答“工程问题”的基本数量关系(工作量÷工作效率=工作时间)和解题关键(把工作量看做单位“1”),顺利完成对新知识的主动探究以及新旧知识的沟通,有效实现了对此类“工程问题”的数学建模。
以上案例中,教师通过一题多“变”的方式,通过具体工作量的4种不同情形,让学生借助学过的数学知识与方法加以解决。由于所列算式不同但计算结果相同,引发学生的认知冲突,使学生产生强烈的探究欲望。在此基础上,教师出示例题(不告诉具体工作量的情形)引导学生开展讨论和解答。显然,一题多“变”的教学方式,激发了学生对例题学习所体现出的主动探究、积极思考的倾向,并对例题实现了有效建模。
二、一题多“用”:把学习错误转化为教学资源
例2 果园里有桃树240棵,是梨树棵树的2倍还多10棵,问果园里有梨树多少棵?
学生列出算式如下:①240×2 20;②240×2-20;③(240 10)÷2; ④(240-10)÷2;⑤240÷2 10;⑥240÷2-10。对于如此之多的不同解法,究竟谁对谁错?教师引导学生借助线段图和算法图分析其中的数量关系,很快取得了方法④是正确的的共识,从而否定了其他错误列式。应该说本题的教学任务就告一段落。但是,有位优秀老师并不到此为止,而是将错就错,因势利导:“如果其他算式是正确的,你能改变原题中的条件,创编出相应的应用题吗?”通过学生的独立思考和全班交流,然后根据不同算式编出了相应的题目(所编题目略)。
分析以上一题多“用”的教学行为,我们不得不为该教师的教学理念和教学睿智所折服。其一,教师对于学习错误的态度。从中我们不难看出教师对待学习错误的科学态度,即学习错误是学习过程中正常而普遍的现象,它是一种来源于学习活动本身,直接反映学生学习情况的生成性教学资源。课堂上的错误往往是具有特殊教学价值的资源。其二,教师对待错误的行为跟进。即把学习错误转化成教学的宝贵资源。通过教师“将错就错”地追问,引导学生通过不同算式口编相应的题目,促使学生对不同类型应用题的结构有深刻的把握。从认知角度看,一题多“用”的数学训练方式,引导学生从正、反两方面理解数学知识,有利于学生的比较和鉴别,从而更好地把握原有问题,突破难点。
三、一题多“解”:把具体方法提炼为数学思想
例3 计算下列图形的面积(如图A)(单位cm)。你能用学过的知识求出这个图形的面积吗?你能有几种解答方法?
作为组合图形的面积计算,它是在学生已掌握五种基本平面图形(即长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形)面积计算的基础上安排的教学内容。作为学生首次面临的新知识,教师以“问题解决”的方式入手,鼓励学生从自己已有的知识与经验出发展开自主探究,尝试获取解题方法,并倡导学生用多种方法进行解答。反馈后发现学生的正确解答方法有5种之多(具体解答方法见图B-1至图B-5,列式略)。
上述案例中,面对学生首次碰到的新知识,教师引导学生从自己已有的知识与经验出发,展开自主探究。根据反馈交流,学生有5种解决问题的具体方法。教师结合图示,先对学生的解题方法进行归纳:图B-1至图B-3中的方法都是把组合图形分割成我们学过的基本图形进行解答的;图B-4至图B-5中的方法都是把组合图形填补成我们学过的基本图形进行解答的。接着教师再次发问:“分割法和填补法虽有不同,但它们都体现着共同的数学思想,你们说是什么?”再次引发学生思考与归纳:两者都体现了数学的转化思想,这种数学思想方法是我们解决问题时经常使用的。教师对5种具体方法的两次归纳与提炼,充分挖掘了例题所蕴含的数学思想,提升了学生数学学习与训练的认知水平。
