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天体运动专题主要考察万有引力定律及其在天体运动中的应用. 内容常以天体问题（如双星、黑洞、恒星的演化等）或人类航天（如卫星发射、空间站、探测器登陆等）为平台，考查牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动、能量、动量等知识. 以下从三个方面讨论天体运动问题.
一、受力与运动
情景1. 环绕天体运行（公转）
对于所有天体公转的问题，包括行星和卫星以及人工发射的卫星，运动规律都是由万有引力（近似等于重力）提供向心力，如图1，存在下述关系：[F万=F重=F向]，展开为
[GMmr2=mω2r=mv2r=ma]
其中[a]可以理解为引力加速度或向心加速度或重力加速度，凡涉及公转的所有问题均从上式中选取相关等式求解.
图1
相关应用：
（1）运行轨道
如果是绕地球做圆周运动的人造卫星，所有轨道的圆心必须定在地心（如果是椭圆轨道，则地心位于椭圆的一个焦点上）.
例1 可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道（ ）
A．与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆
B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆
C．与地球表面上赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是运动的
解析 人造卫星绕地球做匀速运动的向心力由地球对它的引力提供.球心是人造卫星圆周轨道的圆心，地球只有纬度为零的赤道的圆心与地球球心重合，其他则不重合，不可能发射与非赤道的纬度线共面的人造卫星，选项A错误；由于地球的自转，每一条经线所决定的圆都在绕地轴运转，卫星运行平面可能某一时刻与其共面，但马上会呈一角度，选项B错误；同步卫星定点于赤道上空，相对于地球静止，选项C正确；其它运行于赤道上空的卫星是相对地球运动的，选项D正确.
答案 CD
点拨 若是椭圆，卫星在运行过程中必有近地点与远地点，在远地点，地球对它的引力小，它的角速度小；在近地点，角速度大．若卫星沿着与赤道成一定角度的轨道运行，则卫星与地面的相对位置必定发生变化，便不成其为同步卫星.卫星不可能有图2的轨道. 因为受到万有引力的作用，将使它在绕地球运转的同时，万有引力的分力会将卫星拉离轨道向赤道靠近.
图2
（2）计算天体质量和天体平均密度
如果测出卫星或行星绕中心天体匀速运动的半径[r]和周期[T]，则可以估算出天体的质量和密度.
据[GMmr2=m(2πT)2r]，可得[M=4π2r3GT2]
及[ρ=MV=M43πr30=3πr3GT2r30]（r0为天体的半径）.
（3）第一宇宙速度
近天体运行的卫星的环绕速度亦是据三力关系列式，得出[v=GMR=gR]（R为天体半径），为发射卫星到天体最近表面的最小速度，同时也是环绕天体运行的最大速度.
（4）同步卫星
相对于地面静止与地球自转周期相同的卫星.它有四定：轨道平面(赤道平面)确定、周期(24h)确定、高度(离地面高约3.6×[104]km)确定、速度(约3.1km／s)确定.它的轨道只能是圆，而不能是椭圆．
（5）双星（三星）天体相关的计算问题
（6）变轨运行的原因
[F万=F向，在同一轨道上做圆周运动F向，向心运动，向低轨道运动]
例2 大家都知道月球自转一周的时间与月球绕地球运行一周的时间相等，都为[T0]，我国的“嫦娥1号”探月卫星成功进入绕月运行的“极月圆轨道”，这一圆形轨道通过月球两极上空，距月面的高度为[h]，若月球质量为[M]，月球半径为[R]，万有引力恒星为[G]. 求：
（1）“嫦娥1号”绕月运行的周期；
（2）在月球自转一周的过程中，“嫦娥1号”将绕月运行多少圈？
（3）“嫦娥1号”携带了一台CCD摄像机（摄像机拍摄不受光照影响），随着卫星的飞行，摄像机将对月球表面连续拍摄，要求在月球自转一周的时间内，将月面各处全面拍摄下来，摄像机拍摄到的月球表面宽度至少是多少？
解析 （1）“嫦娥1号”轨道半径[r=R+h]
[GMmr2=m（2πT)2r]
可得绕月周期[T=2π(R+h)3GM]
（2）运行圈数[n=T0T=T02πGM(R+h)3]
（3）摄像机若能将月球的“赤道”拍摄全，便能将月面各处全部拍摄下来；卫星绕月球一周可对月球“赤道”拍摄两次. 所以摄像机拍摄时拍摄到的月球表面宽度至少为
[D=2πR2n=2π2RT0(R+h)3GM]
点拨 对于环绕天体表面上的物体，重力与万有引力近似相等，即[GMm/R2=mg]，得到[GM=gR2].若已知中心天体表面的重力加速度[g]，常运用上式作为桥梁，把“地上”和“天上”联系起来，因而被称为黄金代换式.
