论文部分内容阅读
本课内容的背景：
“有理数加法”的教学，在性质上属于概念教学，历来是难点课例，教师难教，学生难学。比较省事的办法是：列举简单事例，尽快出现法则，然后用较多的时间去练习法则、背法则。本节课在设计时要体现“概念形成的过程”，尽量让学生进行体验性学习，采用了让学生观察、实践、探索、发现的学习方式，引导学生独立思考，自主学习。
教学设计思路和理念：
一、提出问题：
大家小学学习过小数、分数、自然数的加法运算，现在看来这些运算都是在非负数的范围内进行的。负数引入之后，数扩大到了有理数的范围，能否对任意的有理数进行加法运算？这种运算的法则又是怎样的呢？这就是本节课要研究的内容。这一过程旨在由学生旧知引入新知，很自然的激起学生探究的欲望，调动学生学习的主动性。
二、课题的引入
首先在引入问题上，我们费了一番脑筋。
一开始，我们想从吸引学生的兴趣出发，引导大家举一些足球赛场上的得分，失分的例子。一位老师在和足球迷的丈夫讨论后提到，最好不要讨论某个足球队在整个赛事上的得分情况，因为胜一场积3分，平一场积1分，输一场积0分，积分方法比较复杂，不利于学生列式子，总结法则。后来我们又想不如引导学生们讨论一场足球赛中的净胜球情况，比如我方进了3个球，对方进了2个球，那我们的净胜球就是1球，再如我方进了二2个球，对方进了4个球，那么我们的净胜球就是-2球，但是考虑到这样的话，课堂讨论时，可能学生会花好多时间去列举一些其本质是一类的例子，比如我方进3球，对方进2球，我方进4球，对方进3球，或者有可能不能完全举出我们心里想要他们举出的那六个算式，这样可能讨论的效率不高，而且从数学的思维角度上来看，这种无序的讨论，对数学思维的培养可能作用不是太大；我们又不愿意一开始就在黑板上把所有的可能都列齐了，让学生仅仅充当译题的的角色，所以最后呢，足球的引入还是被我们否定了。
我们决定用书上的引入，但做了一点小小的变化。
给出实际问题：
一位同学在一条东西向的跑道上，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在的位置位于出发点的那个方向，与原来的位置相距多少米？
三、探索规律
分组讨论，由小组的代表说出本组成员的想法，我发现学生所回答的答案中包括了全部可能的答案，这时我趁势提问回答出答案的同学是如何想出来的，并把他们的回答一一写在黑板上，用1、2、3、……来区分出不同的分类情况。
①先向东走20m，再向东走30m；
②先向东走20m，再向西走30m；
③先向西走20m，再向东走30m；
④先向西走20m，再向西走30m
还有同学补充说这个同学没说全，还有好多种呢，比如先向东走30米，在向西走20米，马上同学就反驳说，不对，刚刚题目都说啦，先走的是20米，后走的是30米，马上那名同学恍然大悟说，哦，我搞错啦，你已经说全了！（我们认为这样的更有方向性的讨论，可赢得宝贵的课堂时间，提高讨论效率，又不是那么刻板，学生容易想到，有利于培养学生分类讨论的思想）
再次提出问题：你能把刚才四种可能转化为数学表达式吗？（能）在写之前咱们还有什么事没做呢？因为本节课是在前面学习了有理数的意义的基础上进行的，学生已经很牢固地掌握了正数、负数、数轴、相反数、绝对值等概念，所以马上就有学生回答为了表示相反意义的量，所以要用到正负数，得规定正方向，比如向东的方向为正。我又引导说，光有正方向就够了吗？又有一个同学补充说还要规定一下出发点为原点，这样就可以把朝哪个方向走表示成有理数了。（是一个建模的过程）
提问：求两次运动的结果，应该用那种运算？学生们在小学就知道要用加法，找同学在黑板上列出算式，根据实际意义写出算式的结果，分别等到四个等式：
