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【摘要】数学学科的灵魂之一是数学思想，而在所有的数学思想之中，最重要、最能够化抽象为具体的思想便是数形结合思想。数形结合思想可以把抽象的数学语言与生动直观的几何图形相结合，能够让数学问题更加清晰明了。小学生还处于认知能力发展的初级阶段，数形结合有利于帮助他们简化数学难度，激发学习兴趣，从而提高课堂教学效率。文章在结合前人研究成果的基础上，对数形结合方法的原理与作用进行论述，在此基础上收集、总结了教学实践中学生出现的错题，并分析其内在产生原因，进而提出解决方案，以期对促进数形结合在策略解析中的应用提供参考。
【关键词】数形结合；小学数学；错题；改进策略
一、数形结合思想与方法
数学的核心研究内容是研究数量关系与空间形式的科学，其中“数”和“形”是研究的最主要内容且二者并不是壁垒分明而是相依相生。通过“数”和“形”的完美结合，有助于在研究和解决数学问题时充分体会到隐含的条件和联系。在探寻数量关系上的意义的同时，可以以几何的直观性促进认知。数形结合思想的本质是以抽象的数量关系和直观的几何图形结合来看待问题，是人们研究和解决数学问题的重要方法和观念。
数形结合思想方法在数学教学尤其是小学学习中非常普遍，它的具体应用主要包含三个方面：“以形代数”“以数化形”“数形结合”。这三种思想都能够在数学应用中起到一定的作用，虽然形式和侧重点有所不同，但它们的根本目的都是使问题变得更加简单、易于理解或者方便操作。小学是学生能力培养的重要阶段，在这一时期采用数形结合的学习方法，不仅能够改善学习效果，也能够促进学生的思维能力的发展，为学生综合发展打下基础。
二、数形结合对数学学习的作用
1.有助于提升概念的具体性
构建主义认为，更高级的学习形式不是学生对知识被动接受或者按部就班地完成学习流程，而是将自己已经获取的知识运用与自己掌握的方法系统地架构起来，独立自主地构建知识体系的过程。但这一过程却并不简单，因为对于小学生来说很多知识或者方法是抽象难懂的，对于他们而言有相当的难度。而“数形结合”的思想恰好能够帮助他们解决这一问题，化抽象为具体，使相关知识点在他们脑海中能够清晰地浮现出来，从而提高学习效率。
2.有助于正确理解算式算理的方向性
计算能力是数学学习当中最基础最重要的能力，是学生综合素养的重要组成部分之一。而计算能力培养的重心在于熟悉正确的计算方法、理解正确的计算原理。因此，小学数学教师在教学中要侧重于运用有效的方法策略，传授正确的算法算理，通过练习巩固计算方法培养计算能力，在这个过程中数形结合的思想可以起到很好的导向作用。
3.有助于拓宽学生思维
数形结合的基本应用就相关问题中的数学符号或者逻辑关系展现出来，映射到图形上。这样的特点能够为教师引导学生分析问题，梳理内部数量关系起到关键作用的重要策略。特别是在讲解重难点知识的时候，若能将相应的数学符号与图形对应起来，形成一个映射相互转换，则可以使得原本问题由繁化简，由抽象化为具体，让学生觉得自己有可能解开，从而调动起主动学习的积极性。
三、“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”教学错例分析
《求比一个数多（少）几分之几的数是多少》被安排在人教版六年级上册，教学目标包括：
1.通过学生自主学习以及合作学习，了解“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的应用题的结构特征。在此基础上学会利用线段图来分析数量关系。
2.通过学生自主学习以及合作学习，掌握解答“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的应用题的解题思路和方法，并能够正确列式计算。
3.学生在自主学习以及合作学习过程中，培养提出问题的意识，并且愿意对问题进行讨论、交流、达成共识的合作意识。培养学生分析问题的能力和综合运用所学知识解决问题的能力。
但在实际教学中教学目标的实现并不简单，学生在学习的过程中会出现各种各样的错误，现总结如下。
1.常见错误：惯性思维
【错例重现】案例1：某社区图书角有文学书840本，漫画书比文艺书少7/12，则文学书比漫画书少多少本？
【错误解法】840×7/12=560
