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摘 要：证明某个具体二次曲线中相关计算结果恒为定值的解析几何问题是高考的常见题型，本文通过对一道联考题的探究，对其作出一般性的推广.
关键词：联考题；定值；探究
提出问题
题目 （2011年安徽省“江南十校”高三联考数学试卷（理）第19题）已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称
一个定值问题的探究性学习
沈 军
江苏高邮中学 225600
摘 要：证明某个具体二次曲线中相关计算结果恒为定值的解析几何问题是高考的常见题型，本文通过对一道联考题的探究，对其作出一般性的推广.
关键词：联考题；定值；探究，一条渐近线方程为y=x，右焦点为F（5，0），双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线l∶x=交于M，N两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：•为定值.
解：（1）－=1. （求解过程略）
（2）•=0（定值）. （证明过程略）
探究问题
探究1：此题中的直线l∶x=其实是该双曲线的准线，进而猜想本题结果的一般性结论是否成立，经推理，做以下一般性推广.
推广1：已知双曲线－=1（a>0，b>0），右焦点为F（c，0），双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上任一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线l∶x=交于M，N两点，则•为定值0.
证明：设A1（－a，0），A2（a，0），P（x0，y0），可得直线A1P的方程为y=（x+a），直线A2P的方程为y=（x－a），解得M，+a，N，•－a. 易得=-c，+a，=-c，-a，于是•=－a2+－a2•. 因为－=1，所以=，从而•=－a2+－a2•=－=0，即•=0（定值）.
探究2：将本问题中的双曲线改为椭圆，其他条件不变，该结论依然成立.
推广2：已知椭圆+=1（a>b>0），右焦点为F（c，0），椭圆的长轴为A1A2，P为椭圆上任一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线l∶x=交于M，N两点，则•=0为定值0.
证明仿上，略去.
探究3：将准线改为任意一条与实轴垂直的直线，•仍是定值.
推广3：已知双曲线－=1（a>0，b>0）的右焦点为F（c，0），双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上任一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线l∶x=t（t为常数）交于M，N两点，则•为定值.
证明：设A1（－a，0），A2（a，0），P（x0，y0），可得直线A1P的方程为y=（x+a），直线A2P的方程为y=（x－a），解得Mt，（t+a），Nt，（t－a）. 易得=t－c，（t+a），=t－c，（t－a），•=（t－c）2+（t2－a2）•. 因为－=1，所以=，从而•=（t－c）2+（t2－a2）•=t－a2，即•为定值.
探究4：把探究3的条件从双曲线变为椭圆，结论依然成立.
推广4：已知椭圆+=1（a>b>0）的右焦点为F（c，0），椭圆的长轴为A1A2，P为椭圆上任一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线l∶x=t（t为常数）交于M，N两点，则•为定值.
证明仿上，略. •=t－a2为定值.
探究5：把推广4中点A1，A2改为椭圆（双曲线）上两个关于原点对称的点，动点P改为椭圆长轴（双曲线实轴）顶点A，即有推广5，推广6.
推广5：已知椭圆+=1（a>b>0）右焦点F（c，0），椭圆长轴的一个顶点为A（a，0），P，Q为椭圆上任意两个关于原点对称的点（不同于长轴上的两个顶点），直线AP，AQ分别与直线l∶x=t（t为常数）交于M，N两点，则•为定值.
证明：设P（m，n），Q（－m，－n），可得直线AP的方程为y=（x－a），直线AQ的方程为y=（x－a）=（x－a），解得Mt，（t－a），Nt，（t－a）.
易得=t－c，（t－a），=t－c，（t－a），所以•=（t－c）2+（t－a）2•. 因为+=1，所以=－，从而•=（t－c）2+（t－a）2•－，即•为定值.
推广6：已知双曲线-=1（a>0，b>0）右焦点F（c，0），双曲线实轴的一个顶点为A（a，0），P，Q为双曲线上任意两个关于原点对称的点（不同于实轴上的两个顶点），直线AP，AQ分别与直线l∶x=t（t为常数）交于M，N两点，则•为定值.
证明仿上，略. •=（t－c）2+（t－a）2•为定值.
揭示本质
实际上，本问题定值结果的产生来源于（以椭圆为例）椭圆+=1（a>b>0）上任意一点P（x0，y0），则有+=1，当出现点的坐标满足的结构时，结果为－定值. 又如，对于椭圆+=1（a>b>0），A1，A2是其左、右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的任一点，则直线PA1，PA2的斜率乘积为定值－（证明过程略）.
