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【摘 要】对于数学史应用于数学教学的方式问题，可以由浅到深，由低级到高级的分成三个递进的水平：呈现方式、模块方式和基于历史的方式。
【关键词】数学史 数学教学 应用 水平分析
一、引言
自1972年HPM研究小组在第二届国际数学教育大会上成立以来，数学史应用于数学教育的理论及实践研究取得了长足的发展，数学史在数学教育中的重要作用进一步被数学家、数学史家、教育专家和教育工作者所认同。但是纵观国际HPM研究的现状，就会发现，相对于丰富的HPM理论研究，其课堂实践方面的研究还比较零散，基本停留在某个教师在某节课中应用数学史的个案研究，实践研究的成果还不系统，数学史应用于数学教学的个别案例能否推广到其他教师、其他学校或其他的学习层次还无定论。基于此现状，国际学术界越来越重视HPM理论在数学教学中的实践研究，阿卡维（Arcavi）等著名HPM专家呼吁数学史家、数学教育家和一线数学教师能够进行真正合作，深入开展实践及实证研究，特别是符合学生认知发展水平的教学模式的构建及其实施效果的实证研究。因而，应该丰富和完善HPM的理论，使其系统化，进而由理论促进实践研究的进行。
二、数学史与数学教学整合的水平划分
对于数学史应用于数学教学的方式问题，可以由浅到深，由低级到高级分成三个递进的水平：呈现方式、模块方式和基于历史的方式。
1．直接呈现
呈现方式，就是在数学教学中补充数学史内容，这里的数学教学是指两个方面，一是指真实的课堂教学，二是指教科书。这些补充的数学史内容可以长短不一，知识范围各异。数学史呈现方法应用的最小的形式是Tzanakis和Arcavi提出的所谓的“单独的数学史内容”或“历史片段”，一般包括数学家的名字、日期、著作和事件、年表、传记、历史名题、优先权、手稿等等，轶事和故事也属于这一类。从某种角度上，也可以把呈现方法的使用看成数学教学大餐中的小佐料。呈现方法如果用在结尾或开始位置，即通常所说的“历史的跋”或者“历史的序”。“历史的跋”或者“历史的序”这个术语在英文中从某种程度上来说来自于Lindstrm，他写的《微积分》中每一章的最后都有一个与历史有关的结尾。内容包括数学家的名字、主要的问题、本章涉及到的原始文献、奇闻逸事、优先权之争和相关数学内容的发展进程等等。如果原始文献是依照呈现方法来使用的话，文中“历史性的结语”部分应该是非常合适的地方，但是在形式上大多只能是一个小片段、小摘录。
2．历史模块
模块方法是为了使用数学史而设计的一个教学单元，通常是基于教学案例来进行实施。“模块”这个术语是Katz和Michalowicz给出的。就像前面对呈现方式的分类，模块方法也按照类型和范围分成几种情况。最小的历史模块可能是Tzanakis和Arcavi所提出的“历史包”，其内容往往选择和相关课程联系紧密的小主题，适合2-3个学时，供教师在课堂上使用。
中型模块大约需要20个学时。由于这种模块也为学生提供学习那些学校课程中没有涉及的数学分支内容的机会，因此不必与课堂上的数学主题联系的太紧密。一般这种“大模块”或“小历史包”的实施方式是非常多的，可以通过学习教科书、阅读原始文献或学生搞的小项目来实施；还可以通过像历史电影、网络、工作单等形式实施。
模块方法的较高层次是，包含着一个具体数学主题的完整的数学史课程或书，包括一些历史数据、某一概念的发展历史或介于二者之间的内容。这种课程依赖于原始文献或二手文献，当然，这里的二手文献取决于现有数学史研究的水平。当然相对于仅仅是课程学习和阅读图书的方法，这些方法也可通过其他的方式实施。例如途经之一是要拓宽学生研究方案的内容，这个观点福威尔和曼尼也提出过，Roskilde大学也曾经做过实验。
美国MAA的历史模块（Historical Modules）项目就是模块方法的一个典型案例。“历史模块项目”是在卡兹（Victor Katz） 和迈克威茨（Karen Dee Michalowicz）的带领下，由一些高中教师组成的研究队伍，总计有22人历时2年所完成的，并且构建了在课堂中使用数学史的模块。这些模块正在美国的数学课堂上接受进一步的检验。