传统的一题多“解”,旨在训练学生的发散性思维,提升学生的数学思维品质,符合数学学科的任务要求,一直赢得我们数学教师的青睐。一题多“解”可以有效地培养学生从不同的角度看待问题、处理问题,灵活地采用不同的解决问题的策略与方法。当前,我们要在发挥其已有积极作用的同时,根据数学新课程的要求挖掘其潜在的功能,发挥其新的教学价值。
四、一题多“问”:把巩固“双基”提升为培养能力
例4 根据下面所给的信息,提出相关数学问题,并解答。
甲、乙两辆汽车分别从A、B两地相向行驶,甲车的速度为60千米/时,乙车的速度为80千米/时,A、B 两地相距560千米。
本题是行程问题中两车相遇情形下“求相遇时间”教学后的综合练习设计。教师通过一题多“问”的训练形式,先引导学生根据已有条件提出问题,再进行解答。教学中,学生提出了如下的行程问题:①若两车同时从两地出发,经过几小时后相遇?②若两车同时从两地出发,行驶几小时后两车还相距70千米?③若两车同时出发行驶5小时后,这时两车相距多少千米?④若甲车先行驶140千米后乙车再出发,乙车经过几小时后与甲车相遇?⑤若甲车先行驶半小时后乙车再出发,甲车共行驶几小时后与乙车相遇?由于学生还没有系统学习分数知识,教师又采用了开放式教学,故教学中教师采用了如下的对策:一是个别数据教师当堂进行了教学法处理,建议学生进行了改动。二是教师当堂无法直接修改数据的,在保证提问科学性的前提下采用只列式不计算的方法。
传统意义上的一题多“问”,是指用同样的条件、从不同的角度出发,提出不同的数学问题。这样,可以进行多角度的训练,培养学习思维的灵活性,起到“以一当十”的教学效果。作为新课程背景下的数学训练方式,对一题多“问”可以有新的实践,如可以从呈现的众多信息中选择相应条件提出问题,也可以根据呈现的信息在提出的问题部分添加信息(如例4)。
一题多“问”作为传统应用题教学和训练的重要方式,对学生把握应用题的结构和深刻理解数量关系有着重要的教学价值。当前对“解决问题”教学来说,教师应该在继承其原有积极作用的同时赋予其新的教学意义,如一题多“问”既可以展现教师的开放式教学策略,又可以有效地培养学生的问题意识,让学生在提出问题与解决问题的过程中培养其创新意识和解决问题的能力。从分层次的封闭题训练到一题多“问”,提升了数学训练的功能,把单纯的双基巩固训练上升为问题意识和数学能力的培养。
实际上,一题多“问”与一题多“解”一样,若从新的角度观察以及赋予其新的教学意义,它们都属于新课程倡导的开放性问题。前者作为问题性开放,后者作为条件性开放,只是开放的形式不同而已,但其教学功能是一样的,都必须充分调动学生的知识储备,从多角度、用多种方法进行思考和探索,是培养学生创新意识和创造能力的有效载体。
以上就几种传统数学训练方式如何发挥其新的训练功能进行了一些探讨,希望对广大数学教师有所启示。应指出的是,诸如一题多“变”、一题多“解”等数学训练方式,在教学实践中不是越多越有效,需要教师精心选择和有效利用。唯有这样,才能发挥出传统训练方式应有的教学功能和活力。
一、一题多“变”:把认知冲突引发为有效建模
例1 甲、乙两人合砌30米(60米、90米、120米)长的一道砖墙,甲单独砌6小时可以完成,乙单独砌10小时可以完成。甲、乙两人合砌,几小时可以完成?
