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对复域q-差分方程的相关研究可以追溯到1926年Ritt在文献[74]中对一类特殊的Schroder方程f(qz)=R(f)的亚纯解的研究，其中R(f)为关于f的有理函数.后来.Rubel提出了一个重要的问题：如果将方程中的R(f)换为关于f和z两个变量的有理函数R(z,f).那么会得到怎样的结论?这为复域q-差分方程的研究指明了一个新的方向.近年来.复域q-差分方程的研究工作迅速地发展起来.并取得了丰富的研究成果。 Nevanlinna所建立的五值定理.四值定理是亚纯函数唯一性理论的两个经典结果.后来.亚纯函数唯一性理论的研究得到了不断地发展和完善.产生了许多重要的研究成果.近年来Nevanlinna值分布理论相关结果的差分模拟的建立，特别是对数导数引理的差分模拟的建立.为亚纯函数与其差分或位移算子分担小函数或小函数集的唯一性问题的研究工作提供了有力的工具.这方面的研究也引起了越来越多学者的关注。 本文主要运用Nevanlinna值分布理论对复域q-差分方程的亚纯解的一些性质.以及亚纯函数与其差分.位移算子分担小函数或小函数集的唯一性问题进行了研究.此外.本文还研究了两个亚纯函数的差分算子分担小函数的问题.全文共五章.主要内容如下： 第一章.简要介绍了本文所需的基本概念和记号.并介绍了相关的研究背景.包括Nevanlinna理论的一些基本结果及其差分模拟，唯一性理论的一些经典结果及其差分模拟.以及复域q-差分方程的研究背景等。 第二章.研究了一类形如∑aj(z)f(qjz)=an+1(z)的q-差分方程的亚纯解的性质.其中a0(z)，…，an+1(z)为亚纯函数.a0(z)an(z)≠0，q∈C且0<｜q｜≤1.特别地，针对0<｜q｜<1且n=2的情况，对方程的整函数解的幂级数的缺项长度的上界作了新的估计.同时，在0<｜q｜<1和｜q｜=1两种不同的情况下，我们对方程的亚纯解的增长性分别作了一些估计.此外，我们还研究了｜q｜=1时方程的亚纯解的零点和极点的性质。 第三章.主要研究了亚纯函数与其差分或位移算子在分担小函数的条件下的值分布以及唯一性问题.首先，讨论了与差分或位移算子分担小函数的整函数的增长级.其次，研究了某些形式的亚纯函数与其差分算子具有分担值的唯一性问题，所得结果可视为微分形式下相关结果的差分模拟.最后，我们还讨论了整函数与其两个差分算子或位移算子在分担小函数的条件下的唯一性问题，得到了关于Jank-Mues-Volkmann的一个重要结果的差分模拟。 第四章.研究了两个亚纯函数的差分算子分担小函数的问题.主要是在两个亚纯函数的差分算子分担一个小函数的条件下，结合对这两个函数的亏量或对其差分算子某些公共值点的限制，讨论这两个函数的差分算子的关系.所得的一些结论亦可视为微分形式下相应结果的差分模拟。 第五章.研究了与差分或位移算子分担小函数集的亚纯函数的唯一性.主要讨论了整函数与其差分，位移算子或线性差分多项式分担两个小函数集的唯一性问题.同时，在引入分担集合中权的概念的前提下，我们还研究了亚纯函数与其差分算子在分担两个特殊类型的集合时所满足的关系，并给出了一些相关的结论。