这个项目是由美国数学会（Mathematical Association of America）发起，国家自然科学基金（National Science Foundation）提供部分资助的项目。项目最终成果的名称是《中学数学教和学的历史模块》（Historical Modules for the Teaching and Learning of Secondary Mathematics），一共包含10个不同长度的模块。每个模块是由一个大学教师和两个中学教师组成的团队完成的，并且在国内都进行过现场测试。
在丹麦哥本哈根举行的第十届国际数学教育大会（ICME-10）以及在乌普萨拉（Uppsala）举行的HPM卫星会议上，这个长达1300多页的文献资料以光盘的形式提供给了与会者。
这些模块基于数学史并受数学史的启发，最明显的特征是它的结构和内容形成了中学数学教育的一个近乎完整的课程。用卡兹（V.Katz）和凯瑟勒（R.Kessler）的话说：我们模块中的每一节课都设计成包含学生积极地参与，这些活动不是被设计成一个带有数学味的历史课，而是有历史观点的数学课。不同的课程都被做成独立的可供选择的一部分，可以选择模块的单独部分在学年中合适的时间来使用。设计的活动能促进兴趣和理解，并且融入了大量的技术手段。
这个模块既包括数学教育工作者着重关注的问题，也可在历史综述中找到数学史家的介绍，包括一些活动。我们来看一下下面的例子：
（a）函数模块中的关于分段函数的历史综述和活动，你可以发现数学家关于重要定义如函数的“连续”的介绍。在函数概念被确定为“代数公式”的时候来表示物理定律（今天许多学生的一般的常识），数学家，像欧拉或者拉格朗日认为每个分段函数（包括两个公式表达两个不同的法则）是不连续的。在分析严格化的标准改变以后，柯西表示连续的概念不仅不能满足数学的观点，甚至会导致相反的结果。
（b）另一方面，在几何证明的模块中名为“几何代数和二次方程——通过几何解二次方程”的活动，引导学生通过欧几里得《原本》第二章中的一个几何命题去解方程。给出这个方程的恰当形式以及代数系数产生的二次求根公式的过程，进一步在几何中应用符号代数，这个活动看起来把历史变得颠三倒四。这种活动在数学编史学中产生了一些争论的问题，这也是最近进入HPM领域的批判的声音。
上述表明，历史模块的出现能巨大地推动历史观点下的数学教学，以及促进深入讨论在这方面努力的益处和局限。美国部分的HPM成员现在有一项困难任务，那就是在美国（或者任何地方）的教师中间传播历史模块，包括那些参加IHMT
的和本项目的教师。传播和收集相关的数据将一定能对可靠的基本原理和新的问题提供新的依据，就像曼妮最近提到的：我们怎样才能确信数学史对数学的教与学有帮助？历史全部正确吗？或者历史仅在特定的学习环境下，对一定层次的教师和学生或者特定的数学学科有所帮助？如果历史有效，那么有效背后的基本原理是什么？
根据对学生进行电话调查的结果，第一印象是“历史作品（history works）”，尤其是关于学生的态度，即学生认为使用这种方式进行数学教学是比较有趣的。
3．基于历史的方式
第三个方式，也是最高水平的方式，称为基于历史的方式，是指所有那些直接由数学史及其发展获得灵感的方法和基于数学史及其发展的方法。与模块方法不同，这些方法不是在形式上和数学史研究直接相关，而是以间接的方式关联。应用这种方法，不必直接讨论历史发展。但是，在这里课程实施通常要重设数学主题呈现的顺序和方式，我们以数集作为一个具体的例子。基于历史的方法的一个典型的例子就是所谓“发生方法”或称为“发生原理”。基于历史的方法也是现阶段数学史应用于数学教学的最高水平和最深层次。
三、结语