【错误成因】出现这一类型的错误，主要是由于之前的学习让学生产生了“惯性思维”。题中两个条件自然而然地让学生想将其相乘，而将已知量看作单位1，忽视了题目中的实际条件。
【改進策咯】对大多数学生来说，智力水平并不出众，在小学阶段更为重要的是培养孩子良好的学习习惯而不是仅仅聚焦于结果。多年来的错误导向使得有些孩子急于找到最后的结果，经常急于求成或者过于自负。常见的问题有读题不完整不仔细、遗漏重要信息、凭感觉做题等。因此教师要采取针对性的策略，加强对读题仔细的要求，注重检查、验算。对于一些抽象思维能力不够强的学生，教师可以通过作图来帮助他们理解。
2.常见错误：关系错误
【错误再现】案例2：有两堆水果，甲堆有36公斤，比乙堆水果的3/4多4公斤，那么乙堆水果有多少千克？
【错误解法】36×3/4+4或36÷3/4+4等
【原因分析】很多学生对这题感觉很熟悉，但又有陌生之处，事实上学生之前掌握了某些题目，但对于解法与真正的数学关系并没有清楚的认知，因此面对变体题目的时候，很难把握差异，而只是生搬硬套导致错误。
【改进策略】要解决数学关系梳理不清的问题，就必须培养学生洞察数学对象的能力，加强练习，培养学生认真分析、深刻理解题意的习惯。不同类型的本质区别是包含了不同的数学关系，教师要选取典型例题进行对比讲解，然后找出什么情况下用什么解法合理。对于一些比较复杂的题目，若利用数形结合可以让难题迎刃而解。 3.常见错误：缺乏思路
【错误再现】案例3：菜园里有三种菜地，其中茄子地和辣椒地的面积之比是1：4，白菜地占总菜地的2/7，目辣椒地的面积有92平方米，则菜地总共有多大面积？
【错误解法】92÷（1-1/5-2/7）
【原因分析】很多学生面对这道题的时候表示不会做或者没有思路，他们说，不知怎么入手，不清楚辣椒的份数也不清楚茄子地的面积。但通过细致分析，可以捋清楚每一种蔬菜的份数，然后统一进行计算，问题便能轻松解决。
【改进策略】创新的前提是理解，而理解的前提在于对知识充分掌握。培养学生思维能力不是能够一蹴而就的，教师首先要在日常学习中让学生把知识学得“深”一点，在深的基础上學得“活”一点。只有在教学中运用多种方式，让学生对知识有更深刻的理解，将所有的知识点、方法在头脑中串联起来，形成完整的知识体系，这样才能在做题的时候及时发现思路，高效完成任务。如果实在做不出来，则可以让学生不管会不会做，先把图形画出来，慢慢在图形当中找到思路。
综上所述，对于数学解题中存在的多种问题，数形结合思想都能够有效改善学习效率，提高解题效果。
四、“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”中数形结合的运用
在实际教学中，实现教学目标的第一个要求并不难，但是到了第二步就开始不太顺利，对应分数内容，学生本身就没有非常清晰明确的认识，因而列出算式、理解算式的意义、梳理清楚数量关系对他们也就显得不太容易。其中很重要的一个原因在于由整数向分数具有较大的跨度，整数相加减很容易在现实生活中找到相应的参照物，但是对于分数就不那么容易。因此，本课的教学重点就在于帮助学生搭建直观操作与抽象知识之间的连接，实现这一目标的一大利器就是数形结合：
1.教学实践1：线段图解题
【题目引入】教辅资料中有一道例题如下：张晓华的身高是110cm，比爸爸的身高低3/8，那么张晓华的爸爸身高多少？
阅读题目可以产生以下几个问题：
①从题目中你获取了哪些已知条件？
②怎样理解“张晓华的身高比爸爸的身高低3/8”？
③这道题如何画出线段图，怎样列出各量之间的比例关系，最终如何列式解答？
【深度分析】此题是建立在“已知比一个数多（少）几分之几是多少求这个数”这一知识点的分数应用题。这一题中最难的部分是分析数量关系并怎么样利用等量关系式来解题。通过教学实践看来，最常见的错误是“爸爸身高×3/8=张晓华的身高”。这种错误也体现了对于建立等量关系这一分数学习中的重难点，学生掌握得还不是很好。
在教学交流活动中，我发现许多老师的教学重心放在“已知量÷已知量的对应份额=单位“1”这一等式上。在教学中也是对其反复讲解，使得学生对这一概念的理解和记忆根深蒂固，一旦面对分数问题，首先想到的就是这个等式，对于这样的情况，教师不能急于求成，而是运用系统的方法，让学生清晰地梳理各种关系，使题目迎刃而解。