情景2. 在天体表面随天体运行（自转）
物体静止于地球表面上受万有引力、支持力作用，随其自转需要向心力，万有引力是重力、向心力的合力，如图3，其矢量关系为[F万=F重+F向]，对于静止于地面上的物体，支持力与重力的关系是等大反向，即[FN=-F重]，两式综合，有[F向=FN+F万]，即也可以认为向心力为万有引力与支持力的合力.
图3
例3 如果地球自转速度加快，地球上物体的重量将发生怎样的变化？地球自转角速度多大时，在赤道上物体的重量为零？此时的一昼夜将有多长？已知[R地]＝6370km，[M地]＝5.98×1024kg.
解析 物体随地球自转所需的向心力是地球对物体引力一部分，[F万=F重+F向].在赤道上引力方向与向心力一致，有[F万=F重+F向]，由[F向=mω2R]，可知当地球自转速度增大时，向心力增大，物体的重力将减小．当重力[G=0]时，[F万=F向]，即[GMmr2=mω2r]，得[ω=1.24×10-3rad/s]，这时地球自转周期，一昼夜的时间只需要[T＝]5067s≈1.4h．
点拨 人造卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，卫星上的物体处于完全失重状态，而位于地面上静止的物体却没有失重，它随地球自转的向心力由万有引力的一个分力提供，要注意两者的不同.
二、 天体运动与其他运动相结合
天体运动经常与匀速直线运动、匀变速直线（曲线）运动、圆周运动、简谐运动等相结合，它们之间联系的桥梁是重力加速度.
例4 某物体在地面上受到的重力为250N. 将它放在卫星中，在卫星以[a=12g]的加速度随火箭向上加速上升的过程中，当物体受卫星中支持物的支持力为135N时，卫星距地球表面有多远？（地球半径为[R=]6.4[×106m,g=10m/s2]）
解析 卫星在升空过程中，可认为是竖直向上的匀加速直线运动.设卫星离地面高度为[h]. 在地球表面环绕时，有[GMmR2=mg]
离地面高度为[h]加速上升时，有
[FN-GMm(R+h)2=ma]
综合以上两式，得
[h=(mgFN-ma-1)R=2.56×107m]
点拨 圆周运动经常与抛体运动、自由落体运动、匀变速运动、简谐运动相结合，这些结合的桥梁就是重力加速度.首先根据万有引力定律得出天体表面的重力加速度值，然后应用于这些运动中，同时注意研究对象的选取.
三、运行能量
无论是公转还是自转，都会涉及到能量（即机械能）问题.
1. 动能：卫星绕天体运行，由万有引力提供向心力，[GMmr2=mv2r]，由此得卫星运行绕天体运行的动能为[Ek=12mv2=GMm2r].
2. 势能：对天体和物体组成的系统，由于具有相互作用力和相对位置而具有势能，称为引力势能.可由下列公式推算：设无穷远处地球和天体组成的系统所具有的引力势能为0，由于[ΔEp=Ep-0=-W引]，从无穷远处将卫星移近到与天体中心距离为[r]的过程中，万有引力做正功，为[W引=GMmr]，故引力势能为[EP=-GMmr].通过与动能相比较，可以看出在数值上势能为动能的两倍.
总机械能[E=Ek+EP=GMm2r-GMmr=-GMm2r]
相关应用：
（1）第二及第三宇宙速度.
宇宙速度均是指发射速度. 离地球越远，发射速度越大，而环绕速度将越小，而所有脱离行星的第二宇宙速度均为在其表面环绕的第一宇宙速度的[2]倍.
（2）黑洞问题的计算.
（3）卫星在同一轨道（圆或者椭圆）上运行时机械能守恒，无需给卫星提供能量，发射、回收或变轨时必须做功使机械能变化，做功值为两种状态下机械能的差值[W=E2-E1]. 这与氢原子核外电子具有的电势能和动能大小关系，以及跃迁时吸收或放出的能量为两能级差值一样，具有类比性.
