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摘要：随着新课程标准的实施，高中数学教学不仅要注重基础知识、基本技能、基本思想方法，而且要注意高等数学的一些思想对高中数学的指导作用. 本文以一道填空题为例，讨论了运用高等数学中的勒贝格集合理论解决高中数学中的一个无限集的真子集与无限集本身“相等”的映射问题.
关键词：数形结合；抽象函数；勒贝格集合理论
随着新课程标准的进一步实施，高中数学教学不但应突出数学的基础知识、基本技能、基本思想方法，还应兼顾高等学校继续学习所必备的基本能力，注意到高等数学对高中数学提出的思想指导.下面以一道数学填空题为例进行阐述.
题目 ?摇下图1展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1，将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合. 如图2，再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1）. 如图3，图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n.
■
则下列说法中正确命题的序号是________. （填出所有正确命题的序号）
①f■=0； ②f（x）是偶函数；?摇③f（x）在定义域上单调递增；
④f（x）≥g（x）的图象关于点■，0对称．
分析：本题一方面通过形成过程给出一个数形结合的抽象函数题，题目冗长，不具体；另一方面建立从一维直线线段上点与二维平面上点的联系，思维跳跃大，考虑信息多. 而题目涉及函数的零点、奇偶性、单调性、对称性的多个方面问题，令人束手束脚，难于对付.
■把握图形的运动过程，直观形象讨论
如图4，可知点A，N坐标分别为（0，1），（n，0）. 当m=■时，即M为线段AB的中点时，此时直线AM为y轴，过坐标原点O，这样n=0，显然按此函数定义有f■=0. ①正确.
又在图4中，因为kAM=■，所以当M点从A向中点运动时，kAM逐渐增大且为正值，所以－n逐渐减小且为正值，即n逐渐增大且为负值.
同样，当M点从中点向B点运动时，有kAM逐渐增大且为负值，所以－n逐渐减小且为负值，即n逐渐增大且为正值，这样③正确.
在图4中，记圆与y轴另一交点为D，则D为线段AB中点. 设M与M1关于D对称，则M与M1关于y轴对称，从而直线AM与AM1的斜率互为相反数，从而f（x）图象关于点■，0对称， ④正确；显然，f（x）不是偶函数，②错误. 综上，正确序号为①③④.
■针对图形的变化过程，求函数f（x）解析式
如图5，设圆心为C，半径为r，弧■的圆心角为α，由变化过程知2πr=1，即r=■，又l■=m=αr=■，α=2mπ.
当0 类似地，当■ 这样f（m）=0，m=■，－■，m∈0，■∪■，1，
即f（x）=0，x=■，－■，x∈0，■∪■，1.
现研究f（x）的性质，作f（x）的图象如图6所示，可得答案①③④.
■将线段围成一个等边三角形变式思考是否仍有这样的结果呢？
变题?摇 下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图7，将线段AB围成一个等边三角形APQ，使两端点A，B恰好重合. 如图8，再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1）. 如图9，直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作g（m）=n.
■
则下列说法中正确命题的序号是________. （填出所有正确命题的序号）
①g■=0； ②g（x）是偶函数；?摇③g（x）在定义域上单调递增；④g（x）的图象关于点■，0对称．
针对高中单调函数为严格单调函数的定义，仿上探究发现正确的序号为①④.
■思考一个无限集的真子集与无限集本身“相等”呢？
?摇?摇我们知道，高中数学集合中有“非空有限集的真子集不会与其本身相等”的结论，那么对于无限集情况如何呢？在此处研究发现：在图4中，直线AM与圆有一个交点，则相应地对应x轴上唯一的点N. 实际上，M与N之间建立了一一映射，也就是子区间（0，1）到实数集R上一一映射，从而肯定了一个无限集的真子集与无限集本身“相等”. 这正是高等数学中勒贝格集合理论核心.
关键词：数形结合；抽象函数；勒贝格集合理论
随着新课程标准的进一步实施，高中数学教学不但应突出数学的基础知识、基本技能、基本思想方法，还应兼顾高等学校继续学习所必备的基本能力，注意到高等数学对高中数学提出的思想指导.下面以一道数学填空题为例进行阐述.
题目 ?摇下图1展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1，将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合. 如图2，再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1）. 如图3，图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n.
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则下列说法中正确命题的序号是________. （填出所有正确命题的序号）
①f■=0； ②f（x）是偶函数；?摇③f（x）在定义域上单调递增；
④f（x）≥g（x）的图象关于点■，0对称．
分析：本题一方面通过形成过程给出一个数形结合的抽象函数题，题目冗长，不具体；另一方面建立从一维直线线段上点与二维平面上点的联系，思维跳跃大，考虑信息多. 而题目涉及函数的零点、奇偶性、单调性、对称性的多个方面问题，令人束手束脚，难于对付.
■把握图形的运动过程，直观形象讨论
如图4，可知点A，N坐标分别为（0，1），（n，0）. 当m=■时，即M为线段AB的中点时，此时直线AM为y轴，过坐标原点O，这样n=0，显然按此函数定义有f■=0. ①正确.
又在图4中，因为kAM=■，所以当M点从A向中点运动时，kAM逐渐增大且为正值，所以－n逐渐减小且为正值，即n逐渐增大且为负值.
同样，当M点从中点向B点运动时，有kAM逐渐增大且为负值，所以－n逐渐减小且为负值，即n逐渐增大且为正值，这样③正确.
在图4中，记圆与y轴另一交点为D，则D为线段AB中点. 设M与M1关于D对称，则M与M1关于y轴对称，从而直线AM与AM1的斜率互为相反数，从而f（x）图象关于点■，0对称， ④正确；显然，f（x）不是偶函数，②错误. 综上，正确序号为①③④.
■针对图形的变化过程，求函数f（x）解析式
如图5，设圆心为C，半径为r，弧■的圆心角为α，由变化过程知2πr=1，即r=■，又l■=m=αr=■，α=2mπ.
当0
即f（x）=0，x=■，－■，x∈0，■∪■，1.
现研究f（x）的性质，作f（x）的图象如图6所示，可得答案①③④.
■将线段围成一个等边三角形变式思考是否仍有这样的结果呢？
变题?摇 下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图7，将线段AB围成一个等边三角形APQ，使两端点A，B恰好重合. 如图8，再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1）. 如图9，直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作g（m）=n.
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则下列说法中正确命题的序号是________. （填出所有正确命题的序号）
①g■=0； ②g（x）是偶函数；?摇③g（x）在定义域上单调递增；④g（x）的图象关于点■，0对称．
针对高中单调函数为严格单调函数的定义，仿上探究发现正确的序号为①④.
■思考一个无限集的真子集与无限集本身“相等”呢？
?摇?摇我们知道，高中数学集合中有“非空有限集的真子集不会与其本身相等”的结论，那么对于无限集情况如何呢？在此处研究发现：在图4中，直线AM与圆有一个交点，则相应地对应x轴上唯一的点N. 实际上，M与N之间建立了一一映射，也就是子区间（0，1）到实数集R上一一映射，从而肯定了一个无限集的真子集与无限集本身“相等”. 这正是高等数学中勒贝格集合理论核心.