论文部分内容阅读
摘 要： 自主互助学习型课堂重在构建一套契合我校数学教学现状的、高效的、自主互助学习型的课堂教学模式.力求从教学模式上解决教育如何以学生为本，在进一步体现学生主体性、促进学生交流互助的基础上帮助学生“学会学习”，从而为他们的终生发展奠定坚实的基础.本文以《空间向量复习》为例，结合课题的指导思想和宗旨，进一步探索自主互助学习型课堂.
关键词： 高中数学教学 自主互助 学习型课堂 空间向量
在复习空间向量的过程中，发现学生学会了用直线的方向向量和平面的法向量解决相关计算问题，碰到难一点的判断题或非常规图形就不会处理。至于问题的形成原因，我认为除了学生还没习惯用向量解题之外，主要是学生对于空间向量中的一些定理没有认识到位.结合自主互助学习型课堂模式，我设计了如下教学流程.
一、课前预习
先让学生复习平面向量涉及的3个定理或推论：
已学的平面向量：
①平面向量共线定理：■∥■？圳■=λ■（■≠■）.
②平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线的向量■，那么对于这一平面内的任一向量■，有且只有一对实数λ■，λ■，使■=λ■■ λ■■.
③平面向量基本定理推论：设平面任意一点O，则P，A，B三点共线？圳■=x■ y■（其中x y=1）.
二、课堂互动
教师与学生合作总结空间向量中的4个定理或推论.
新学的空间向量：
④空间向量共线定理：■∥■？圳■=λ■（■≠■）.
⑤空间向量共面定理：如果两个向量■，■不共线，那么向量■与向量■，■共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得■=x■ y■.
⑥空间向量共面定理推论：设空间任意一点O和不共线三点A，B，C.
P，A，B，C四点共面？圳■=x■ y■ z■（其中x y z=1）.
⑦空间向量基本定理：如果三个向量■，■，■不共面，那么对空间任一向量■，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使■=x■ y■ z■.
这么多的定理及推论，靠死记硬背，能记住就不错了，更谈不上灵活运用了.
三、小组讨论，自主互助
此时我要求学生进行小组讨论，观察两组定理的联系与区别，能否将定理的条数变少.学生在经过长时间的谈论后总结出定理的条数可以减少.定理①④、定理②⑦类似.
四、教师点评
要求同学们只要记住两个定理：
一是共线定理即定理①④，它们的内容和形式都是一样的，很好记.
二是基本定理，分平面和空间，即定理②⑦.定理②中的系数之和为1，即λ■ λ■=1时，即为③，定理⑦中的系数之和为1即x y z=1时即为⑥，还有⑤，⑤=②.
这样记不仅记住了定理，还知道了它们之间的联系和区别，有了知识的生成过程和关联，熟练掌握水到渠成.
五、及时巩固
例1：已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）.
设M（x，y，z）是平面ABC内任一点，求x，y，z满足的关系式.
解法一：
因为A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），所以■=（-2，-1，3），■=（1，-3，2），设平面ABC的法向量为■=（x，y，z），则■·■=-2x-y 3z=0■·■=x-3y 2z=0，解得x=y=z，不妨取z=1，则平面ABC的一个法向量为■=（1，1，1），而■=（x，y-2，z-3），所以■·■=x y-2 z-3=0.所以x y z-5=0.
评注：解法一利用平面的法向量解题，计算简单且容易理解.很多学生反映好像向量这边学完了之后感觉都是计算方向向量和法向量，其实如果我们能够对定理①～⑦有深刻理解就会有其他途径解决该问题.
解法二：
因为A，B，C，M四点共面，所以■，■，■共面，因为■，■不共线，由共面向量定理可知■=λ■■ λ■■，即（x，y，z-3）=λ■（-2，-1，3） λ■（1，-3，2），
所以x=-2λ■ λ■ ①y-2=-λ■-3λ■ ②z-3=3λ■ 2λ■ ③，由①②解得λ■=-■λ■=■，代入③
可得z-3=-■ ■，化简可得x，y，z满足的关系式为：
x y z-5=0.
解法三：
因为A，B，C，M四点共面，设O为空间中任意一点，则
■=λ■■ λ■■ λ■■，且λ■ λ■ λ■=1
即（x，y，z）=λ■（0，2，3） λ■（-2，1，6） λ■（1，-1，5）
所以x=-2λ■ λ■①y=2λ■ λ■-λ■②z=3λ■ 6λ■ 5λ■③，解得λ■=■λ■=■λ■=■，又λ■ λ■ λ■=1，
所以■ ■ ■=1，化简可得x y z-5=0.