（ 20） （ 30）= 50
（ 20） （-30）=-10
（-20） （ 30）= 10
（-20） （-30）=-50
指出：这几个同学所列的式子就是两个有理数相加求和的问题，当然它们的答案是从实际生活意义出发考虑得到的，但是我们不能碰到任何一个有理数加法算式都从生活中的实例来推答案呀，（同学们笑）所以找到有理数的加法规律看来很必要。
列出算式根据实际意思写出这个问题的结果，分别得到四个等式，观察上述四个算式，学生分组讨论，派代表发言，最先有同学发现的规律就是同号相加符号的取法，又有其他组的同学补充，或者是提出不同意见，有个同学说异号相加时，取大数的符号，马上就有人反驳说，是绝对值较大数的符号，还有同学上来提出一个说法，我认为加法法则可以用一个数学表达式概括，-b a=a-b，同学们都一头雾水，我就趁势提问说那假如这儿的a是1，b是3呢？不够减了，这种减法我们都不会，你是不是超前学了一点？可我们连加法还没弄明白呢，你都上来减法啦！同学们发出善意的笑声。（我所带的班，算是资源中学中等成绩的一个班，有一些可能在假期就事先预习了有关内容，他知道一些东西，但又不很确切，刚开学的一段时间，经常有同学会用后面的知识点来解决前面的东西，我曾给他们举过这样的例子，有三个人之间在传一句话，甲说已告诉我的，乙说丙告诉我的，丙说甲告诉我的，这三人说得对不对呢？无从考证，因为他们三人在循环，一般来说几个知识点，你要搞清楚我们是先研究什么的，后研究什么的，避免陷入循环论证的圈子里，扳了一段时间，现在这种现象已经少多了。）
最后学生总结出:
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2、异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值， 指导学生看书上的黑体字，比较一下书上的表达方式与我们自己的表达方式有什么区别？同学很快发现我们总结时没有提到互为相反数的两数相加和为零，也没有提到任何一个有理数与零的和仍是该数？还有同学说书上第二条前面还说绝对值不相等的异号两个数，我们却没有限定。
提出问题：那书上说的3、4两条对不对吧？
同学们纷纷回答说： “对！”追问为什么，他们说“比如第一次向东走20米，第二次不动，那结果还是出发点以东20米，或者第一地向东走20米，第二次向西走20米，那结果就是回到出发点了。”
提问：那是不是我们总结时漏了这两种情况了呢？是不是我们说的不对呢？
同学们继续分组讨论。
一会儿，全班基本上分了两个派别。有代表发言说，我认为我们总结得不够全面，少了两条，细节的表达上也没有注意，以后要注意改进！别的组迫不及待的举手说：“我认为我们总结的比书上好，因为书上的3、4条已经包含在我们刚刚的两句话当中了！”怎么讲？“比如任何数加上0，我们前几节学过可以把0表示为 0，或-0，那么（ 20） 0可以看成（ 20） （ 0），根据第一条就可以知道答案就是 20，是它本身。或者（ 20） 0看成（ 20） （-0），根据异号加法法则答案也是 20，就不必列出来了！”马上又有学生反驳说：“那互为相反数的两数和为0怎么用第一、二条解释？”另一组代表发言说： “比如（ 20） （-20）它们两绝对值相等，那我就不妨任意取正号或是负号，反正用较大的绝对值减去较小的绝对值后都是0， 0或-0都代表0.”同学还是不满意：“说那明明说要取绝对值较大的那个数的符号嘛，你可不能任意规定取谁的符号！”这个时候又有同学说，那我们就先看绝对值吧，反正绝对值相等，一减为0了，随便取那个数的符号吧，反正 0，-0都是0.
