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【摘 要】不等式在初中数学中有着较为重要的地位，初中数学教师如何在第一论复习中帮助学生夯实基础，提升能力，增强素养，最终利用不等式解决实际问题是本研究探讨的核心。为此，本研究详细梳理了以下几个方面知识的复习方法：一是不等式的基本性质及其计算;二是不等式在方程中的应用;三是不等式在函数中的应用;四是不等式在实际问题中的应用。教师在不等式的复习中应从侧重技巧转向侧重创新意识和核心素养的培养。
【关键词】初中数学;不等式问题;复习策略
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）22-0014-03
《义务教育数学课程标准（2011年版）》对学生的不等式学习有以下要求：①根据实际问题，理解不等式的意义，探究不等式的基本性质;②能正确求解一元一次不等式，并能在数轴上画出解集;③会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集;④能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问
题[1]。为了落实这些要求，本研究由易到难，由浅入深，从不等式的基本计算、不等式与方程相结合、不等式与函数相结合，再到不等式与实际问题相结合，全面梳理初中阶段有关不等式的知识，以便学生能够精准掌握。
1 吃透性质，精准计算
不等式的性质与等式的性质有很多相通之处，如在方程（不等式）两边，分别加上或者减去一个数（式），這个数无论正负，都能够使得原方程（不等式）成立;在方程（不等式）两边，分别乘以或除以同一个正数，也能使得原方程（不等式）成立。其区别在于方程两边同时乘以或除以一个负数时，方程仍然成立，但是不等式就不成立了，需要改变不等号的方向。为了让学生能够有效地复习不等式的基本性质，笔者精心挑选了两道典型例题。
例题1：如果a>b，那么下列结论中一定成立的是
（ ）。
A.1?a>1?b B.2+a>2+b
C.ab>b2 D.a2>b2
例题2：解下列不等式组：，并在数轴上表示解集。
不等式的考查中最基本且最常见的是对不等式的基本性质以及不等式（组）的解法的考查，这也是运用不等式解决其他问题的基础。掌握不等式的基本性质，学会使用一些常见的解题技巧，如赋值法，会大大降低不等式的解题难度，数轴的使用也有助于学生养成数形结合的良好习惯。
解析：例题1：∵ a>b，因为不知道a，b的正负，此时可以运用赋值法举一个反例。根据不等式的基本性质，容易得出答案为B。
例题2：由第一个不等式解得x>4，由第二个不等式解得x≤，通过数轴表示（如图1），或者口诀“大大、小小没得找”得出方程组无解。
虽然这类题目比较基础，但是部分学生没有牢固掌握不等式的性质，在不等式两边同时除以负数时容易出错，这也要求教师在平时的教学中重视基本概念的讲解。
2 结合方程，深度融合
笔者研究发现，近几年各地中考对不等式与方程的考查比较多，题目灵活而有层次感。其中含参问题是此类题目的难点。
例题3：已知关于x的分式方程=有负数解，则m的取值范围为 。
例题4：当a在什么范围取值时，方程组的解都是正数？
不等式（组）与方程（组）相结合，特别是与分式方程相结合，不仅需要学生能自己建立不等关系，还需要学生有较强的计算能力。
解析：例题3：根据题意去分母得：x?2（x+4）=m，解得x=?8?m，由题得方程有负数解，则有?8?m<0，
得：m>?8，但由于分式方程要满足分母不能为零，于是
?8?m≠?4，解得m≠?4，最后得出m>?8且m≠?4。
例题4：先用a表示出x、y的值，再根据方程组的解都是正数列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可。解得，解得，又因为方程组的解是正数，可得，解不等式组得：a>。
例题3考查不等式在含参分式方程中的应用，解答该题，学生先要化成整式方程，再根据“负数解”建立不等式，此时一定要考虑增根，这是难点也是易错点。例题4考查不等式在方程组中的应用，学生需要根据题意把方程组的解均用参数a表示出来，然后根据题意再建立不等式组求解。
3 数形结合，难点突破。
不等式与一次函数、反比例函数、二次函数等知识都有一定联系，但与反比例函数的结合最为常见，数形结合思想是解决此类问题的关键。
例题5：如图2，一次函数 y=kx+b与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，已知A点的坐标是（2，3），BC=2。
（1）求反比例函数与一次函数的表达式;
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b?≥0的解集。
本题考查了利用函数和数形结合思想来解决不等式问题。若学生根据已知条件求出参数的值，再利用不等式的基本性质求解，不仅耽搁时间，而且也容易计算错误。
解析：由题易得反比例函数的关系式为y=，一次函数的关系式为y=x+1。根据函数图象可得，当?3≤x<0或x≥2时，不等式kx+b?≥0成立。
解决此类不等式问题需要学生发现求解不等式就是比较函数值的大小，即可以看作 y=kx+b与 y=的两个函数值的大小比较。其实质就是两个图象的位置高低的比较，这样就避免了繁琐的计算。 4 结合实际，突出应用
数学来源于生活，最终要应用于生活。与不等式相关的应用题很多，学生在阅读该类题的题干时就应该判断哪些是关键词，有哪些需要挖掘的隐含条件。
例题6：温州某印刷厂经过市场调查，印刷的收费标准由制版费与印刷费两部分组成，制版费y1（百元）与印刷数量x（万件）之间的关系式为 y1=kx+b（0≤x≤3），已知当印刷数量为1万件时，制版费是8（百元），当印刷数量不少于3万件时，制版费全免。印刷费 y2（百元）与印刷数量x（万件）之间的关系式为 y2=ax2（a>0）。
