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摘要：本文应用决策分析的方法，对奶制品在市场销售、供应中的存货与定价进行数学研究，解决现实生活中奶制品在流通环节的价格问题和利润模型，使效益达到最佳。
关键词：决策分析；市场销售；利润模型
【中图分类号】F713.3
假设奶站在从奶农手上收购鲜奶全是最新鲜的，新鲜的牛奶售价最高，奶站先将收购的牛奶销售给酸奶加工商，酸奶加工商经过分析鲜奶质量和自身需求后，购买一定数量牛奶，而剩下的牛奶经过时间延迟，新鲜度变差此时奶站再其以稍低价格销售给盒装奶加工商.同样的，盒装奶加工商购完牛奶后，奶站将剩下的全部牛奶以更低价格全部销售给冰激凌加工商，如果牛奶还有剩余，则只有将其倒掉，即残值为（可看成是回购价格为0）.
为了便于问题和模型分析，本文对问题模型还做了以下假设：（1）为简化问题，本文只考虑奶站一次收购鲜奶的情况，即不存在二次订购情况.（2）在每次销售过程中，需求变量x是连续的随机变量，并服从分布函数F（x），其概率密度函数为f（x）.为了处理方便，假定各次销售活动中的需求分布是相互独立的.（3）假设酸奶加工商，盒装奶加工商和冰激凌加工商为3个不相关的厂商，三者互相不知道对方需求情况.
假设：m为奶站利润；rn为第n期销售价格（n=1、2、3，r1>r2>r3>c>0）；c为订购成本；y为零售商订货量为第n期相应厂商对鲜奶的需求量；sn为第n期的缺货损失；Fn（xn）为第n期相应厂商的需求分布函数；fn（xn）为第n期的分布密度函数；f（x1，x2，x3，...，xn）为x1，x2，x3，...，xn的联合分布密度函数；F1，2，3...，n为x1+x2+x3+...+xn的联合分布函数.
一次销售模型：一次销售模型是假设奶站购买的牛奶全部被酸奶厂商订购，即奶站只进行了一期销售则奶站的的利润有以下2种情况：
（1）不考虑缺货损失.在当前以买方市场为主的环境下，在简单的二阶段供应链模型中，奶站从奶农处收购牛奶量取决于奶站根据历史销售数据获得的经验值.因此，可以得出奶站的利润函数如下：
m=（r1-c）min（y，x1）.........（1）
则奶站利润的平均值为：
E（m）=（r1-c）x1f1（x1）dx1+（r1-c）yf1（x1）dx1.........（2）
可得y*满足条件（r1-c）[1-F1（y）]=0，因为r1>c，所以，最优订货量y*满足条件F1 （y*）=1.
（2）考虑缺货损失.在考虑缺货损失的条件下，一次销售模型中奶站的利润函数为：
m=（r1-c）min（y，x1）-s1（x1-y）............（3）
则其平均值为：
E（m）=（r1-c）x1f1（x1）dx1+（r1-c）yf1（x1）dx1-s1（x1-y）f1（x1）dx1...（4）
由于r1-c+s1肯定大于0最优订货量y*和不考虑缺货损失的情形相同.
三次销售模型：指第2期销售阶段完后，还有牛奶没有卖出，则奶站只好以更低的价格将剩余产品买给冰激凌加工商.此时存在两种情况：要么所以的剩余牛奶在第3期全部被卖出，要么还有剩余，则奶站只好将其扔掉，此时可假设为回购价格v=0.
（1）当产品在第3期全部被卖出时，考虑缺货损失.此时，奶站的利润函数为：
m=（r1-c）min（y，x1）+（r2-c）[min（y-x1，x2）]+
+（r3-c）[min（y-x1-x2，x3]+..................（5）
则利润平均值为：
E（m）=（r1-c）x1f1（x1）dx1+（r1-c）yf1（x1）dx1
+（r2-c） x1f1（x1）dx1x2f2（x2）dx2
+（r2-c） f1（x1）dx1（y-x1）f2（x2）dx2（r3-c）x1f1（x1）dx1x2f2（x2）dx2
+（r2-c） f1（x1）dx1（y-x1）f2（x2）dx2（r3-c）x1f1（x1）dx1x2f2（x2）dx2
-（r3-c） x1f1（x1）dx1x2f2（x2）dx2x3f3（x3）dx3.........（10）
因此，最优订货量y*满足
（r1-c）-（r1-r2）F1（y*）-（r2-r3）F1，2（y*）-（r3-c）F1，2，3（y*）=0.