这么一解释全班同学基本达成了一致的意见，我又提问，那既然我们的和书上的法则实际上是一样的，那你更喜欢哪一种表达方式呢？学生有的发言说：“我喜欢我们自己的表达，因为挺工整的，不象书上说的那么多字，还不好背呢！
“也有同学说我也喜欢我们自己的表达，但书上也有它的好处，把特殊情况列出来，可能更不容易出错吧。我也乘机大了一个不一定很恰当的比喻，就像中国有31个省，那还不是把几个省列为直辖市，它们有一定的特殊性，可能当列出来更好管理吧，同学们发出一阵笑声。表扬说，同学们真有能力，我本人也更喜欢你们的表达一些，不过说上给我们的提醒，大家也要小心哦！（孩子们都很兴奋，感觉自己比书上总结得还好，自我价值得到一定的体现，获得了成就感。）
事实上，对于后面这段关于表达方式差异的讨论，是我们精心设计的，一方面在引入问题上，书上是把5、6两种情况单列出来的，比如不动，或是想向东20米，又向西20米，我们总感觉出来的有点突兀，跟主干问题没有太大的联系，通过学生对法则中3，4两种特殊情况的讨论，巧妙地避免了由老师说出这两种特殊情况，从他们嘴里说出来，印象会更深，而且讨论的过程，本身就是熟悉和理解法则的过程，肯定他们的说法的正确性，对他们今后的探索更是一种激励。
最后教师点一下规则，强调注意两个方面：一是和的符号，二是和的绝对值与原加数绝对值之间的关系。
四、巩固练习
例1:（3）（ 12） （ 20）（4）（ 4.3） （-3.4）
加深学生对加法法则的熟悉和应用，叫同学上黑板板演，同学们一起订正，提醒大家书写时的格式，如加数是负数时要用括号阔起来，要不就会出现一个非负数前连着有两个符号了。
之后提问：你觉得再做有理数加法时，应该注意些什么？
同学们就反映说，首先要确定符号，然后就是小学的加减法了。
例2:用算式表示：温度由-4度上升7度达到多少度？
让学生感受到学习知识的目的为生活服务。
处理课后练习
最后请同学们谈谈你觉得这节课，你学到了什么？你觉得有哪些知识点你觉得是比较重要的。
五、小节
总的来看，教学采用“问题情景—建立模型—解释、应用于拓展”的模式展开，注重引导学生参与探索、归纳有理数加法法则的过程，主动获取知识。这样，学生在这节课上不仅学懂了法则，而且能感知到研究数学问题的一些基本方法。这种方案减少了应用法则进行计算的练习，所以学生掌握法则的熟练程度可能稍差，这是教学中应当注意的问题。但是，在后续的教学中学生将千万次应用“有理数加法法则”进行计算，故这种缺陷是可以得到弥补的。
课后反思
在我们刚拿到新教材这本书时，感觉到很多课都需要让学生讨论，担心不好驾驭课堂，比如纪律，或者开展不起来。事实上，通过事先合理的安排分组，精心设计讨论问题，完全可以使讨论在一种有序的方式下进行，学生们的思维也非常活跃，往往不是开展起来，而是出现百家争鸣的情况，经过一段时间的讨论训练，基本上能做到能放能手的程度。应尽量避免漫无目的的，不体现数学思想和方法的讨论，要争取宝贵的课堂时间。
教材对老师提出了更高的要求，首先备课时要找的资料多了，甚至有很多跨学科的识点，我们也要不时地向其他人请教，课堂上要求老师较高的应变能力，及时处理学生在讨论中出现的问题，对学生的闪光点给予肯定，对教师的素质也是一个新的挑战。
在进修时，我们片上的老师又给我们提了很多宝贵的意见：
育兴学校的杨老师提出，对于学生程度稍差一些的班级，让学生讨论向东向西走与终点问题时，可在黑板上用不同颜色和长度的纸条，更直观的给他们以运动的形象，或者干脆让学生动起来，亲自走一走。
101中学的付老师提出本课在理论上的一个疑问：0是没有符号的， 0或-0表示它的本身和相反数，那么学生讨论中认为3、4两条可以归纳为1、2条的说法是否真的正确？这也是我们在备课时苦恼的一个问题。后来经过讨论，我们只好有点牵强的认为，我们把同号和异号这个概念的外延扩大，既然1、2条说的是同号和异号，也没有特指是正号、负号，不妨认为 20中的 也表示20本身，-20中的—也表示其相反数，这样与 0和-0意义一致，勉强也能说得过去。这是我们在首轮备课活动中忽略了的问题，作为一个青年教师，如何在今后的教学过程中，对每一个知识点理解得更到位，是我要努力做到的。
