论文部分内容阅读
数形结合思想是高中所学数学思想中一种极其重要的思想，是高考中经常考查的内容，尤其是在选择题、填空题中，数形结合思想是重要考查点，因此，灵活掌握和运用数形结合思想解答选择题、填空题，是取得高考高分的关键.本文就刚结束的2014高考为例，就高考选择题、填空题中所考查的数形结合思想做一浅要探究.
数形结合思想是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像进行结合和相互转化，以寻找解题思路.在解数学题中，利用数形结合思想可优化解题过程，使复杂问题简单化，快速准确解决问题.著名数学家华罗庚也曾说：“数形本是两依倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.”可见，数学中的数和形要紧密结合，不可分离.
2014年高考考试大纲明确指出要重视数学思想方法的考查，而数形结合思想就成了高考中的重要考点.高考中数形结合思想的考查主要集中在选择题、填空题中.因此，灵活巧妙的运用数形结合思想可有针对性的在解决高考选择题、填空题中发挥奇特的功效，能在提高数学解题正确率的同时，大大提高解题速度，为简答题以及检查试卷争取时间，为得高分奠定基础.
数形结合常包括以形助数、以数助形、数形互助三个方面.下面就以2014年高考数学试卷为例，分别就这三个方面对数形结合思想进行说明.
一、以形助数
以形助数就是通过由形到数的转化，通过研究直观的图像性质来帮助解决数的问题，以达到数形结合，解决问题的目的.在高考选择题、填空题中，考查数形结合思想主要考查的即是以形助数.
例1 （2014年辽宁）已知a=2-13，
b=log213，
c=log1213，则（ ）
（A） a>b>c （B） a>c>b
（C） c>a>b（D） c>b>a
图1
解析：这是“数”比较大小的问题，有一定的难度，但考虑到将数转化成形，以形助数，问题就变的简单了.由题意画出三个函数
y=2-x，y=log2x，y=log12x的图像，如图1，由图像可得当x=13时，c>a>b.
注：对于函数比较大小的问题，借助函数的图像进行观察分析，以形助数，可更直观更快速地解决问题.
例2 （2014年全国）若函数
f （x）=cos2x+asinx在区间
（π6，π2）是减函数，则a的取值范围是
.
图2
解析：观察到函数f （x）可先化为只关于
sinx的函数f （x）=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1.下面令
t=sinx进行换元，则f （x）可转化为函数
f （t）=-2t2+at+1 （0≤t≤1），这是一个关于t的二次函数.这里还要注意t的取值范围是
0≤t≤1.现在问题就转化成了二次函数的性质问题.即得到
f （t）=-2t2+at+1 （0≤t≤1） 在区间（12，1）上是减函数.画出
f （t）图像，如图，开口向下，对称轴为
t=a4，由图像可得
a4≤12，
所以x∈（-∞，2]，故a的取值范围是（-∞，2].
注：三角函数是一类特殊的函数，在研究其单调性时，一般采用的是研究三角函数的性质，但若得到的三角函数式是一个二次函数时，则就需换元，通过研究二次函数的图像来解决问题.
图3
例3 （2014年山东）已知函数f （x）=|x-2|+1，g（x）=kx
.若方程f （x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ）
（A） （0，12） （B） （12，1） （C） （1，2） （D） （2，+∞）
解析：注意到f （x）含有绝对值，先分类讨论，当
x-2≥0，
即x≥2时，f （x）=x-2+1=x-1，当x-2<0，即x<2时，f （x）=2-x+1=3-x.在坐标轴中作出
f （x）的图像，如图3，f （x）的图像最低点是（2，1），g（x）=kx过定点（0，0）.所以通过图形可看出g（x）过原点和（2，1）时斜率最小为12，斜率最大时
g（x）的斜率与f （x）=x-1的斜率一致，即k=1.故k的取值范围为
（12，1），选（B）.
注：方程的解的问题，可通过方程所表示的几何意义与图形建立联系，以形助数，将方程所表达的抽象数量关系转化为图形的位置关系来解决.
二、以数助形
涉及到图形的问题，大多数都借助数的知识，转化为数的关系进行研究，这就是以数助形的方法.运用代数知识研究
图4
几何问题，以数助形，是数形结合思想的另一方面.
