论文部分内容阅读
我们知道在有限群中类方程对群的结构有很大的影响，例如，可由类方程决定阶最小的单群A5(见文[l]62页）.如果把同阶的共轭类合在一起就得到了阶方程，即按阶相等作为等价关系划分群元素得出的方程.显然阶方程是群的一种粗划分.施武杰教授在文[2]中最早提出阶方程的概念.与阶方程相关的是著名的Thompson问题.有限群G1与G2称为同阶型群，若|Mt(G1)|=|Mt(G2)|，t=1，2，3，…，其中：Mt(G)={x∈G：xt=1}.Thompson问题；设G1与G2为同阶型群，若G1可解，那么G2是否也可解? Thompson问题自1990年由施武杰教授在文[3]中公开后，没有人给出证明，也没有人给出反例，可见Thompson问题的解决将是十分困难的.
第二章将根据阶方程来刻画某些特殊线性群L2(2m)，其中，m=2，3，4，5.本文第一章所用的术语同[1]，特别地，我们用πe(G)表示群G的元素的阶的集合.型相同阶方程必相同，因此本文将有利于Thompson问题的解决.
文[4-7]研讨了最高阶(k阶)元素的个数|M(G)|对有限群的影响，证明了当|M(G)|=2，2l+1，2p，2p2(p素数)，|M(G)|<20时，G为可解群，最近对最高阶元个数的研究又有新的进展，姜友谊和钱国华老师在文[19]中得到了如下结果：最高阶元的个数为的6p的有限群可解，姜友谊在文[20]中得到了。最高阶元的个数为18p的有限群可解.显然，同阶型群最高阶元的个数相同，因此文[4-7]，[19，20]的研究有利于Thompson问题的解决。
第三章继续上述工作，研讨了群G的最高阶元素的个数|M(G)|=28p对群的影响.
有一些群论专家对Thompson问题进行了颇有意义的研究，如施武杰教授在[8]中提出了猜想。设G为有限群，H为有限单群，则G≌日当且仅当(1)πe(G)=πe(H)，其中πe(G)表示的阶的集合， (2)|G|=|H|。
第四章将讨论与同阶型群密切相关的另—个问题，怎样的群可由其元阶型唯一确定?本章利用几种有限群的分类，证明了这几种群可由其元阶型唯一确定.显然在某个有限群可由其元阶型唯一确定的情况下。Thompson问题可得到一定程度的解决.