片上课题组的张晓飞组长提到，他很能理解我们想肯定学生的成绩，努力帮他们找到成功感的做法，也很赞赏这种从矛盾出发，引导学生探究的思想，但在高等数学中，在新的群环域中定义新的运算时一般都要定义单位元和零元，逆元。所以说3、4两条并不多余，但鉴于学生现在没必要掌握这么多，所以没必要向学生过多提及。
另外，本文理论部分，很大程度上借鉴了清华附中牛艳红老师的文章，在此，向所有帮助我的老师表示深深的谢意。
“有理数加法”的教学，在性质上属于概念教学，历来是难点课例，教师难教，学生难学。比较省事的办法是：列举简单事例，尽快出现法则，然后用较多的时间去练习法则、背法则。本节课在设计时要体现“概念形成的过程”，尽量让学生进行体验性学习，采用了让学生观察、实践、探索、发现的学习方式，引导学生独立思考，自主学习。
教学设计思路和理念：
一、提出问题：
大家小学学习过小数、分数、自然数的加法运算，现在看来这些运算都是在非负数的范围内进行的。负数引入之后，数扩大到了有理数的范围，能否对任意的有理数进行加法运算？这种运算的法则又是怎样的呢？这就是本节课要研究的内容。这一过程旨在由学生旧知引入新知，很自然的激起学生探究的欲望，调动学生学习的主动性。
二、课题的引入
首先在引入问题上，我们费了一番脑筋。
一开始，我们想从吸引学生的兴趣出发，引导大家举一些足球赛场上的得分，失分的例子。一位老师在和足球迷的丈夫讨论后提到，最好不要讨论某个足球队在整个赛事上的得分情况，因为胜一场积3分，平一场积1分，输一场积0分，积分方法比较复杂，不利于学生列式子，总结法则。后来我们又想不如引导学生们讨论一场足球赛中的净胜球情况，比如我方进了3个球，对方进了2个球，那我们的净胜球就是1球，再如我方进了二2个球，对方进了4个球，那么我们的净胜球就是-2球，但是考虑到这样的话，课堂讨论时，可能学生会花好多时间去列举一些其本质是一类的例子，比如我方进3球，对方进2球，我方进4球，对方进3球，或者有可能不能完全举出我们心里想要他们举出的那六个算式，这样可能讨论的效率不高，而且从数学的思维角度上来看，这种无序的讨论，对数学思维的培养可能作用不是太大；我们又不愿意一开始就在黑板上把所有的可能都列齐了，让学生仅仅充当译题的的角色，所以最后呢，足球的引入还是被我们否定了。
我们决定用书上的引入，但做了一点小小的变化。
给出实际问题：
一位同学在一条东西向的跑道上，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在的位置位于出发点的那个方向，与原来的位置相距多少米？
三、探索规律
分组讨论，由小组的代表说出本组成员的想法，我发现学生所回答的答案中包括了全部可能的答案，这时我趁势提问回答出答案的同学是如何想出来的，并把他们的回答一一写在黑板上，用1、2、3、……来区分出不同的分类情况。
①先向东走20m，再向东走30m；
②先向东走20m，再向西走30m；
③先向西走20m，再向东走30m；
④先向西走20m，再向西走30m
还有同学补充说这个同学没说全，还有好多种呢，比如先向东走30米，在向西走20米，马上同学就反驳说，不对，刚刚题目都说啦，先走的是20米，后走的是30米，马上那名同学恍然大悟说，哦，我搞错啦，你已经说全了！（我们认为这样的更有方向性的讨论，可赢得宝贵的课堂时间，提高讨论效率，又不是那么刻板，学生容易想到，有利于培养学生分类讨论的思想）
再次提出问题：你能把刚才四种可能转化为数学表达式吗？（能）在写之前咱们还有什么事没做呢？因为本节课是在前面学习了有理数的意义的基础上进行的，学生已经很牢固地掌握了正数、负数、数轴、相反数、绝对值等概念，所以马上就有学生回答为了表示相反意义的量，所以要用到正负数，得规定正方向，比如向东的方向为正。我又引导说，光有正方向就够了吗？又有一个同学补充说还要规定一下出发点为原点，这样就可以把朝哪个方向走表示成有理数了。（是一个建模的过程）