例4 （2014年福建）若函数y=logax（a>0且a≠1）的图象如图4所示，则下列函数图像正确的是（ ）
解析：由题目所给图像可知，函数过点（3，1），即
loga3=1，所以得到a=3.将a=3依次带入（A）（B）（C）（D）四个选项中，并观察
（A）（B）（C）（D）中函数表达式所对应的图像，很显然（A）（C）（D）错误，故选（B）.
注：数与形相互对应，把图形中隐藏的数量关系找出来，将“形”的问题转化为“数”的问题，以数助形，是解决图形问题的一个好做法.
三、数形互助
在常规解题中，有时会将上述两种形式结合起来，既以形助数，又以数助形，灵活转化，这就是数形互助. 图5
例5 （2014年山东）已知函数y=loga（x+c）（a，c为常数，其中a>0，a≠1）的图像如图5，则下列结论成立的是（ ）
（A） a>0，c>1
（B） a>1，0 （C） 01
（D） 0 解析：这是“形”和“数”灵活互化的问题，形中隐数，数中有形.看到对数函数，首先会想到对数函数
y=logax（a>0且a≠1）
的两种图像，0 a>1时，图像单调递增，并且两种图像都经过点（1，0），以数助形.由题目所给图像是单调递减的性质，可得0 y=logax的函数图像向左平移小于1个单位，故
0 图6
例6 （2014年新课标卷）不等式组
x+y≥1
x-2y≤4
的解集记为D，有下面四个命题：
（ ）
p1：（x，y）∈D，x+2y≥-2
p2（x，y）∈D，x+2y≥2，
p3：（x，y）∈D，x+2y≥3，
p4：（x，y）∈D，x+2y≤-1
其中真命题是（ ）
（A） p2，p3 （B） p1，p2 （C） p1，p4 （D） p1，p3
解析：在直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域，如图6，并分别画出p1，p2，p3，p4不等式所表示的区域，由图像可看出p3，p4为假，
p1，p2为真，故选（B）.
注：不等式组解的问题可用图像中平面区域来表示，即由数转化为形，然后通过观察平面区域的范围来确定命题的真假，即由形再转化为数，数形互助，相互转化，从而解决问题.
“数”与“形”本是一对矛盾，数形结合方能体现世间万物矛盾统一的特点.运用数形结合思想解数学题，不仅能有效地解决问题，而且还能使学生认识到问题的本质，加深对数学知识的理解，提高学生的数学思维能力.平常学习中，学生应灵活掌握和运用数形结合思想，才能在高考中运用自如，提高做题速度和正确率，取得优异成绩.
数形结合思想是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像进行结合和相互转化，以寻找解题思路.在解数学题中，利用数形结合思想可优化解题过程，使复杂问题简单化，快速准确解决问题.著名数学家华罗庚也曾说：“数形本是两依倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.”可见，数学中的数和形要紧密结合，不可分离.
2014年高考考试大纲明确指出要重视数学思想方法的考查，而数形结合思想就成了高考中的重要考点.高考中数形结合思想的考查主要集中在选择题、填空题中.因此，灵活巧妙的运用数形结合思想可有针对性的在解决高考选择题、填空题中发挥奇特的功效，能在提高数学解题正确率的同时，大大提高解题速度，为简答题以及检查试卷争取时间，为得高分奠定基础.
数形结合常包括以形助数、以数助形、数形互助三个方面.下面就以2014年高考数学试卷为例，分别就这三个方面对数形结合思想进行说明.
一、以形助数
以形助数就是通过由形到数的转化，通过研究直观的图像性质来帮助解决数的问题，以达到数形结合，解决问题的目的.在高考选择题、填空题中，考查数形结合思想主要考查的即是以形助数.
例1 （2014年辽宁）已知a=2-13，
b=log213，
c=log1213，则（ ）
（A） a>b>c （B） a>c>b
（C） c>a>b（D） c>b>a
图1
解析：这是“数”比较大小的问题，有一定的难度，但考虑到将数转化成形，以形助数，问题就变的简单了.由题意画出三个函数
y=2-x，y=log2x，y=log12x的图像，如图1，由图像可得当x=13时，c>a>b.
注：对于函数比较大小的问题，借助函数的图像进行观察分析，以形助数，可更直观更快速地解决问题.
例2 （2014年全国）若函数
f （x）=cos2x+asinx在区间
（π6，π2）是减函数，则a的取值范围是
.