由此可看出，三次销售模型中，最优订货点受F1（y*）、F1，2（y*）和F1，2，3（y*）共同影响.
（2）当产品在第3期全部被卖出时，考虑缺货损失.在考虑缺货损失的前提下，三次销售模型的奶站利
润函数为：
m=（r1-c）min（y，x1）+（r2-c）[min（y-x1，x2）]+
+（r3-c）[min（y-x1-x2，x3]+-s1[y，x1]-
-s2[y-x1-x2-s3[y-x1-x2-x3]-......（6）
对利润平均值求导可以得出
（r1-c+s1）-（r1-r2+s1+s2）F1（y*）
-（r2-r3-s2-s3）F1，2（y*）-（r3-c-s3） F1，2，3（y*）=0.
因此，在三次销售模型中，二期销售价格要小于单位产品成本和二期销售缺货成本之和，三期销售价格也要小于单位产品成本和三期销售缺货成本之和.
（3）当产品在第3期没有被全部卖出.这种情况是奶站最不愿看到的，在这种情况下，奶站需要将多余的牛奶以价格v=0处理掉.此时奶站利润为：
m=（-c）min（y，）+（-c）[min（y-，）
+（-c）[min（y--，-（v-c）[y---............（7）
采取同样方法，可以得出最优订货量满足条件
（-c）-（-）（）-（-）（）-（）=0.
此时，不会存在缺货问题，因此没有必要讨论缺货损失问题.当然，在经过，次销售后，有可能剩余产品还有新的用途，此时又存在另外一次或者几次的销售行为.此模型依前文推算过程，可获得四次销售模型或者多次销售模型.
参考文献
[1]何坚勇.运筹学基础（第二版），清华大学出版社，2008.3
[2]张鸣龙.在最优解上挖潜-运输问题研究，系统工程理论与实践[J].1987，7（1）：1-6
[3]文平，王生喜.运输问题悖论及其研究[J].数学的实践与认识，2005，35（9）：129-133
[4]夏少刚，张建华.求解运输问题的一种新算法[J].运筹与管理，2007，16（1）：32-36
[5]管梅谷，郑汉鼎.线性规划[M].济南：山东科技出版社，1983
关键词：决策分析；市场销售；利润模型
【中图分类号】F713.3
假设奶站在从奶农手上收购鲜奶全是最新鲜的，新鲜的牛奶售价最高，奶站先将收购的牛奶销售给酸奶加工商，酸奶加工商经过分析鲜奶质量和自身需求后，购买一定数量牛奶，而剩下的牛奶经过时间延迟，新鲜度变差此时奶站再其以稍低价格销售给盒装奶加工商.同样的，盒装奶加工商购完牛奶后，奶站将剩下的全部牛奶以更低价格全部销售给冰激凌加工商，如果牛奶还有剩余，则只有将其倒掉，即残值为（可看成是回购价格为0）.
为了便于问题和模型分析，本文对问题模型还做了以下假设：（1）为简化问题，本文只考虑奶站一次收购鲜奶的情况，即不存在二次订购情况.（2）在每次销售过程中，需求变量x是连续的随机变量，并服从分布函数F（x），其概率密度函数为f（x）.为了处理方便，假定各次销售活动中的需求分布是相互独立的.（3）假设酸奶加工商，盒装奶加工商和冰激凌加工商为3个不相关的厂商，三者互相不知道对方需求情况.
假设：m为奶站利润；rn为第n期销售价格（n=1、2、3，r1>r2>r3>c>0）；c为订购成本；y为零售商订货量为第n期相应厂商对鲜奶的需求量；sn为第n期的缺货损失；Fn（xn）为第n期相应厂商的需求分布函数；fn（xn）为第n期的分布密度函数；f（x1，x2，x3，...，xn）为x1，x2，x3，...，xn的联合分布密度函数；F1，2，3...，n为x1+x2+x3+...+xn的联合分布函数.