图4
如果是从地面上发射卫星，所需能量为卫星在轨道上运行机械能与在地面上机械能的差值，而在地面上，动能是随地球运行所具有的，表达式与在空中环绕不同. 如图4，取地球半径为[R]，卫星所在位置处绕轴运动半径为[R′]. 那么卫星在地球表面的机械能为
[E=Ek+EP=12mv20-GMmR=12m(ωR′)2-GMmR]
从上式可以看出，卫星的动能与随地球运行的线速度有关.顺着地球旋转方向，且靠近赤道发射卫星，重力最小，最节约能量，效果最好，这也是我国在海南文昌新建一个卫星发射基地的原因.
例5 地球质量为[M]，半径为[R]，自转角速度为[ω].万有引力恒量为[G]. 如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为[m]的物体离地心距离为[r]时，所具有的万有引力势能可表示为[Ep=-GMmr].设地球的空间站离地面高度为[h]，如果在它上面直接发射一颗质量为[m]的小卫星，使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，则该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？
解析 由[GMmr2=mv2r]，得卫星在空间站上的动能[Ek1=12mv2=GMm2(R+h)]
卫星在空间站上的引力势能[Ep1=-GMm(R+h)]
机械能[E1=Ek1+Ep1=-GMm2(R+h)]
同步卫星在轨道上正常运行时，有
[GMmr2=mω2r]
故轨道半径[r=GMω23]
由此可得同步卫星的机械能
[E2=Ek2+Ep2=-GMm2r=-12mG2M2ω23]
如果卫星离开时获得动能，运动过程中机械能守恒，则离开航天飞机的卫星机械能应为[E2，]设此时卫星的动能为[Ek2]，有[E1=E2]
[Ek1]＝[E2-Ep1=-12mG2M2ω23+GMmR+h]
点拨 卫星在轨道上的能量包括动能和势能，即机械能.在较低轨道，势能小，动能大，机械能小；在较高轨道，势能大，动能小，机械能大.卫星从低轨道进入高轨道，得增加能量，可以通过反向喷气实现变轨.这与核外电子从低能级跃迁到高能级时，需要吸收能量，而吸收能量为两能级差值是一个道理.
本专题要重点弄清楚天体运行的上述三种问题，将天体运动的物理过程辨析清楚，概念理解透彻，概念之间的区别与联系理顺，特别是将复杂的问题归类处理，那么分析问题与处理问题的能力将会大大提高.
一、受力与运动
情景1. 环绕天体运行（公转）
对于所有天体公转的问题，包括行星和卫星以及人工发射的卫星，运动规律都是由万有引力（近似等于重力）提供向心力，如图1，存在下述关系：[F万=F重=F向]，展开为
[GMmr2=mω2r=mv2r=ma]
其中[a]可以理解为引力加速度或向心加速度或重力加速度，凡涉及公转的所有问题均从上式中选取相关等式求解.
图1
相关应用：
（1）运行轨道
如果是绕地球做圆周运动的人造卫星，所有轨道的圆心必须定在地心（如果是椭圆轨道，则地心位于椭圆的一个焦点上）.
例1 可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道（ ）
A．与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆
B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆
C．与地球表面上赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是运动的
解析 人造卫星绕地球做匀速运动的向心力由地球对它的引力提供.球心是人造卫星圆周轨道的圆心，地球只有纬度为零的赤道的圆心与地球球心重合，其他则不重合，不可能发射与非赤道的纬度线共面的人造卫星，选项A错误；由于地球的自转，每一条经线所决定的圆都在绕地轴运转，卫星运行平面可能某一时刻与其共面，但马上会呈一角度，选项B错误；同步卫星定点于赤道上空，相对于地球静止，选项C正确；其它运行于赤道上空的卫星是相对地球运动的，选项D正确.
答案 CD
点拨 若是椭圆，卫星在运行过程中必有近地点与远地点，在远地点，地球对它的引力小，它的角速度小；在近地点，角速度大．若卫星沿着与赤道成一定角度的轨道运行，则卫星与地面的相对位置必定发生变化，便不成其为同步卫星.卫星不可能有图2的轨道. 因为受到万有引力的作用，将使它在绕地球运转的同时，万有引力的分力会将卫星拉离轨道向赤道靠近.
图2
（2）计算天体质量和天体平均密度
如果测出卫星或行星绕中心天体匀速运动的半径[r]和周期[T]，则可以估算出天体的质量和密度.