（1）求出 y1与x之间的函数表达式;
（2）当a=1时，求印刷数量为多少万件时，收费最少？
（3）当印刷数量不超过3万件，且收费不低于7百元时，求a的范围。
例题7：为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花展活动。如图4某公园想用一段长为80米的篱笆，围成一个一边靠围墙的ABCD（如图3），墙长36米。
（1）当AB长为多少米时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
（2）当花圃的面积为350平方米时，AB长为多少米？
在应用题中，不等式往往与“多于、不少于、至少、够用……”等相关，学生要能够据此建立不等式。在求函数的自变量的取值范围时，不等式是一种重要的方法，其综合性也比较强。
解析：例题6：（1）当x=1时，y1=8;当x=3时，y1=0，将上述2个条件代入 y1=kx+b得：，
解得：，
故函数的表达式为： y1=?4x+12（0≤x≤3），当x>3时， y1=0;
（2）a=1时，设费用为y=y1+y2，当0≤x≤3时，y=?4x+12+x2，当x==2时，y最小，最小值為8，当x>3时，y=x2，其最小值大于8，故印刷2万件时，收费
最少;
（3）当0≤x≤3时，由题意得：y=?4x+12+ax2≥7，即：ax2?4x+5≥0，
∵ y≥0，故△=16?4a×5≥0，解得：a≤。
例题7：（1）设AB长为x米，花圃面积为 y平方米，由题意得：y=x（80?2x）=?2x2+80x=?2（x?20）2+800，
∴ 对称轴为x=20，由题意得：，解得22x<40。
∵ ?2<0，抛物线开口向下，
∴ 当x>22时，y随x的增大而减小，
∴ 当想x=22时，y有最大值，最大值为792。
∴ 当AB长为22米时所围成的花圃面积最大，最大值是792平方米。
（2）由（1）知 y=?2x2+80x。
令 y=350得：350=?2x2+80x，解得：x1=5，x2=35，
∵ 22x<40，∴x=35。
∴ 当花圃的面积为350平方米时，AB长为35米。
在复习此类综合应用题时，教师首先要让学生学会审题，理解题意，特别是对关键词的理解。再建立不等式，最后求解不等式。
不等式在整个数学学习的过程中都有比较重要的地位，不等式在解不定方程、最优策略、最大值、最小值、实际应用问题等方面都有着广泛的应用。因此，探究如何建立不等关系，如何快捷有效地解不等式，如何利用不等式解决实际问题，正是本研究的价值所在。在知识的交汇处考查学生的综合能力成为一种命题趋势，不等式作为其中一个重要环节，起到了举足轻重的作用[2]。
不等式的专题复习课层次分明，几乎能够让每一名学生找到适合自己的提高点。在不等式专题复习中，教师首先要做到夯实基础;然后讲解不等式与方程或与函数的综合题型，体现出知识的融合性;最后引导学生将不等式知识应用于生活。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.
[2]徐龙.关于不等式的教学方法探讨[J].数学教学通讯，2013（24）.
【作者简介】
李杰（1986～），男，四川成都人，本科，中小学一级教师，北京第二外国语学院成都附属中学数学备课组长。研究方向：初中数学教育。
雷红（1987～），女，陕西西安人，本科，中小学一级教师。研究方向：初中数学教育。
杨文（1989～），男，四川成都人，本科，中小学一级教师。研究方向：初中数学教育。
Study on the Review Strategy of Mathematical Inequality in Junior Middle Schools
Jie Li 1 Hong Lei 1 Wen Yang 2
（1. Chengdu Affiliated Middle School of Beijing International Studies University， Chengdu， Sichuan， 610043;
2. Yucai School of No. 7 Middle School， Chengdu， Sichuan， 610061）
Abstract：Inequality plays an important role in junior middle school mathematics. The core of the study is how mathematics teachers in junior middle schools help students consolidate the foundation， improve their ability， enhance their literacy， and finally use inequality to solve practical problems. Therefore， this study sorts through the review methods of the following aspects of knowledge in detail： the basic properties and calculation of inequalities， the application of inequality in equation， the application of inequality in function， the application of inequality in practical problems. In the review of inequality， teachers should focus on skills to the cultivation of innovative consciousness and core literacy.