一次销售模型：一次销售模型是假设奶站购买的牛奶全部被酸奶厂商订购，即奶站只进行了一期销售则奶站的的利润有以下2种情况：
（1）不考虑缺货损失.在当前以买方市场为主的环境下，在简单的二阶段供应链模型中，奶站从奶农处收购牛奶量取决于奶站根据历史销售数据获得的经验值.因此，可以得出奶站的利润函数如下：
m=（r1-c）min（y，x1）.........（1）
则奶站利润的平均值为：
E（m）=（r1-c）x1f1（x1）dx1+（r1-c）yf1（x1）dx1.........（2）
可得y*满足条件（r1-c）[1-F1（y）]=0，因为r1>c，所以，最优订货量y*满足条件F1 （y*）=1.
（2）考虑缺货损失.在考虑缺货损失的条件下，一次销售模型中奶站的利润函数为：
m=（r1-c）min（y，x1）-s1（x1-y）............（3）
则其平均值为：
E（m）=（r1-c）x1f1（x1）dx1+（r1-c）yf1（x1）dx1-s1（x1-y）f1（x1）dx1...（4）
由于r1-c+s1肯定大于0最优订货量y*和不考虑缺货损失的情形相同.
三次销售模型：指第2期销售阶段完后，还有牛奶没有卖出，则奶站只好以更低的价格将剩余产品买给冰激凌加工商.此时存在两种情况：要么所以的剩余牛奶在第3期全部被卖出，要么还有剩余，则奶站只好将其扔掉，此时可假设为回购价格v=0.
（1）当产品在第3期全部被卖出时，考虑缺货损失.此时，奶站的利润函数为：
m=（r1-c）min（y，x1）+（r2-c）[min（y-x1，x2）]+
+（r3-c）[min（y-x1-x2，x3]+..................（5）
则利润平均值为：
E（m）=（r1-c）x1f1（x1）dx1+（r1-c）yf1（x1）dx1
+（r2-c） x1f1（x1）dx1x2f2（x2）dx2
+（r2-c） f1（x1）dx1（y-x1）f2（x2）dx2（r3-c）x1f1（x1）dx1x2f2（x2）dx2
+（r2-c） f1（x1）dx1（y-x1）f2（x2）dx2（r3-c）x1f1（x1）dx1x2f2（x2）dx2
-（r3-c） x1f1（x1）dx1x2f2（x2）dx2x3f3（x3）dx3.........（10）
因此，最优订货量y*满足
（r1-c）-（r1-r2）F1（y*）-（r2-r3）F1，2（y*）-（r3-c）F1，2，3（y*）=0.
由此可看出，三次销售模型中，最优订货点受F1（y*）、F1，2（y*）和F1，2，3（y*）共同影响.
（2）当产品在第3期全部被卖出时，考虑缺货损失.在考虑缺货损失的前提下，三次销售模型的奶站利
润函数为：
m=（r1-c）min（y，x1）+（r2-c）[min（y-x1，x2）]+
+（r3-c）[min（y-x1-x2，x3]+-s1[y，x1]-
-s2[y-x1-x2-s3[y-x1-x2-x3]-......（6）
对利润平均值求导可以得出
（r1-c+s1）-（r1-r2+s1+s2）F1（y*）
-（r2-r3-s2-s3）F1，2（y*）-（r3-c-s3） F1，2，3（y*）=0.
因此，在三次销售模型中，二期销售价格要小于单位产品成本和二期销售缺货成本之和，三期销售价格也要小于单位产品成本和三期销售缺货成本之和.
（3）当产品在第3期没有被全部卖出.这种情况是奶站最不愿看到的，在这种情况下，奶站需要将多余的牛奶以价格v=0处理掉.此时奶站利润为：
m=（-c）min（y，）+（-c）[min（y-，）
+（-c）[min（y--，-（v-c）[y---............（7）
采取同样方法，可以得出最优订货量满足条件
（-c）-（-）（）-（-）（）-（）=0.
此时，不会存在缺货问题，因此没有必要讨论缺货损失问题.当然，在经过，次销售后，有可能剩余产品还有新的用途，此时又存在另外一次或者几次的销售行为.此模型依前文推算过程，可获得四次销售模型或者多次销售模型.
参考文献
[1]何坚勇.运筹学基础（第二版），清华大学出版社，2008.3
[2]张鸣龙.在最优解上挖潜-运输问题研究，系统工程理论与实践[J].1987，7（1）：1-6
[3]文平，王生喜.运输问题悖论及其研究[J].数学的实践与认识，2005，35（9）：129-133
[4]夏少刚，张建华.求解运输问题的一种新算法[J].运筹与管理，2007，16（1）：32-36
[5]管梅谷，郑汉鼎.线性规划[M].济南：山东科技出版社，1983