【摘 要】
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可压缩Navier-Stokes方程描述具有粘性的可压缩流体的运动规律.长期以来,此方程吸引着众多数学家与物理学家的目光.不过其数学理论却远远没有完善.本文将主要研究可压缩Navie
【出 处】
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中国科学院研究生院 中国科学院大学
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可压缩Navier-Stokes方程描述具有粘性的可压缩流体的运动规律.长期以来,此方程吸引着众多数学家与物理学家的目光.不过其数学理论却远远没有完善.本文将主要研究可压缩Navier-Stokes方程弱解的整体存在性,光滑解的爆破准则以及强解的整体适定性.
第一部分将研究球面对称的非等熵可压缩Navier-Stokes方程弱解的整体存在性.我们证明了在外区域或包含球心的二维区域上,球面对称的非等熵可压缩Navier-Stokes方程存在整体弱解.证明的主要思想是在弱解的定义中采用能量方程代替温度方程.其次证明在不包含球心的外区域上密度具有一致的上下界.
第二部分将研究可压缩Navier-Stokes方程光滑解的爆破准则.对于等熵流,我们证明了只要密度不产生集中,则光滑解不会爆破.对于非等熵流,我们证明了只要密度不产生集中,真空同时温度有限,则光滑解不会爆破.证明的主要想法是在密度和温度有界的情况下,得到有效粘性通量的高阶估计.然后利用连续方程与Logarithmic-Sobolev不等式得到密度的W1,P估计,最后利用椭圆估计得到速度的梯度估计.
第三部分将研究等熵可压缩Navier-Stokes方程强解的整体适定性.我们证明了当初始密度上下有界,在L2范数下靠近平衡态以及初始速度在负指标的Besov空间中充分小时,那么可压缩Navier-Stokes方程的光滑解存在并且唯一.此结果暗含我们可以构造一类具有振荡的初始密度和大能量的初始速度的全局解.在这一章中,我们将同时挖掘方程的结构以及应用调和分析工具,尤其是Littlewood-Paley理论在本章将大量运用.
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