提问：求两次运动的结果，应该用那种运算？学生们在小学就知道要用加法，找同学在黑板上列出算式，根据实际意义写出算式的结果，分别等到四个等式：
（ 20） （ 30）= 50
（ 20） （-30）=-10
（-20） （ 30）= 10
（-20） （-30）=-50
指出：这几个同学所列的式子就是两个有理数相加求和的问题，当然它们的答案是从实际生活意义出发考虑得到的，但是我们不能碰到任何一个有理数加法算式都从生活中的实例来推答案呀，（同学们笑）所以找到有理数的加法规律看来很必要。
列出算式根据实际意思写出这个问题的结果，分别得到四个等式，观察上述四个算式，学生分组讨论，派代表发言，最先有同学发现的规律就是同号相加符号的取法，又有其他组的同学补充，或者是提出不同意见，有个同学说异号相加时，取大数的符号，马上就有人反驳说，是绝对值较大数的符号，还有同学上来提出一个说法，我认为加法法则可以用一个数学表达式概括，-b a=a-b，同学们都一头雾水，我就趁势提问说那假如这儿的a是1，b是3呢？不够减了，这种减法我们都不会，你是不是超前学了一点？可我们连加法还没弄明白呢，你都上来减法啦！同学们发出善意的笑声。（我所带的班，算是资源中学中等成绩的一个班，有一些可能在假期就事先预习了有关内容，他知道一些东西，但又不很确切，刚开学的一段时间，经常有同学会用后面的知识点来解决前面的东西，我曾给他们举过这样的例子，有三个人之间在传一句话，甲说已告诉我的，乙说丙告诉我的，丙说甲告诉我的，这三人说得对不对呢？无从考证，因为他们三人在循环，一般来说几个知识点，你要搞清楚我们是先研究什么的，后研究什么的，避免陷入循环论证的圈子里，扳了一段时间，现在这种现象已经少多了。）
最后学生总结出:
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2、异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值， 指导学生看书上的黑体字，比较一下书上的表达方式与我们自己的表达方式有什么区别？同学很快发现我们总结时没有提到互为相反数的两数相加和为零，也没有提到任何一个有理数与零的和仍是该数？还有同学说书上第二条前面还说绝对值不相等的异号两个数，我们却没有限定。
提出问题：那书上说的3、4两条对不对吧？
同学们纷纷回答说： “对！”追问为什么，他们说“比如第一次向东走20米，第二次不动，那结果还是出发点以东20米，或者第一地向东走20米，第二次向西走20米，那结果就是回到出发点了。”
提问：那是不是我们总结时漏了这两种情况了呢？是不是我们说的不对呢？
同学们继续分组讨论。
一会儿，全班基本上分了两个派别。有代表发言说，我认为我们总结得不够全面，少了两条，细节的表达上也没有注意，以后要注意改进！别的组迫不及待的举手说：“我认为我们总结的比书上好，因为书上的3、4条已经包含在我们刚刚的两句话当中了！”怎么讲？“比如任何数加上0，我们前几节学过可以把0表示为 0，或-0，那么（ 20） 0可以看成（ 20） （ 0），根据第一条就可以知道答案就是 20，是它本身。或者（ 20） 0看成（ 20） （-0），根据异号加法法则答案也是 20，就不必列出来了！”马上又有学生反驳说：“那互为相反数的两数和为0怎么用第一、二条解释？”另一组代表发言说： “比如（ 20） （-20）它们两绝对值相等，那我就不妨任意取正号或是负号，反正用较大的绝对值减去较小的绝对值后都是0， 0或-0都代表0.”同学还是不满意：“说那明明说要取绝对值较大的那个数的符号嘛，你可不能任意规定取谁的符号！”这个时候又有同学说，那我们就先看绝对值吧，反正绝对值相等，一减为0了，随便取那个数的符号吧，反正 0，-0都是0.