评注：解法二和解法三计算量稍大，但不需要计算平面的法向量，而且能加深对定理⑤⑥的理解，这两种解法也是相当自然.从而得到了三种已知平面上不共线三点求平面方程的方法.
很多时候学生解题过于依赖坐标系中的方向向量和法向量，一旦题目坐标系难以建立或不好建系，往往就会因为不习惯导致解题失败.
例2：如图，在平行六面体ABCD-A■B■C■D■中，各棱长都相等，且∠BAD=90°，∠BAA■=∠DAA■=60°.求证：■是平面A■BD的法向量.
分析：本题即证直线AC⊥平面A■BD，易知AC⊥BD，只要在平面A■BD中找一条与BD相交且与AC垂直的直线即可，不妨选择A■B.学生上来先建系，无论是以■为z轴还是在平面ABCD中作DC的垂线为z轴都是错误的.
证法一：
连接D■C、D■A，算出D■C、D■A、AC的长度用勾股定理证明AC⊥CD■
或记AC∩BD=O，连接A■O，连接A■O，A■C，用勾股定理证明AC⊥C■O
评注：两种思路都需要作辅助线，学生短时间内思考有一定难度.
证法二：
∵■=■-■，■=■ ■
∴■·■=■ ■·■-■·■-AA■·■
不妨设棱长为1，则■·■=1 0-1×1×■-1×1×■=0
∴■⊥■，即AC⊥A■B.
评注：此种证法用空间向量基本定理证明，简单易行，关键是要用对定理和选择合适的基底，关于基底的选择，建议选择同起点的不共面向量，结合向量的运算都能解决.
本题若将∠BAD=90°改成∠BAD=60°，则会产生哪些新题型，留给读者思考.
在日常的教学中，如果我们能够适当减少习题的量，更多地注重概念的生成、理解，章节的复习、联系；则不仅能减轻学生的学习负担，而且能激发学生学习数学的兴趣，达到事半功倍的效果.把课堂还给学生，激发学生的学习兴趣，给他们充分的展示机会，帮助他们在自主学习和群学交流中理解知识、掌握技能、感悟数学细想，通过长期坚持，真正培养学生的数学素养，提高学生分析、解决问题的能力.
关键词： 高中数学教学 自主互助 学习型课堂 空间向量
在复习空间向量的过程中，发现学生学会了用直线的方向向量和平面的法向量解决相关计算问题，碰到难一点的判断题或非常规图形就不会处理。至于问题的形成原因，我认为除了学生还没习惯用向量解题之外，主要是学生对于空间向量中的一些定理没有认识到位.结合自主互助学习型课堂模式，我设计了如下教学流程.
一、课前预习
先让学生复习平面向量涉及的3个定理或推论：
已学的平面向量：
①平面向量共线定理：■∥■？圳■=λ■（■≠■）.
②平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线的向量■，那么对于这一平面内的任一向量■，有且只有一对实数λ■，λ■，使■=λ■■ λ■■.
③平面向量基本定理推论：设平面任意一点O，则P，A，B三点共线？圳■=x■ y■（其中x y=1）.
二、课堂互动
教师与学生合作总结空间向量中的4个定理或推论.
新学的空间向量：
④空间向量共线定理：■∥■？圳■=λ■（■≠■）.
⑤空间向量共面定理：如果两个向量■，■不共线，那么向量■与向量■，■共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得■=x■ y■.
⑥空间向量共面定理推论：设空间任意一点O和不共线三点A，B，C.
P，A，B，C四点共面？圳■=x■ y■ z■（其中x y z=1）.
⑦空间向量基本定理：如果三个向量■，■，■不共面，那么对空间任一向量■，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使■=x■ y■ z■.
这么多的定理及推论，靠死记硬背，能记住就不错了，更谈不上灵活运用了.
三、小组讨论，自主互助
此时我要求学生进行小组讨论，观察两组定理的联系与区别，能否将定理的条数变少.学生在经过长时间的谈论后总结出定理的条数可以减少.定理①④、定理②⑦类似.
四、教师点评
要求同学们只要记住两个定理：
一是共线定理即定理①④，它们的内容和形式都是一样的，很好记.