图2
解析：观察到函数f （x）可先化为只关于
sinx的函数f （x）=cos2x+asinx=-2sin2x+asinx+1.下面令
t=sinx进行换元，则f （x）可转化为函数
f （t）=-2t2+at+1 （0≤t≤1），这是一个关于t的二次函数.这里还要注意t的取值范围是
0≤t≤1.现在问题就转化成了二次函数的性质问题.即得到
f （t）=-2t2+at+1 （0≤t≤1） 在区间（12，1）上是减函数.画出
f （t）图像，如图，开口向下，对称轴为
t=a4，由图像可得
a4≤12，
所以x∈（-∞，2]，故a的取值范围是（-∞，2].
注：三角函数是一类特殊的函数，在研究其单调性时，一般采用的是研究三角函数的性质，但若得到的三角函数式是一个二次函数时，则就需换元，通过研究二次函数的图像来解决问题.
图3
例3 （2014年山东）已知函数f （x）=|x-2|+1，g（x）=kx
.若方程f （x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ）
（A） （0，12） （B） （12，1） （C） （1，2） （D） （2，+∞）
解析：注意到f （x）含有绝对值，先分类讨论，当
x-2≥0，
即x≥2时，f （x）=x-2+1=x-1，当x-2<0，即x<2时，f （x）=2-x+1=3-x.在坐标轴中作出
f （x）的图像，如图3，f （x）的图像最低点是（2，1），g（x）=kx过定点（0，0）.所以通过图形可看出g（x）过原点和（2，1）时斜率最小为12，斜率最大时
g（x）的斜率与f （x）=x-1的斜率一致，即k=1.故k的取值范围为
（12，1），选（B）.
注：方程的解的问题，可通过方程所表示的几何意义与图形建立联系，以形助数，将方程所表达的抽象数量关系转化为图形的位置关系来解决.
二、以数助形
涉及到图形的问题，大多数都借助数的知识，转化为数的关系进行研究，这就是以数助形的方法.运用代数知识研究
图4
几何问题，以数助形，是数形结合思想的另一方面.
例4 （2014年福建）若函数y=logax（a>0且a≠1）的图象如图4所示，则下列函数图像正确的是（ ）
解析：由题目所给图像可知，函数过点（3，1），即
loga3=1，所以得到a=3.将a=3依次带入（A）（B）（C）（D）四个选项中，并观察
（A）（B）（C）（D）中函数表达式所对应的图像，很显然（A）（C）（D）错误，故选（B）.
注：数与形相互对应，把图形中隐藏的数量关系找出来，将“形”的问题转化为“数”的问题，以数助形，是解决图形问题的一个好做法.
三、数形互助
在常规解题中，有时会将上述两种形式结合起来，既以形助数，又以数助形，灵活转化，这就是数形互助. 图5
例5 （2014年山东）已知函数y=loga（x+c）（a，c为常数，其中a>0，a≠1）的图像如图5，则下列结论成立的是（ ）
（A） a>0，c>1
（B） a>1，0
（D） 0
y=logax（a>0且a≠1）
的两种图像，0
0
例6 （2014年新课标卷）不等式组
x+y≥1
x-2y≤4
的解集记为D，有下面四个命题：
（ ）
p1：（x，y）∈D，x+2y≥-2
p2（x，y）∈D，x+2y≥2，
p3：（x，y）∈D，x+2y≥3，
p4：（x，y）∈D，x+2y≤-1
其中真命题是（ ）
（A） p2，p3 （B） p1，p2 （C） p1，p4 （D） p1，p3
解析：在直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域，如图6，并分别画出p1，p2，p3，p4不等式所表示的区域，由图像可看出p3，p4为假，
p1，p2为真，故选（B）.
注：不等式组解的问题可用图像中平面区域来表示，即由数转化为形，然后通过观察平面区域的范围来确定命题的真假，即由形再转化为数，数形互助，相互转化，从而解决问题.
“数”与“形”本是一对矛盾，数形结合方能体现世间万物矛盾统一的特点.运用数形结合思想解数学题，不仅能有效地解决问题，而且还能使学生认识到问题的本质，加深对数学知识的理解，提高学生的数学思维能力.平常学习中，学生应灵活掌握和运用数形结合思想，才能在高考中运用自如，提高做题速度和正确率，取得优异成绩.