本题作为“工程问题”教学复习准备阶段的导入题,教师先出示“30米”的情况,再出示60米、90米和120米的情况,分4组让学生分别独立解答。随后进行反馈与交流,学生发现这4道题虽然综合算式各不相同,但结果却是一样的,都是3.75小时。这样自然引发了学生的认知冲突,产生了强烈的探究欲望。此时,教师再启发道:“看来这里蕴含着数学秘密,你能发现吗?”“如果甲、乙两人合砌一道砖墙,没有具体的数据,你能解答吗?”并把上述题目改为例题:甲、乙两人合砌一道砖墙,甲单独砌6小时可以完成,乙单独砌10小时可以完成。甲、乙两人合砌,几小时可以完成?让学生围绕思考题开展讨论:①工作总量不告诉具体数量,该怎么办?②甲、乙工作效率怎样表示?③此题中基本数量关系是什么?最后学生给予了正确解答:1÷(1/6 1/10)=3.75(小时),从而得出解答“工程问题”的基本数量关系(工作量÷工作效率=工作时间)和解题关键(把工作量看做单位“1”),顺利完成对新知识的主动探究以及新旧知识的沟通,有效实现了对此类“工程问题”的数学建模。
以上案例中,教师通过一题多“变”的方式,通过具体工作量的4种不同情形,让学生借助学过的数学知识与方法加以解决。由于所列算式不同但计算结果相同,引发学生的认知冲突,使学生产生强烈的探究欲望。在此基础上,教师出示例题(不告诉具体工作量的情形)引导学生开展讨论和解答。显然,一题多“变”的教学方式,激发了学生对例题学习所体现出的主动探究、积极思考的倾向,并对例题实现了有效建模。
二、一题多“用”:把学习错误转化为教学资源
例2 果园里有桃树240棵,是梨树棵树的2倍还多10棵,问果园里有梨树多少棵?
学生列出算式如下:①240×2 20;②240×2-20;③(240 10)÷2; ④(240-10)÷2;⑤240÷2 10;⑥240÷2-10。对于如此之多的不同解法,究竟谁对谁错?教师引导学生借助线段图和算法图分析其中的数量关系,很快取得了方法④是正确的的共识,从而否定了其他错误列式。应该说本题的教学任务就告一段落。但是,有位优秀老师并不到此为止,而是将错就错,因势利导:“如果其他算式是正确的,你能改变原题中的条件,创编出相应的应用题吗?”通过学生的独立思考和全班交流,然后根据不同算式编出了相应的题目(所编题目略)。
分析以上一题多“用”的教学行为,我们不得不为该教师的教学理念和教学睿智所折服。其一,教师对于学习错误的态度。从中我们不难看出教师对待学习错误的科学态度,即学习错误是学习过程中正常而普遍的现象,它是一种来源于学习活动本身,直接反映学生学习情况的生成性教学资源。课堂上的错误往往是具有特殊教学价值的资源。其二,教师对待错误的行为跟进。即把学习错误转化成教学的宝贵资源。通过教师“将错就错”地追问,引导学生通过不同算式口编相应的题目,促使学生对不同类型应用题的结构有深刻的把握。从认知角度看,一题多“用”的数学训练方式,引导学生从正、反两方面理解数学知识,有利于学生的比较和鉴别,从而更好地把握原有问题,突破难点。
三、一题多“解”:把具体方法提炼为数学思想
例3 计算下列图形的面积(如图A)(单位cm)。你能用学过的知识求出这个图形的面积吗?你能有几种解答方法?