二是基本定理，分平面和空间，即定理②⑦.定理②中的系数之和为1，即λ■ λ■=1时，即为③，定理⑦中的系数之和为1即x y z=1时即为⑥，还有⑤，⑤=②.
这样记不仅记住了定理，还知道了它们之间的联系和区别，有了知识的生成过程和关联，熟练掌握水到渠成.
五、及时巩固
例1：已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）.
设M（x，y，z）是平面ABC内任一点，求x，y，z满足的关系式.
解法一：
因为A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），所以■=（-2，-1，3），■=（1，-3，2），设平面ABC的法向量为■=（x，y，z），则■·■=-2x-y 3z=0■·■=x-3y 2z=0，解得x=y=z，不妨取z=1，则平面ABC的一个法向量为■=（1，1，1），而■=（x，y-2，z-3），所以■·■=x y-2 z-3=0.所以x y z-5=0.
评注：解法一利用平面的法向量解题，计算简单且容易理解.很多学生反映好像向量这边学完了之后感觉都是计算方向向量和法向量，其实如果我们能够对定理①～⑦有深刻理解就会有其他途径解决该问题.
解法二：
因为A，B，C，M四点共面，所以■，■，■共面，因为■，■不共线，由共面向量定理可知■=λ■■ λ■■，即（x，y，z-3）=λ■（-2，-1，3） λ■（1，-3，2），
所以x=-2λ■ λ■ ①y-2=-λ■-3λ■ ②z-3=3λ■ 2λ■ ③，由①②解得λ■=-■λ■=■，代入③
可得z-3=-■ ■，化简可得x，y，z满足的关系式为：
x y z-5=0.
解法三：
因为A，B，C，M四点共面，设O为空间中任意一点，则
■=λ■■ λ■■ λ■■，且λ■ λ■ λ■=1
即（x，y，z）=λ■（0，2，3） λ■（-2，1，6） λ■（1，-1，5）
所以x=-2λ■ λ■①y=2λ■ λ■-λ■②z=3λ■ 6λ■ 5λ■③，解得λ■=■λ■=■λ■=■，又λ■ λ■ λ■=1，
所以■ ■ ■=1，化简可得x y z-5=0.
评注：解法二和解法三计算量稍大，但不需要计算平面的法向量，而且能加深对定理⑤⑥的理解，这两种解法也是相当自然.从而得到了三种已知平面上不共线三点求平面方程的方法.
很多时候学生解题过于依赖坐标系中的方向向量和法向量，一旦题目坐标系难以建立或不好建系，往往就会因为不习惯导致解题失败.
例2：如图，在平行六面体ABCD-A■B■C■D■中，各棱长都相等，且∠BAD=90°，∠BAA■=∠DAA■=60°.求证：■是平面A■BD的法向量.
分析：本题即证直线AC⊥平面A■BD，易知AC⊥BD，只要在平面A■BD中找一条与BD相交且与AC垂直的直线即可，不妨选择A■B.学生上来先建系，无论是以■为z轴还是在平面ABCD中作DC的垂线为z轴都是错误的.
证法一：
连接D■C、D■A，算出D■C、D■A、AC的长度用勾股定理证明AC⊥CD■
或记AC∩BD=O，连接A■O，连接A■O，A■C，用勾股定理证明AC⊥C■O
评注：两种思路都需要作辅助线，学生短时间内思考有一定难度.
证法二：
∵■=■-■，■=■ ■
∴■·■=■ ■·■-■·■-AA■·■
不妨设棱长为1，则■·■=1 0-1×1×■-1×1×■=0
∴■⊥■，即AC⊥A■B.
评注：此种证法用空间向量基本定理证明，简单易行，关键是要用对定理和选择合适的基底，关于基底的选择，建议选择同起点的不共面向量，结合向量的运算都能解决.
本题若将∠BAD=90°改成∠BAD=60°，则会产生哪些新题型，留给读者思考.
在日常的教学中，如果我们能够适当减少习题的量，更多地注重概念的生成、理解，章节的复习、联系；则不仅能减轻学生的学习负担，而且能激发学生学习数学的兴趣，达到事半功倍的效果.把课堂还给学生，激发学生的学习兴趣，给他们充分的展示机会，帮助他们在自主学习和群学交流中理解知识、掌握技能、感悟数学细想，通过长期坚持，真正培养学生的数学素养，提高学生分析、解决问题的能力.