Key words：junior middle school mathematics; inequality problem; review strategy
【关键词】初中数学;不等式问题;复习策略
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）22-0014-03
《义务教育数学课程标准（2011年版）》对学生的不等式学习有以下要求：①根据实际问题，理解不等式的意义，探究不等式的基本性质;②能正确求解一元一次不等式，并能在数轴上画出解集;③会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集;④能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问
题[1]。为了落实这些要求，本研究由易到难，由浅入深，从不等式的基本计算、不等式与方程相结合、不等式与函数相结合，再到不等式与实际问题相结合，全面梳理初中阶段有关不等式的知识，以便学生能够精准掌握。
1 吃透性质，精准计算
不等式的性质与等式的性质有很多相通之处，如在方程（不等式）两边，分别加上或者减去一个数（式），這个数无论正负，都能够使得原方程（不等式）成立;在方程（不等式）两边，分别乘以或除以同一个正数，也能使得原方程（不等式）成立。其区别在于方程两边同时乘以或除以一个负数时，方程仍然成立，但是不等式就不成立了，需要改变不等号的方向。为了让学生能够有效地复习不等式的基本性质，笔者精心挑选了两道典型例题。
例题1：如果a>b，那么下列结论中一定成立的是
（ ）。
A.1?a>1?b B.2+a>2+b
C.ab>b2 D.a2>b2
例题2：解下列不等式组：，并在数轴上表示解集。
不等式的考查中最基本且最常见的是对不等式的基本性质以及不等式（组）的解法的考查，这也是运用不等式解决其他问题的基础。掌握不等式的基本性质，学会使用一些常见的解题技巧，如赋值法，会大大降低不等式的解题难度，数轴的使用也有助于学生养成数形结合的良好习惯。
解析：例题1：∵ a>b，因为不知道a，b的正负，此时可以运用赋值法举一个反例。根据不等式的基本性质，容易得出答案为B。
例题2：由第一个不等式解得x>4，由第二个不等式解得x≤，通过数轴表示（如图1），或者口诀“大大、小小没得找”得出方程组无解。
虽然这类题目比较基础，但是部分学生没有牢固掌握不等式的性质，在不等式两边同时除以负数时容易出错，这也要求教师在平时的教学中重视基本概念的讲解。
2 结合方程，深度融合
笔者研究发现，近几年各地中考对不等式与方程的考查比较多，题目灵活而有层次感。其中含参问题是此类题目的难点。
例题3：已知关于x的分式方程=有负数解，则m的取值范围为 。
例题4：当a在什么范围取值时，方程组的解都是正数？
不等式（组）与方程（组）相结合，特别是与分式方程相结合，不仅需要学生能自己建立不等关系，还需要学生有较强的计算能力。
解析：例题3：根据题意去分母得：x?2（x+4）=m，解得x=?8?m，由题得方程有负数解，则有?8?m<0，
得：m>?8，但由于分式方程要满足分母不能为零，于是
?8?m≠?4，解得m≠?4，最后得出m>?8且m≠?4。
例题4：先用a表示出x、y的值，再根据方程组的解都是正数列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可。解得，解得，又因为方程组的解是正数，可得，解不等式组得：a>。
例题3考查不等式在含参分式方程中的应用，解答该题，学生先要化成整式方程，再根据“负数解”建立不等式，此时一定要考虑增根，这是难点也是易错点。例题4考查不等式在方程组中的应用，学生需要根据题意把方程组的解均用参数a表示出来，然后根据题意再建立不等式组求解。
3 数形结合，难点突破。
不等式与一次函数、反比例函数、二次函数等知识都有一定联系，但与反比例函数的结合最为常见，数形结合思想是解决此类问题的关键。
例题5：如图2，一次函数 y=kx+b与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，已知A点的坐标是（2，3），BC=2。
（1）求反比例函数与一次函数的表达式;
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b?≥0的解集。
本题考查了利用函数和数形结合思想来解决不等式问题。若学生根据已知条件求出参数的值，再利用不等式的基本性质求解，不仅耽搁时间，而且也容易计算错误。
解析：由题易得反比例函数的关系式为y=，一次函数的关系式为y=x+1。根据函数图象可得，当?3≤x<0或x≥2时，不等式kx+b?≥0成立。
解决此类不等式问题需要学生发现求解不等式就是比较函数值的大小，即可以看作 y=kx+b与 y=的两个函数值的大小比较。其实质就是两个图象的位置高低的比较，这样就避免了繁琐的计算。 4 结合实际，突出应用
数学来源于生活，最终要应用于生活。与不等式相关的应用题很多，学生在阅读该类题的题干时就应该判断哪些是关键词，有哪些需要挖掘的隐含条件。
例题6：温州某印刷厂经过市场调查，印刷的收费标准由制版费与印刷费两部分组成，制版费y1（百元）与印刷数量x（万件）之间的关系式为 y1=kx+b（0≤x≤3），已知当印刷数量为1万件时，制版费是8（百元），当印刷数量不少于3万件时，制版费全免。印刷费 y2（百元）与印刷数量x（万件）之间的关系式为 y2=ax2（a>0）。
（1）求出 y1与x之间的函数表达式;
（2）当a=1时，求印刷数量为多少万件时，收费最少？
（3）当印刷数量不超过3万件，且收费不低于7百元时，求a的范围。