【教学设计】对于分数问题，线段图解题是一种很好的数形结合方法方法，用长线条代表爸爸的身高，用一条平行的短线段代表张晓华的身高，通过这样的办法，可以借助更加形象的思维，帮助学生理解，进一步实现举一反三，较好地完成教学任务。
具体设计流程如下：
①师生共同探究，自己画出线段图表示爸爸的身高和张晓华的身高，并标记每一部分代表的含义。
②画出两条线段的差额，并让学生解释这一段的含义。
⑧提问：这里是怎么得出两人身高差额的？
④进一步提问：怎样求出爸爸的身高？
在完成上述步骤的基础自上，引导学生梳理清楚等量关系：爸爸的身高一张晓华比爸爸低的身高=张晓华身高。教师继续提问题：你们能不能把所画的线段图和等量关系连接起来？根据数形结合确立等量关系式，相比之下更加直观且易于理解。实践证明，运用数形结合的方法，可以让学生很好地掌握知识点，也不容易在类似问题上犯错。
2.教学实践2：创设生活情境，运用图表教学
【题目引入】布置一道这样的题目：随着科技的发展，我国火车运用经历了六次提速。从20世纪90年代的120km/h的运行时速提高到了如今的300km/h并有望在之后提高到350km/h，那么在这些年里，动车车速总共提高了几分之几？
【深度分析】此题考察的重点在于区分每一次速度增加时候的基数。学生在课堂教学和课后作业面对类似的题目是所常犯的问题也就是对于增长基数区分不清楚。如在有120增加到140的时候，实际增加了（140-120）÷120=1/6，但在计算由140增加到160的时候，会算成（160-140）÷120=1/6；或是在计算总增加量的时候算成（300-120）/200=8/90。
【教学设计】对于这一类多次增加的问题，可以设计柱状图让学生进行理解。
②根据上表，计算出每一次增加的增量分别为20、40、50、50，将其列在上表之后：
③在此基础上再增加一列作为基数：
通过这样的程序，便可以让学生很清晰地理清楚每一次增加之间的数量关系。除了用表，也可以运用统计图来让学生有更直观的印象：
五、结束语
在小学数学教学过程中，数学符号和几何图形之间的紧密联系不仅仅可以使抽象和直观的融合得以实现，通过运用数形结合的教学模式，对于锻炼小学生将直观图形转化为数字的能力和将数字转化为易懂的图形能力的提高有很大帮助。另一方面，这种生动活泼的教学形式也可以有效提升教学效果，让学生产生主动学习的欲望，对数学不再畏惧，积极探索，善于发现生活中的问题并利用数学知识加以解决，这对于小学生长远发展和综合发展起着至关重要的作用。
【关键词】数形结合；小学数学；错题；改进策略
一、数形结合思想与方法
数学的核心研究内容是研究数量关系与空间形式的科学，其中“数”和“形”是研究的最主要内容且二者并不是壁垒分明而是相依相生。通过“数”和“形”的完美结合，有助于在研究和解决数学问题时充分体会到隐含的条件和联系。在探寻数量关系上的意义的同时，可以以几何的直观性促进认知。数形结合思想的本质是以抽象的数量关系和直观的几何图形结合来看待问题，是人们研究和解决数学问题的重要方法和观念。
数形结合思想方法在数学教学尤其是小学学习中非常普遍，它的具体应用主要包含三个方面：“以形代数”“以数化形”“数形结合”。这三种思想都能够在数学应用中起到一定的作用，虽然形式和侧重点有所不同，但它们的根本目的都是使问题变得更加简单、易于理解或者方便操作。小学是学生能力培养的重要阶段，在这一时期采用数形结合的学习方法，不仅能够改善学习效果，也能够促进学生的思维能力的发展，为学生综合发展打下基础。
二、数形结合对数学学习的作用
1.有助于提升概念的具体性
构建主义认为，更高级的学习形式不是学生对知识被动接受或者按部就班地完成学习流程，而是将自己已经获取的知识运用与自己掌握的方法系统地架构起来，独立自主地构建知识体系的过程。但这一过程却并不简单，因为对于小学生来说很多知识或者方法是抽象难懂的，对于他们而言有相当的难度。而“数形结合”的思想恰好能够帮助他们解决这一问题，化抽象为具体，使相关知识点在他们脑海中能够清晰地浮现出来，从而提高学习效率。
2.有助于正确理解算式算理的方向性
计算能力是数学学习当中最基础最重要的能力，是学生综合素养的重要组成部分之一。而计算能力培养的重心在于熟悉正确的计算方法、理解正确的计算原理。因此，小学数学教师在教学中要侧重于运用有效的方法策略，传授正确的算法算理，通过练习巩固计算方法培养计算能力，在这个过程中数形结合的思想可以起到很好的导向作用。