这是对数学史应用方式的三个水平的初步划分。通过这样的划分，几乎所有的在数学教学中应用数学史的方法都能划分到这三个水平之中去。这一工作对于数学史与数学教育的整合研究提供了系统的理论指导，对数学史应用于数学教学的实践具有一定的促进作用。
【关键词】数学史 数学教学 应用 水平分析
一、引言
自1972年HPM研究小组在第二届国际数学教育大会上成立以来，数学史应用于数学教育的理论及实践研究取得了长足的发展，数学史在数学教育中的重要作用进一步被数学家、数学史家、教育专家和教育工作者所认同。但是纵观国际HPM研究的现状，就会发现，相对于丰富的HPM理论研究，其课堂实践方面的研究还比较零散，基本停留在某个教师在某节课中应用数学史的个案研究，实践研究的成果还不系统，数学史应用于数学教学的个别案例能否推广到其他教师、其他学校或其他的学习层次还无定论。基于此现状，国际学术界越来越重视HPM理论在数学教学中的实践研究，阿卡维（Arcavi）等著名HPM专家呼吁数学史家、数学教育家和一线数学教师能够进行真正合作，深入开展实践及实证研究，特别是符合学生认知发展水平的教学模式的构建及其实施效果的实证研究。因而，应该丰富和完善HPM的理论，使其系统化，进而由理论促进实践研究的进行。
二、数学史与数学教学整合的水平划分
对于数学史应用于数学教学的方式问题，可以由浅到深，由低级到高级分成三个递进的水平：呈现方式、模块方式和基于历史的方式。
1．直接呈现
呈现方式，就是在数学教学中补充数学史内容，这里的数学教学是指两个方面，一是指真实的课堂教学，二是指教科书。这些补充的数学史内容可以长短不一，知识范围各异。数学史呈现方法应用的最小的形式是Tzanakis和Arcavi提出的所谓的“单独的数学史内容”或“历史片段”，一般包括数学家的名字、日期、著作和事件、年表、传记、历史名题、优先权、手稿等等，轶事和故事也属于这一类。从某种角度上，也可以把呈现方法的使用看成数学教学大餐中的小佐料。呈现方法如果用在结尾或开始位置，即通常所说的“历史的跋”或者“历史的序”。“历史的跋”或者“历史的序”这个术语在英文中从某种程度上来说来自于Lindstrm，他写的《微积分》中每一章的最后都有一个与历史有关的结尾。内容包括数学家的名字、主要的问题、本章涉及到的原始文献、奇闻逸事、优先权之争和相关数学内容的发展进程等等。如果原始文献是依照呈现方法来使用的话，文中“历史性的结语”部分应该是非常合适的地方，但是在形式上大多只能是一个小片段、小摘录。
2．历史模块
模块方法是为了使用数学史而设计的一个教学单元，通常是基于教学案例来进行实施。“模块”这个术语是Katz和Michalowicz给出的。就像前面对呈现方式的分类，模块方法也按照类型和范围分成几种情况。最小的历史模块可能是Tzanakis和Arcavi所提出的“历史包”，其内容往往选择和相关课程联系紧密的小主题，适合2-3个学时，供教师在课堂上使用。
中型模块大约需要20个学时。由于这种模块也为学生提供学习那些学校课程中没有涉及的数学分支内容的机会，因此不必与课堂上的数学主题联系的太紧密。一般这种“大模块”或“小历史包”的实施方式是非常多的，可以通过学习教科书、阅读原始文献或学生搞的小项目来实施；还可以通过像历史电影、网络、工作单等形式实施。
模块方法的较高层次是，包含着一个具体数学主题的完整的数学史课程或书，包括一些历史数据、某一概念的发展历史或介于二者之间的内容。这种课程依赖于原始文献或二手文献，当然，这里的二手文献取决于现有数学史研究的水平。当然相对于仅仅是课程学习和阅读图书的方法，这些方法也可通过其他的方式实施。例如途经之一是要拓宽学生研究方案的内容，这个观点福威尔和曼尼也提出过，Roskilde大学也曾经做过实验。
美国MAA的历史模块（Historical Modules）项目就是模块方法的一个典型案例。“历史模块项目”是在卡兹（Victor Katz） 和迈克威茨（Karen Dee Michalowicz）的带领下，由一些高中教师组成的研究队伍，总计有22人历时2年所完成的，并且构建了在课堂中使用数学史的模块。这些模块正在美国的数学课堂上接受进一步的检验。