例题7：为推进“世界著名花城”建设，深圳多个公园近期举办花展活动。如图4某公园想用一段长为80米的篱笆，围成一个一边靠围墙的ABCD（如图3），墙长36米。
（1）当AB长为多少米时所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
（2）当花圃的面积为350平方米时，AB长为多少米？
在应用题中，不等式往往与“多于、不少于、至少、够用……”等相关，学生要能够据此建立不等式。在求函数的自变量的取值范围时，不等式是一种重要的方法，其综合性也比较强。
解析：例题6：（1）当x=1时，y1=8;当x=3时，y1=0，将上述2个条件代入 y1=kx+b得：，
解得：，
故函数的表达式为： y1=?4x+12（0≤x≤3），当x>3时， y1=0;
（2）a=1时，设费用为y=y1+y2，当0≤x≤3时，y=?4x+12+x2，当x==2时，y最小，最小值為8，当x>3时，y=x2，其最小值大于8，故印刷2万件时，收费
最少;
（3）当0≤x≤3时，由题意得：y=?4x+12+ax2≥7，即：ax2?4x+5≥0，
∵ y≥0，故△=16?4a×5≥0，解得：a≤。
例题7：（1）设AB长为x米，花圃面积为 y平方米，由题意得：y=x（80?2x）=?2x2+80x=?2（x?20）2+800，
∴ 对称轴为x=20，由题意得：，解得22x<40。
∵ ?2<0，抛物线开口向下，
∴ 当x>22时，y随x的增大而减小，
∴ 当想x=22时，y有最大值，最大值为792。
∴ 当AB长为22米时所围成的花圃面积最大，最大值是792平方米。
（2）由（1）知 y=?2x2+80x。
令 y=350得：350=?2x2+80x，解得：x1=5，x2=35，
∵ 22x<40，∴x=35。
∴ 当花圃的面积为350平方米时，AB长为35米。
在复习此类综合应用题时，教师首先要让学生学会审题，理解题意，特别是对关键词的理解。再建立不等式，最后求解不等式。
不等式在整个数学学习的过程中都有比较重要的地位，不等式在解不定方程、最优策略、最大值、最小值、实际应用问题等方面都有着广泛的应用。因此，探究如何建立不等关系，如何快捷有效地解不等式，如何利用不等式解决实际问题，正是本研究的价值所在。在知识的交汇处考查学生的综合能力成为一种命题趋势，不等式作为其中一个重要环节，起到了举足轻重的作用[2]。
不等式的专题复习课层次分明，几乎能够让每一名学生找到适合自己的提高点。在不等式专题复习中，教师首先要做到夯实基础;然后讲解不等式与方程或与函数的综合题型，体现出知识的融合性;最后引导学生将不等式知识应用于生活。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.
[2]徐龙.关于不等式的教学方法探讨[J].数学教学通讯，2013（24）.
【作者简介】
李杰（1986～），男，四川成都人，本科，中小学一级教师，北京第二外国语学院成都附属中学数学备课组长。研究方向：初中数学教育。
雷红（1987～），女，陕西西安人，本科，中小学一级教师。研究方向：初中数学教育。
杨文（1989～），男，四川成都人，本科，中小学一级教师。研究方向：初中数学教育。
Study on the Review Strategy of Mathematical Inequality in Junior Middle Schools
Jie Li 1 Hong Lei 1 Wen Yang 2
（1. Chengdu Affiliated Middle School of Beijing International Studies University， Chengdu， Sichuan， 610043;
2. Yucai School of No. 7 Middle School， Chengdu， Sichuan， 610061）
Abstract：Inequality plays an important role in junior middle school mathematics. The core of the study is how mathematics teachers in junior middle schools help students consolidate the foundation， improve their ability， enhance their literacy， and finally use inequality to solve practical problems. Therefore， this study sorts through the review methods of the following aspects of knowledge in detail： the basic properties and calculation of inequalities， the application of inequality in equation， the application of inequality in function， the application of inequality in practical problems. In the review of inequality， teachers should focus on skills to the cultivation of innovative consciousness and core literacy.
Key words：junior middle school mathematics; inequality problem; review strategy