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波动系统是偏微分方程和分布参数控制理论中一类重要的数学模型.具有变系数主部的波动系统较常系数波动系统能够更准确地反映实际问题，因而对它的控制问题的研究在理论和实际应用中都具有重要意义.本文主要研究黎曼流形上波动系统的稳定性问题以及在不同类型区域（有界和无界）上，几类变系数波动系统的稳定性和能控性问题.本文的主要内容如下: 第一章介绍本文的研究背景、国内外研究现状和本文使用的主要研究方法——黎曼几何方法.这些内容为了解我们所研究问题，理清渊源关系，查找相关文献提供方便. 第二章简要介绍一些黎曼几何的基础知识，为本文的论述准备必要的基础知识. 第三章研究具有临界位势的波动方程在黎曼流形上的能量衰减问题.我们引入辅助系统，然后估计辅助系统的能量，最后利用辅助系统和原系统能量之间的关系来得到原系统的能量衰减估计，与Rn上的结果相比，我们得到的能量衰减估计不仅与位势函数的系数有关，而且还与黎曼流形的径向曲率有关.因为在Rn上我们所假定的径向曲率条件显然成立，从而把Rn上的结果推广到一般的黎曼流形上，此外，我们还考虑了一个特殊的变系数模型，并给出了这个模型的柯西问题的能量衰减估计. 第四章研究的是具有内部耗散项和Neumann边界耗散项的变系数波动方程在外部区域上的能量衰减估计问题.内部耗散项在一个有界区域中它是非线性的，在剩余的区域上是线性的.我们将所考虑的区域视为一个黎曼流形，其上的黎曼度量由方程中的对称正定矩阵所决定，我们构造与逃逸向量场有关的乘子，再利用分段乘子法得到含低阶项和切导数项的能量不等式.与有界区域情形不同，通过使用截断函数，先将外部区域上的波动系统限制到一个有界区域上，进而使用迹估计来控制切导数项，再利用紧唯一性讨论的方法吸收低阶项，最终获得系统的能量衰减估计.这一结果将常系数情形下的相应结论推广到了变系数情形. 第五章研究的是带有时间系数的变系数波动方程在有界区域上的边界控制问题.利用对偶理论我们知道系统的零可控性等价于对偶系统的能观性.与第三章类似，我们选取与逃逸向量场有关的乘子，由黎曼几何乘子法和紧唯一性讨论来得到相应的观测不等式. 第六章我们研究的是变系数耦合波动系统的精确能控性，由古典泛函分析可知系统的能控性等价于对偶系统的能观性，在利用黎曼几何乘子法获得观测性不等式的过程中，会出现低阶项和边界上的切导数.我们用迹估计的方法来控制切导数项，并用紧唯一性讨论的方法来吸收低阶项.所得的可控性结论仍然将常系数情形下的相应结果推广到了变系数情形，这并非是一个简单的推广，据我们所知，对此类变系数耦合系统的可控性结果的研究目前还几乎没有！ 最后一章给出本文的总结，同时提出了一些有待解决的问题.