这个项目是由美国数学会（Mathematical Association of America）发起，国家自然科学基金（National Science Foundation）提供部分资助的项目。项目最终成果的名称是《中学数学教和学的历史模块》（Historical Modules for the Teaching and Learning of Secondary Mathematics），一共包含10个不同长度的模块。每个模块是由一个大学教师和两个中学教师组成的团队完成的，并且在国内都进行过现场测试。
在丹麦哥本哈根举行的第十届国际数学教育大会（ICME-10）以及在乌普萨拉（Uppsala）举行的HPM卫星会议上，这个长达1300多页的文献资料以光盘的形式提供给了与会者。
这些模块基于数学史并受数学史的启发，最明显的特征是它的结构和内容形成了中学数学教育的一个近乎完整的课程。用卡兹（V.Katz）和凯瑟勒（R.Kessler）的话说：我们模块中的每一节课都设计成包含学生积极地参与，这些活动不是被设计成一个带有数学味的历史课，而是有历史观点的数学课。不同的课程都被做成独立的可供选择的一部分，可以选择模块的单独部分在学年中合适的时间来使用。设计的活动能促进兴趣和理解，并且融入了大量的技术手段。
这个模块既包括数学教育工作者着重关注的问题，也可在历史综述中找到数学史家的介绍，包括一些活动。我们来看一下下面的例子：
（a）函数模块中的关于分段函数的历史综述和活动，你可以发现数学家关于重要定义如函数的“连续”的介绍。在函数概念被确定为“代数公式”的时候来表示物理定律（今天许多学生的一般的常识），数学家，像欧拉或者拉格朗日认为每个分段函数（包括两个公式表达两个不同的法则）是不连续的。在分析严格化的标准改变以后，柯西表示连续的概念不仅不能满足数学的观点，甚至会导致相反的结果。
（b）另一方面，在几何证明的模块中名为“几何代数和二次方程——通过几何解二次方程”的活动，引导学生通过欧几里得《原本》第二章中的一个几何命题去解方程。给出这个方程的恰当形式以及代数系数产生的二次求根公式的过程，进一步在几何中应用符号代数，这个活动看起来把历史变得颠三倒四。这种活动在数学编史学中产生了一些争论的问题，这也是最近进入HPM领域的批判的声音。
上述表明，历史模块的出现能巨大地推动历史观点下的数学教学，以及促进深入讨论在这方面努力的益处和局限。美国部分的HPM成员现在有一项困难任务，那就是在美国（或者任何地方）的教师中间传播历史模块，包括那些参加IHMT
的和本项目的教师。传播和收集相关的数据将一定能对可靠的基本原理和新的问题提供新的依据，就像曼妮最近提到的：我们怎样才能确信数学史对数学的教与学有帮助？历史全部正确吗？或者历史仅在特定的学习环境下，对一定层次的教师和学生或者特定的数学学科有所帮助？如果历史有效，那么有效背后的基本原理是什么？
根据对学生进行电话调查的结果，第一印象是“历史作品（history works）”，尤其是关于学生的态度，即学生认为使用这种方式进行数学教学是比较有趣的。
3．基于历史的方式
第三个方式，也是最高水平的方式，称为基于历史的方式，是指所有那些直接由数学史及其发展获得灵感的方法和基于数学史及其发展的方法。与模块方法不同，这些方法不是在形式上和数学史研究直接相关，而是以间接的方式关联。应用这种方法，不必直接讨论历史发展。但是，在这里课程实施通常要重设数学主题呈现的顺序和方式，我们以数集作为一个具体的例子。基于历史的方法的一个典型的例子就是所谓“发生方法”或称为“发生原理”。基于历史的方法也是现阶段数学史应用于数学教学的最高水平和最深层次。
三、结语
这是对数学史应用方式的三个水平的初步划分。通过这样的划分，几乎所有的在数学教学中应用数学史的方法都能划分到这三个水平之中去。这一工作对于数学史与数学教育的整合研究提供了系统的理论指导，对数学史应用于数学教学的实践具有一定的促进作用。