这么一解释全班同学基本达成了一致的意见，我又提问，那既然我们的和书上的法则实际上是一样的，那你更喜欢哪一种表达方式呢？学生有的发言说：“我喜欢我们自己的表达，因为挺工整的，不象书上说的那么多字，还不好背呢！
“也有同学说我也喜欢我们自己的表达，但书上也有它的好处，把特殊情况列出来，可能更不容易出错吧。我也乘机大了一个不一定很恰当的比喻，就像中国有31个省，那还不是把几个省列为直辖市，它们有一定的特殊性，可能当列出来更好管理吧，同学们发出一阵笑声。表扬说，同学们真有能力，我本人也更喜欢你们的表达一些，不过说上给我们的提醒，大家也要小心哦！（孩子们都很兴奋，感觉自己比书上总结得还好，自我价值得到一定的体现，获得了成就感。）
事实上，对于后面这段关于表达方式差异的讨论，是我们精心设计的，一方面在引入问题上，书上是把5、6两种情况单列出来的，比如不动，或是想向东20米，又向西20米，我们总感觉出来的有点突兀，跟主干问题没有太大的联系，通过学生对法则中3，4两种特殊情况的讨论，巧妙地避免了由老师说出这两种特殊情况，从他们嘴里说出来，印象会更深，而且讨论的过程，本身就是熟悉和理解法则的过程，肯定他们的说法的正确性，对他们今后的探索更是一种激励。
最后教师点一下规则，强调注意两个方面：一是和的符号，二是和的绝对值与原加数绝对值之间的关系。
四、巩固练习
例1:（3）（ 12） （ 20）（4）（ 4.3） （-3.4）
加深学生对加法法则的熟悉和应用，叫同学上黑板板演，同学们一起订正，提醒大家书写时的格式，如加数是负数时要用括号阔起来，要不就会出现一个非负数前连着有两个符号了。
之后提问：你觉得再做有理数加法时，应该注意些什么？
同学们就反映说，首先要确定符号，然后就是小学的加减法了。
例2:用算式表示：温度由-4度上升7度达到多少度？
让学生感受到学习知识的目的为生活服务。
处理课后练习
最后请同学们谈谈你觉得这节课，你学到了什么？你觉得有哪些知识点你觉得是比较重要的。
五、小节
总的来看，教学采用“问题情景—建立模型—解释、应用于拓展”的模式展开，注重引导学生参与探索、归纳有理数加法法则的过程，主动获取知识。这样，学生在这节课上不仅学懂了法则，而且能感知到研究数学问题的一些基本方法。这种方案减少了应用法则进行计算的练习，所以学生掌握法则的熟练程度可能稍差，这是教学中应当注意的问题。但是，在后续的教学中学生将千万次应用“有理数加法法则”进行计算，故这种缺陷是可以得到弥补的。
课后反思
在我们刚拿到新教材这本书时，感觉到很多课都需要让学生讨论，担心不好驾驭课堂，比如纪律，或者开展不起来。事实上，通过事先合理的安排分组，精心设计讨论问题，完全可以使讨论在一种有序的方式下进行，学生们的思维也非常活跃，往往不是开展起来，而是出现百家争鸣的情况，经过一段时间的讨论训练，基本上能做到能放能手的程度。应尽量避免漫无目的的，不体现数学思想和方法的讨论，要争取宝贵的课堂时间。
教材对老师提出了更高的要求，首先备课时要找的资料多了，甚至有很多跨学科的识点，我们也要不时地向其他人请教，课堂上要求老师较高的应变能力，及时处理学生在讨论中出现的问题，对学生的闪光点给予肯定，对教师的素质也是一个新的挑战。
在进修时，我们片上的老师又给我们提了很多宝贵的意见：
育兴学校的杨老师提出，对于学生程度稍差一些的班级，让学生讨论向东向西走与终点问题时，可在黑板上用不同颜色和长度的纸条，更直观的给他们以运动的形象，或者干脆让学生动起来，亲自走一走。
101中学的付老师提出本课在理论上的一个疑问：0是没有符号的， 0或-0表示它的本身和相反数，那么学生讨论中认为3、4两条可以归纳为1、2条的说法是否真的正确？这也是我们在备课时苦恼的一个问题。后来经过讨论，我们只好有点牵强的认为，我们把同号和异号这个概念的外延扩大，既然1、2条说的是同号和异号，也没有特指是正号、负号，不妨认为 20中的 也表示20本身，-20中的—也表示其相反数，这样与 0和-0意义一致，勉强也能说得过去。这是我们在首轮备课活动中忽略了的问题，作为一个青年教师，如何在今后的教学过程中，对每一个知识点理解得更到位，是我要努力做到的。
片上课题组的张晓飞组长提到，他很能理解我们想肯定学生的成绩，努力帮他们找到成功感的做法，也很赞赏这种从矛盾出发，引导学生探究的思想，但在高等数学中，在新的群环域中定义新的运算时一般都要定义单位元和零元，逆元。所以说3、4两条并不多余，但鉴于学生现在没必要掌握这么多，所以没必要向学生过多提及。
另外，本文理论部分，很大程度上借鉴了清华附中牛艳红老师的文章，在此，向所有帮助我的老师表示深深的谢意。