作为组合图形的面积计算,它是在学生已掌握五种基本平面图形(即长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形)面积计算的基础上安排的教学内容。作为学生首次面临的新知识,教师以“问题解决”的方式入手,鼓励学生从自己已有的知识与经验出发展开自主探究,尝试获取解题方法,并倡导学生用多种方法进行解答。反馈后发现学生的正确解答方法有5种之多(具体解答方法见图B-1至图B-5,列式略)。
上述案例中,面对学生首次碰到的新知识,教师引导学生从自己已有的知识与经验出发,展开自主探究。根据反馈交流,学生有5种解决问题的具体方法。教师结合图示,先对学生的解题方法进行归纳:图B-1至图B-3中的方法都是把组合图形分割成我们学过的基本图形进行解答的;图B-4至图B-5中的方法都是把组合图形填补成我们学过的基本图形进行解答的。接着教师再次发问:“分割法和填补法虽有不同,但它们都体现着共同的数学思想,你们说是什么?”再次引发学生思考与归纳:两者都体现了数学的转化思想,这种数学思想方法是我们解决问题时经常使用的。教师对5种具体方法的两次归纳与提炼,充分挖掘了例题所蕴含的数学思想,提升了学生数学学习与训练的认知水平。
传统的一题多“解”,旨在训练学生的发散性思维,提升学生的数学思维品质,符合数学学科的任务要求,一直赢得我们数学教师的青睐。一题多“解”可以有效地培养学生从不同的角度看待问题、处理问题,灵活地采用不同的解决问题的策略与方法。当前,我们要在发挥其已有积极作用的同时,根据数学新课程的要求挖掘其潜在的功能,发挥其新的教学价值。
四、一题多“问”:把巩固“双基”提升为培养能力
例4 根据下面所给的信息,提出相关数学问题,并解答。
甲、乙两辆汽车分别从A、B两地相向行驶,甲车的速度为60千米/时,乙车的速度为80千米/时,A、B 两地相距560千米。
本题是行程问题中两车相遇情形下“求相遇时间”教学后的综合练习设计。教师通过一题多“问”的训练形式,先引导学生根据已有条件提出问题,再进行解答。教学中,学生提出了如下的行程问题:①若两车同时从两地出发,经过几小时后相遇?②若两车同时从两地出发,行驶几小时后两车还相距70千米?③若两车同时出发行驶5小时后,这时两车相距多少千米?④若甲车先行驶140千米后乙车再出发,乙车经过几小时后与甲车相遇?⑤若甲车先行驶半小时后乙车再出发,甲车共行驶几小时后与乙车相遇?由于学生还没有系统学习分数知识,教师又采用了开放式教学,故教学中教师采用了如下的对策:一是个别数据教师当堂进行了教学法处理,建议学生进行了改动。二是教师当堂无法直接修改数据的,在保证提问科学性的前提下采用只列式不计算的方法。
传统意义上的一题多“问”,是指用同样的条件、从不同的角度出发,提出不同的数学问题。这样,可以进行多角度的训练,培养学习思维的灵活性,起到“以一当十”的教学效果。作为新课程背景下的数学训练方式,对一题多“问”可以有新的实践,如可以从呈现的众多信息中选择相应条件提出问题,也可以根据呈现的信息在提出的问题部分添加信息(如例4)。
一题多“问”作为传统应用题教学和训练的重要方式,对学生把握应用题的结构和深刻理解数量关系有着重要的教学价值。当前对“解决问题”教学来说,教师应该在继承其原有积极作用的同时赋予其新的教学意义,如一题多“问”既可以展现教师的开放式教学策略,又可以有效地培养学生的问题意识,让学生在提出问题与解决问题的过程中培养其创新意识和解决问题的能力。从分层次的封闭题训练到一题多“问”,提升了数学训练的功能,把单纯的双基巩固训练上升为问题意识和数学能力的培养。
实际上,一题多“问”与一题多“解”一样,若从新的角度观察以及赋予其新的教学意义,它们都属于新课程倡导的开放性问题。前者作为问题性开放,后者作为条件性开放,只是开放的形式不同而已,但其教学功能是一样的,都必须充分调动学生的知识储备,从多角度、用多种方法进行思考和探索,是培养学生创新意识和创造能力的有效载体。
以上就几种传统数学训练方式如何发挥其新的训练功能进行了一些探讨,希望对广大数学教师有所启示。应指出的是,诸如一题多“变”、一题多“解”等数学训练方式,在教学实践中不是越多越有效,需要教师精心选择和有效利用。唯有这样,才能发挥出传统训练方式应有的教学功能和活力。