3.有助于拓宽学生思维
数形结合的基本应用就相关问题中的数学符号或者逻辑关系展现出来，映射到图形上。这样的特点能够为教师引导学生分析问题，梳理内部数量关系起到关键作用的重要策略。特别是在讲解重难点知识的时候，若能将相应的数学符号与图形对应起来，形成一个映射相互转换，则可以使得原本问题由繁化简，由抽象化为具体，让学生觉得自己有可能解开，从而调动起主动学习的积极性。
三、“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”教学错例分析
《求比一个数多（少）几分之几的数是多少》被安排在人教版六年级上册，教学目标包括：
1.通过学生自主学习以及合作学习，了解“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的应用题的结构特征。在此基础上学会利用线段图来分析数量关系。
2.通过学生自主学习以及合作学习，掌握解答“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的应用题的解题思路和方法，并能够正确列式计算。
3.学生在自主学习以及合作学习过程中，培养提出问题的意识，并且愿意对问题进行讨论、交流、达成共识的合作意识。培养学生分析问题的能力和综合运用所学知识解决问题的能力。
但在实际教学中教学目标的实现并不简单，学生在学习的过程中会出现各种各样的错误，现总结如下。
1.常见错误：惯性思维
【错例重现】案例1：某社区图书角有文学书840本，漫画书比文艺书少7/12，则文学书比漫画书少多少本？
【错误解法】840×7/12=560
【错误成因】出现这一类型的错误，主要是由于之前的学习让学生产生了“惯性思维”。题中两个条件自然而然地让学生想将其相乘，而将已知量看作单位1，忽视了题目中的实际条件。
【改進策咯】对大多数学生来说，智力水平并不出众，在小学阶段更为重要的是培养孩子良好的学习习惯而不是仅仅聚焦于结果。多年来的错误导向使得有些孩子急于找到最后的结果，经常急于求成或者过于自负。常见的问题有读题不完整不仔细、遗漏重要信息、凭感觉做题等。因此教师要采取针对性的策略，加强对读题仔细的要求，注重检查、验算。对于一些抽象思维能力不够强的学生，教师可以通过作图来帮助他们理解。
2.常见错误：关系错误
【错误再现】案例2：有两堆水果，甲堆有36公斤，比乙堆水果的3/4多4公斤，那么乙堆水果有多少千克？
【错误解法】36×3/4+4或36÷3/4+4等
【原因分析】很多学生对这题感觉很熟悉，但又有陌生之处，事实上学生之前掌握了某些题目，但对于解法与真正的数学关系并没有清楚的认知，因此面对变体题目的时候，很难把握差异，而只是生搬硬套导致错误。
【改进策略】要解决数学关系梳理不清的问题，就必须培养学生洞察数学对象的能力，加强练习，培养学生认真分析、深刻理解题意的习惯。不同类型的本质区别是包含了不同的数学关系，教师要选取典型例题进行对比讲解，然后找出什么情况下用什么解法合理。对于一些比较复杂的题目，若利用数形结合可以让难题迎刃而解。 3.常见错误：缺乏思路
【错误再现】案例3：菜园里有三种菜地，其中茄子地和辣椒地的面积之比是1：4，白菜地占总菜地的2/7，目辣椒地的面积有92平方米，则菜地总共有多大面积？
【错误解法】92÷（1-1/5-2/7）
【原因分析】很多学生面对这道题的时候表示不会做或者没有思路，他们说，不知怎么入手，不清楚辣椒的份数也不清楚茄子地的面积。但通过细致分析，可以捋清楚每一种蔬菜的份数，然后统一进行计算，问题便能轻松解决。
【改进策略】创新的前提是理解，而理解的前提在于对知识充分掌握。培养学生思维能力不是能够一蹴而就的，教师首先要在日常学习中让学生把知识学得“深”一点，在深的基础上學得“活”一点。只有在教学中运用多种方式，让学生对知识有更深刻的理解，将所有的知识点、方法在头脑中串联起来，形成完整的知识体系，这样才能在做题的时候及时发现思路，高效完成任务。如果实在做不出来，则可以让学生不管会不会做，先把图形画出来，慢慢在图形当中找到思路。
综上所述，对于数学解题中存在的多种问题，数形结合思想都能够有效改善学习效率，提高解题效果。