据[GMmr2=m(2πT)2r]，可得[M=4π2r3GT2]
及[ρ=MV=M43πr30=3πr3GT2r30]（r0为天体的半径）.
（3）第一宇宙速度
近天体运行的卫星的环绕速度亦是据三力关系列式，得出[v=GMR=gR]（R为天体半径），为发射卫星到天体最近表面的最小速度，同时也是环绕天体运行的最大速度.
（4）同步卫星
相对于地面静止与地球自转周期相同的卫星.它有四定：轨道平面(赤道平面)确定、周期(24h)确定、高度(离地面高约3.6×[104]km)确定、速度(约3.1km／s)确定.它的轨道只能是圆，而不能是椭圆．
（5）双星（三星）天体相关的计算问题
（6）变轨运行的原因
[F万=F向，在同一轨道上做圆周运动
例2 大家都知道月球自转一周的时间与月球绕地球运行一周的时间相等，都为[T0]，我国的“嫦娥1号”探月卫星成功进入绕月运行的“极月圆轨道”，这一圆形轨道通过月球两极上空，距月面的高度为[h]，若月球质量为[M]，月球半径为[R]，万有引力恒星为[G]. 求：
（1）“嫦娥1号”绕月运行的周期；
（2）在月球自转一周的过程中，“嫦娥1号”将绕月运行多少圈？
（3）“嫦娥1号”携带了一台CCD摄像机（摄像机拍摄不受光照影响），随着卫星的飞行，摄像机将对月球表面连续拍摄，要求在月球自转一周的时间内，将月面各处全面拍摄下来，摄像机拍摄到的月球表面宽度至少是多少？
解析 （1）“嫦娥1号”轨道半径[r=R+h]
[GMmr2=m（2πT)2r]
可得绕月周期[T=2π(R+h)3GM]
（2）运行圈数[n=T0T=T02πGM(R+h)3]
（3）摄像机若能将月球的“赤道”拍摄全，便能将月面各处全部拍摄下来；卫星绕月球一周可对月球“赤道”拍摄两次. 所以摄像机拍摄时拍摄到的月球表面宽度至少为
[D=2πR2n=2π2RT0(R+h)3GM]
点拨 对于环绕天体表面上的物体，重力与万有引力近似相等，即[GMm/R2=mg]，得到[GM=gR2].若已知中心天体表面的重力加速度[g]，常运用上式作为桥梁，把“地上”和“天上”联系起来，因而被称为黄金代换式.
情景2. 在天体表面随天体运行（自转）
物体静止于地球表面上受万有引力、支持力作用，随其自转需要向心力，万有引力是重力、向心力的合力，如图3，其矢量关系为[F万=F重+F向]，对于静止于地面上的物体，支持力与重力的关系是等大反向，即[FN=-F重]，两式综合，有[F向=FN+F万]，即也可以认为向心力为万有引力与支持力的合力.
图3
例3 如果地球自转速度加快，地球上物体的重量将发生怎样的变化？地球自转角速度多大时，在赤道上物体的重量为零？此时的一昼夜将有多长？已知[R地]＝6370km，[M地]＝5.98×1024kg.
解析 物体随地球自转所需的向心力是地球对物体引力一部分，[F万=F重+F向].在赤道上引力方向与向心力一致，有[F万=F重+F向]，由[F向=mω2R]，可知当地球自转速度增大时，向心力增大，物体的重力将减小．当重力[G=0]时，[F万=F向]，即[GMmr2=mω2r]，得[ω=1.24×10-3rad/s]，这时地球自转周期，一昼夜的时间只需要[T＝]5067s≈1.4h．
点拨 人造卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，卫星上的物体处于完全失重状态，而位于地面上静止的物体却没有失重，它随地球自转的向心力由万有引力的一个分力提供，要注意两者的不同.
二、 天体运动与其他运动相结合
天体运动经常与匀速直线运动、匀变速直线（曲线）运动、圆周运动、简谐运动等相结合，它们之间联系的桥梁是重力加速度.
