例析数列递推公式求通项公式

• 作 者: 杜菊森
• 出 处: 数理化学习·高一二版
• 发表日期: 2014年8期
• 关键词: 递推公式 通项公式 数列性质 高考 种类 运算 模式 考点 考查 高频

　　数列是历年高考的高频考点，数列的通项公式是研究数列性质，进行数列运算的主要依据，所以给定数列的递推公式求通项公式，是数列常考常新的内容之一，从近几年高考考查的模式，一般有以下几种类型.
　　一、递推公式为an+1an=Aan+1+Ban型
　　将an+1an=Aan+1+Ban两边同除以an+1an，令bn=1an，即化为等比数列形式.
　　例1 已知数列
　　{an}的首项，a1=35，an+1=3an2an+1，
　　n=1，2，…，求数列的{an}通项公式.
　　解析：由
　　an+1=3an
　　2an+1得：
　　1an+1=13an+23
　　，即1an+1-1=
　　13（1an-1）
　　，所以{1an-1}是以23为首项，公比为
　　13的等比数列，所以
　　1an-1=
　　23
　　·13n-1
　　=23n，所以an=
　　3n3n+2.
　　二、递推公式为an+1=f （n）an+g（n）型
　　例2 已知数列{an}的首项，
　　a1=1，an+1=（1+1n）an+n+12n，
　　bn=ann，求数列{bn}的通项公式.
　　解析：由
　　an+1=（1+1n）an+
　　n+12n，
　　得：an+1n+1=
　　ann=12n，令
　　bn=1an，则
　　bn+1-bn=12n，
　　用累差法可求得{bn}通项公式bn=
　　2-12n-1.
　　三、递推公式为f （a1，a2，a3，…，an，n）an=g（n）型
　　例3 已知数列
　　{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3，求数列的{an}通项.
　　解析： 由a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3，
　　n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=n-13，
　　两式相减得：3n-1an=13，得
　　an=13n
　　，当n=1时，a1=13也适合，所以数列的{an}通项为
　　an=13n.
　　四、递推公式为an+1=Aan+Ban-1型
　　其中A，B是不为零的常数，一般解法是变形为
　　an+1-λan=μ（an-λan-1），求出λ，μ，由此可得
　　{an-λan-1}是公比为μ的等比数列，可转化为第三种类型.
　　例4 已知数列{an}满足
　　a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈
　　N*，
　　（1）令bn=an+1-an，证明{bn}是等比数列，（2） 求数列的{an}通项.
　　解析：（1） 略
　　（2） 由（1）知，bn=an+1-an=（-12）n-1，
　　n≥2
　　时，
　　an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=
　　1+1+（-12）+…+
　　（-12）n-2=
　　1+1-（-12）n-1
　　1-（-12）
　　=1+23
　　[1-（-12）n-2]
　　=53-23
　　（-12）n-1，
　　当n=1时，a1=53-23（-
　　12）1-1=1也适合，所以数列的
　　an=53-23（-12）n-1.
　　五、递推公式为an+1=
　　λan+αμan+β
　　型
　　其中α，β，λ，μ为常数.
　　例5 各项均为正数的数列{an}，
　　a1=a，
　　a1=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有
　　am+an（1+am）（1+an）=
　　ap+aq（1+ap）（1+aq），当
　　a1=12，
　　a2=45，求数列
　　{an}的通项.
　　解析：由
　　am+an
　　（1+am）（1+an）
　　=ap+aq
　　（1+ap）（1+aq）
　　得
　　a1+an（1+a1）（1+an）
　　=a2+an-1
　　（1+a2）（1+an+1），
　　把a1=12，
　　a2=45 代入化简得：
　　an=2an-1+1an-1+2，将此式变形为
　　1-an1+an=
　　13·
　　1-an-11+an-1
　　，所以{1-an1+an}是以公比为
　　13的等比数列，故
　　1-an1+an=13n，即an=
　　3n-13n+1.