四、“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”中数形结合的运用
在实际教学中，实现教学目标的第一个要求并不难，但是到了第二步就开始不太顺利，对应分数内容，学生本身就没有非常清晰明确的认识，因而列出算式、理解算式的意义、梳理清楚数量关系对他们也就显得不太容易。其中很重要的一个原因在于由整数向分数具有较大的跨度，整数相加减很容易在现实生活中找到相应的参照物，但是对于分数就不那么容易。因此，本课的教学重点就在于帮助学生搭建直观操作与抽象知识之间的连接，实现这一目标的一大利器就是数形结合：
1.教学实践1：线段图解题
【题目引入】教辅资料中有一道例题如下：张晓华的身高是110cm，比爸爸的身高低3/8，那么张晓华的爸爸身高多少？
阅读题目可以产生以下几个问题：
①从题目中你获取了哪些已知条件？
②怎样理解“张晓华的身高比爸爸的身高低3/8”？
③这道题如何画出线段图，怎样列出各量之间的比例关系，最终如何列式解答？
【深度分析】此题是建立在“已知比一个数多（少）几分之几是多少求这个数”这一知识点的分数应用题。这一题中最难的部分是分析数量关系并怎么样利用等量关系式来解题。通过教学实践看来，最常见的错误是“爸爸身高×3/8=张晓华的身高”。这种错误也体现了对于建立等量关系这一分数学习中的重难点，学生掌握得还不是很好。
在教学交流活动中，我发现许多老师的教学重心放在“已知量÷已知量的对应份额=单位“1”这一等式上。在教学中也是对其反复讲解，使得学生对这一概念的理解和记忆根深蒂固，一旦面对分数问题，首先想到的就是这个等式，对于这样的情况，教师不能急于求成，而是运用系统的方法，让学生清晰地梳理各种关系，使题目迎刃而解。
【教学设计】对于分数问题，线段图解题是一种很好的数形结合方法方法，用长线条代表爸爸的身高，用一条平行的短线段代表张晓华的身高，通过这样的办法，可以借助更加形象的思维，帮助学生理解，进一步实现举一反三，较好地完成教学任务。
具体设计流程如下：
①师生共同探究，自己画出线段图表示爸爸的身高和张晓华的身高，并标记每一部分代表的含义。
②画出两条线段的差额，并让学生解释这一段的含义。
⑧提问：这里是怎么得出两人身高差额的？
④进一步提问：怎样求出爸爸的身高？
在完成上述步骤的基础自上，引导学生梳理清楚等量关系：爸爸的身高一张晓华比爸爸低的身高=张晓华身高。教师继续提问题：你们能不能把所画的线段图和等量关系连接起来？根据数形结合确立等量关系式，相比之下更加直观且易于理解。实践证明，运用数形结合的方法，可以让学生很好地掌握知识点，也不容易在类似问题上犯错。
2.教学实践2：创设生活情境，运用图表教学
【题目引入】布置一道这样的题目：随着科技的发展，我国火车运用经历了六次提速。从20世纪90年代的120km/h的运行时速提高到了如今的300km/h并有望在之后提高到350km/h，那么在这些年里，动车车速总共提高了几分之几？
【深度分析】此题考察的重点在于区分每一次速度增加时候的基数。学生在课堂教学和课后作业面对类似的题目是所常犯的问题也就是对于增长基数区分不清楚。如在有120增加到140的时候，实际增加了（140-120）÷120=1/6，但在计算由140增加到160的时候，会算成（160-140）÷120=1/6；或是在计算总增加量的时候算成（300-120）/200=8/90。
【教学设计】对于这一类多次增加的问题，可以设计柱状图让学生进行理解。
②根据上表，计算出每一次增加的增量分别为20、40、50、50，将其列在上表之后：
③在此基础上再增加一列作为基数：
通过这样的程序，便可以让学生很清晰地理清楚每一次增加之间的数量关系。除了用表，也可以运用统计图来让学生有更直观的印象：
五、结束语
在小学数学教学过程中，数学符号和几何图形之间的紧密联系不仅仅可以使抽象和直观的融合得以实现，通过运用数形结合的教学模式，对于锻炼小学生将直观图形转化为数字的能力和将数字转化为易懂的图形能力的提高有很大帮助。另一方面，这种生动活泼的教学形式也可以有效提升教学效果，让学生产生主动学习的欲望，对数学不再畏惧，积极探索，善于发现生活中的问题并利用数学知识加以解决，这对于小学生长远发展和综合发展起着至关重要的作用。