例4 某物体在地面上受到的重力为250N. 将它放在卫星中，在卫星以[a=12g]的加速度随火箭向上加速上升的过程中，当物体受卫星中支持物的支持力为135N时，卫星距地球表面有多远？（地球半径为[R=]6.4[×106m,g=10m/s2]）
解析 卫星在升空过程中，可认为是竖直向上的匀加速直线运动.设卫星离地面高度为[h]. 在地球表面环绕时，有[GMmR2=mg]
离地面高度为[h]加速上升时，有
[FN-GMm(R+h)2=ma]
综合以上两式，得
[h=(mgFN-ma-1)R=2.56×107m]
点拨 圆周运动经常与抛体运动、自由落体运动、匀变速运动、简谐运动相结合，这些结合的桥梁就是重力加速度.首先根据万有引力定律得出天体表面的重力加速度值，然后应用于这些运动中，同时注意研究对象的选取.
三、运行能量
无论是公转还是自转，都会涉及到能量（即机械能）问题.
1. 动能：卫星绕天体运行，由万有引力提供向心力，[GMmr2=mv2r]，由此得卫星运行绕天体运行的动能为[Ek=12mv2=GMm2r].
2. 势能：对天体和物体组成的系统，由于具有相互作用力和相对位置而具有势能，称为引力势能.可由下列公式推算：设无穷远处地球和天体组成的系统所具有的引力势能为0，由于[ΔEp=Ep-0=-W引]，从无穷远处将卫星移近到与天体中心距离为[r]的过程中，万有引力做正功，为[W引=GMmr]，故引力势能为[EP=-GMmr].通过与动能相比较，可以看出在数值上势能为动能的两倍.
总机械能[E=Ek+EP=GMm2r-GMmr=-GMm2r]
相关应用：
（1）第二及第三宇宙速度.
宇宙速度均是指发射速度. 离地球越远，发射速度越大，而环绕速度将越小，而所有脱离行星的第二宇宙速度均为在其表面环绕的第一宇宙速度的[2]倍.
（2）黑洞问题的计算.
（3）卫星在同一轨道（圆或者椭圆）上运行时机械能守恒，无需给卫星提供能量，发射、回收或变轨时必须做功使机械能变化，做功值为两种状态下机械能的差值[W=E2-E1]. 这与氢原子核外电子具有的电势能和动能大小关系，以及跃迁时吸收或放出的能量为两能级差值一样，具有类比性.
图4
如果是从地面上发射卫星，所需能量为卫星在轨道上运行机械能与在地面上机械能的差值，而在地面上，动能是随地球运行所具有的，表达式与在空中环绕不同. 如图4，取地球半径为[R]，卫星所在位置处绕轴运动半径为[R′]. 那么卫星在地球表面的机械能为
[E=Ek+EP=12mv20-GMmR=12m(ωR′)2-GMmR]
从上式可以看出，卫星的动能与随地球运行的线速度有关.顺着地球旋转方向，且靠近赤道发射卫星，重力最小，最节约能量，效果最好，这也是我国在海南文昌新建一个卫星发射基地的原因.
例5 地球质量为[M]，半径为[R]，自转角速度为[ω].万有引力恒量为[G]. 如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为[m]的物体离地心距离为[r]时，所具有的万有引力势能可表示为[Ep=-GMmr].设地球的空间站离地面高度为[h]，如果在它上面直接发射一颗质量为[m]的小卫星，使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，则该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？
解析 由[GMmr2=mv2r]，得卫星在空间站上的动能[Ek1=12mv2=GMm2(R+h)]
卫星在空间站上的引力势能[Ep1=-GMm(R+h)]
机械能[E1=Ek1+Ep1=-GMm2(R+h)]
同步卫星在轨道上正常运行时，有
[GMmr2=mω2r]
故轨道半径[r=GMω23]
由此可得同步卫星的机械能
[E2=Ek2+Ep2=-GMm2r=-12mG2M2ω23]
如果卫星离开时获得动能，运动过程中机械能守恒，则离开航天飞机的卫星机械能应为[E2，]设此时卫星的动能为[Ek2]，有[E1=E2]
[Ek1]＝[E2-Ep1=-12mG2M2ω23+GMmR+h]
点拨 卫星在轨道上的能量包括动能和势能，即机械能.在较低轨道，势能小，动能大，机械能小；在较高轨道，势能大，动能小，机械能大.卫星从低轨道进入高轨道，得增加能量，可以通过反向喷气实现变轨.这与核外电子从低能级跃迁到高能级时，需要吸收能量，而吸收能量为两能级差值是一个道理.
本专题要重点弄清楚天体运行的上述三种问题，将天体运动的物理过程辨析清楚，概念理解透彻，概念之间的区别与联系理顺，特别是将复杂的问题归类处理，那么分析问题与处理问题的能力将会大大提高.