三次函数图象的对称中心的一条性质

• 作 者: 甘志国
• 出 处: 数理化学习·高一二版
• 发表日期: 2014年8期
• 关键词: 函数图象 三次函数 曲线 对称中心 定义域 直线 拐点

　　引理：（1）若函数y=f （x）在定义域D上可导，且a∈D，则函数y=f （x）的图象关于点
　　（a，f （a））对称函数y=f ′（x）的图象关于直线x=a对称.
　　（2）三次函数f （x）=ax3+bx2+cx+d （a≠0）的图象Γ关于点
　　A（-b3a，f （-b3a））
　　对称”（所以点A是曲线Γ的对称中心，也叫该曲线的拐点）.
　　证明 （1）得
　　f （x）+f （2a-x）=2f （a）在x∈D时恒成立，把此式两边对x求导，得
　　f ′（x）-f ′（2a-x）=0
　　f ′（x）=f ′（2a-x）
　　因为该式在x∈D时恒成立，所以函数y=f ′（x）的图象关于直线x=a对称.
　　得f ′（x）=f ′（2a-x）即[f （x）+f （2a-x）]′=0在
　　x∈D时恒成立，所以
　　f （x）+f （2a-x）=
　　常数C（x∈D）
　　又a∈D，所以在该式中令
　　x=a，得
　　C=2f （a），所以
　　f （x）+f （2a-x）=2f （a）（x∈D）
　　即函数y=f （x）的图象关于点（a，f （a））对称.
　　（2）由（1）知，只需证明抛物线f ′（x）=3ax2+2bx+c（a≠0）关于直线
　　x=-b3a对称.而这是成立的，所以欲证成立.
　　定理：设三次函数f （x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），则曲线y=f （x）的对称中心是点M（-b3a，f （-
　　b3a）），且有以下结论成立：
　　（1）若过点M的直线与曲线
　　y=f （x）交于另外两点A，B，则曲线y=f （x）在点A，B处的切线平行.
　　（2）若曲线y=f （x）在点A，B处的切线平行，则线段
　　AB的中点是M.
　　证明：设A（x1，f （x1）），B（x2，f （x2））（x1≠x2）.
　　（1）可设直线
　　l：y-f （-b3a）=k（x+b3a），把它与曲线y=f （x）联立后，可得
　　（3ax+b）（9a2x2+6abx+9ac-9ak-2b2）=0
　　所以 9a2x2i+3ac+6abxi=2b2+9ak-6ac（i=1，2）
　　f ′（xi）=9a2x2i+6abxi+3ac=2b23a
　　+3k-2c（i=1，2）
　　f ′（x1）=f ′（x2）
　　另证：得f （x）+f （-
　　b3a-x）=2f （
　　-b3a），两边求导，得
　　f ′（x）=
　　f ′（-b3a-x）
　　f ′（x1）=f ′（-b3a-x1）=f ′（x2）
　　（2）得f ′（x1）=f ′（x2），由此可证x1+x2=-2b3a，f （x1）+f （x2）=2f （-b3a），所以欲证成立.
　　自主招生试题 （2012年南开大学数学试点班）已知曲线
　　C：y=x3-3px2，斜率为
　　m的两条直线分别与曲线C切于A、B两点.
　　（1）求证：线段AB的中点在曲线C上；
　　（2）若直线AB的方程是y=-x-1，求p，m的值.
　　解：（1）由定理（2）立得.
　　（2）由定理（2）知，曲线C的中心
　　（p，-2p3）在直线
　　AB：y=-x-1上，可求得
　　p=1.
　　由
　　C：y=x3-3x2
　　AB：y=-x-1
　　，得
　　（x-1）（x2-2x-1）=0，该方程的三个根即点
　　A，M，B的横坐标（且
　　xM=1），得xA=1±2.
　　因为y′=3x2-6px，所以
　　m=3x2A-6pxA=…=3.
　　即p=1，m=3.