关键词：联考题；定值；探究
提出问题
题目 （2011年安徽省“江南十校”高三联考数学试卷（理）第19题）已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称
一个定值问题的探究性学习
沈 军
江苏高邮中学 225600
摘 要：证明某个具体二次曲线中相关计算结果恒为定值的解析几何问题是高考的常见题型，本文通过对一道联考题的探究，对其作出一般性的推广.
关键词：联考题；定值；探究，一条渐近线方程为y=x，右焦点为F（5，0），双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线l∶x=交于M，N两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：•为定值.
解：（1）－=1. （求解过程略）
（2）•=0（定值）. （证明过程略）
探究问题
探究1：此题中的直线l∶x=其实是该双曲线的准线，进而猜想本题结果的一般性结论是否成立，经推理，做以下一般性推广.
推广1：已知双曲线－=1（a>0，b>0），右焦点为F（c，0），双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上任一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线l∶x=交于M，N两点，则•为定值0.
证明：设A1（－a，0），A2（a，0），P（x0，y0），可得直线A1P的方程为y=（x+a），直线A2P的方程为y=（x－a），解得M，+a，N，•－a. 易得=-c，+a，=-c，-a，于是•=－a2+－a2•. 因为－=1，所以=，从而•=－a2+－a2•=－=0，即•=0（定值）.
探究2：将本问题中的双曲线改为椭圆，其他条件不变，该结论依然成立.
推广2：已知椭圆+=1（a>b>0），右焦点为F（c，0），椭圆的长轴为A1A2，P为椭圆上任一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线l∶x=交于M，N两点，则•=0为定值0.
证明仿上，略去.
探究3：将准线改为任意一条与实轴垂直的直线，•仍是定值.
推广3：已知双曲线－=1（a>0，b>0）的右焦点为F（c，0），双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上任一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线l∶x=t（t为常数）交于M，N两点，则•为定值.
证明：设A1（－a，0），A2（a，0），P（x0，y0），可得直线A1P的方程为y=（x+a），直线A2P的方程为y=（x－a），解得Mt，（t+a），Nt，（t－a）. 易得=t－c，（t+a），=t－c，（t－a），•=（t－c）2+（t2－a2）•. 因为－=1，所以=，从而•=（t－c）2+（t2－a2）•=t－a2，即•为定值.
探究4：把探究3的条件从双曲线变为椭圆，结论依然成立.
推广4：已知椭圆+=1（a>b>0）的右焦点为F（c，0），椭圆的长轴为A1A2，P为椭圆上任一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线l∶x=t（t为常数）交于M，N两点，则•为定值.
证明仿上，略. •=t－a2为定值.
探究5：把推广4中点A1，A2改为椭圆（双曲线）上两个关于原点对称的点，动点P改为椭圆长轴（双曲线实轴）顶点A，即有推广5，推广6.
推广5：已知椭圆+=1（a>b>0）右焦点F（c，0），椭圆长轴的一个顶点为A（a，0），P，Q为椭圆上任意两个关于原点对称的点（不同于长轴上的两个顶点），直线AP，AQ分别与直线l∶x=t（t为常数）交于M，N两点，则•为定值.
证明：设P（m，n），Q（－m，－n），可得直线AP的方程为y=（x－a），直线AQ的方程为y=（x－a）=（x－a），解得Mt，（t－a），Nt，（t－a）.
易得=t－c，（t－a），=t－c，（t－a），所以•=（t－c）2+（t－a）2•. 因为+=1，所以=－，从而•=（t－c）2+（t－a）2•－，即•为定值.
推广6：已知双曲线-=1（a>0，b>0）右焦点F（c，0），双曲线实轴的一个顶点为A（a，0），P，Q为双曲线上任意两个关于原点对称的点（不同于实轴上的两个顶点），直线AP，AQ分别与直线l∶x=t（t为常数）交于M，N两点，则•为定值.
证明仿上，略. •=（t－c）2+（t－a）2•为定值.
揭示本质
实际上，本问题定值结果的产生来源于（以椭圆为例）椭圆+=1（a>b>0）上任意一点P（x0，y0），则有+=1，当出现点的坐标满足的结构时，结果为－定值. 又如，对于椭圆+=1（a>b>0），A1，A2是其左、右顶点，P为椭圆上异于A1，A2的任一点，则直线PA1，PA2的斜率乘积为定值－（证明过程略）.