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【摘 要】举例教学也称作实例教学，是数学教学中一种常用的教学方法，即教师通过举出实例来解释数学概念，阐明数学原理，这一教学方法在数学课堂教学中具有积极的教学效用。本文基于举例教学法中所举例子的特点，探讨数学教学中举例教学法的应用策略，希望本研究能引导广大教师在教学中科学举例，建构数学高品质课堂。
【关键词】高中数学;举例教学;核心素养
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）22-0038-02
要想使举例教学法在高中数学课堂的教学中发挥积极的教学效用，教师就要结合具体的教学内容和三维目标，思考什么样的例子才能真正帮助学生理解数学知识、建构知识体系，思考如何做到准确适当，科学举例，真正让例子服务于课堂教学。因此，本文从举例教学应具备的代表性、启发性、联系性、比较性及实践性这几个方面出发进行具体探讨，希望能引导学生在探究实例、获取知识的过程中发散思维，激活应用意识，并让学生体验知识的形成过程，完成知识的建构，不断培养与提升学生的数学核心素养。
1 代表性，反映抽象特征
教师在数学课堂上通过举例子的方式开展教学时，所举例子要与课堂内容与三维目标相契合，具备一定的代表性，这样才能通过例子的引入，对抽象的数学知识进行具象的说明与解释，反映数学概念及原理的抽象特征，帮助学生更为直观、清晰地理解教学内容。
如“集合”这部分知识的教学为例，其实学生在小学就已经有接触过集合的基本概念等知识，这也是学生在初中学到的基础知识。到了高中，教师要引导学生了解集合的含义，理解并掌握元素与集合的“属于”关系以及集合中元素的三个特性。具体到教学中，教师就可由举例的方式引入课堂，这些实例可以是学生在小学、初中的数学教学过程中使用过的、具有代表性的例子。如“正数、负数的集合”“自然数的集合：0，1，2，3……”“高一（3）班全体学生”“所有的直角三角形”还有初中学过的“圆是到定点的距离等于定长的点的集合”等，让学生观察这些例子，从中总结集合的基本概念。学生能分析出第一个例子和第二个例子是数的集合，第三个例子是人的集合，第四个例子是图形的集合，第五个例子是点的集合等，这样分析归纳下来，学生推理得出某些特定的对象集中在一起就称为集合。就这样，学生就能顺利完成集合概念的学习。
也就是说，举例教学法是要通过列举有代表性的、恰当的实例来说明抽象事物的特征。因此，教师所举的例子要以典型实例为主，这样更符合学生的认知逻辑与规律，能帮助学生对所学知识产生深刻理解，对课堂教学内容产生深刻印象。
2 启发性，发散思维空间
数学思考是数学教学中最有价值的行为，教师在课堂上举例子的一个重要目的就是引发学生的数学思考。因此，举例要具备一定的启发性，让学生能由实例主动思考，引发联想，这样才能有效调动起学生學习的兴趣与积极性，引导学生在思考、分析的过程中获取数学知识，理解课堂内容[1]。
如在教学“等差数列”时，教师就可通过启发教学法，结合实际情境让学生理解等差数列的定义，让学生学会应用定义判断一个数列是否是等差数列。首先，教师可以引导学生从两个现实问题（数数问题、水库水位问题）来概括出数组特点并抽象出等差数列的概念。例子1：从0开始，将4的倍数按从小到大的顺序排列，得到的数列是什么？例子2：水库管理人员用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18 m，自然放水每天水位降低2.5 m，最低降至5 m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成一个什么数列？这两个例子中蕴含着两列数：①0，4，8，12，……②18，15.5，13，10.5，8，5.5。接下来教师可以引导学生从中思考这两个数列具有的共同特征，启发学生归纳得出等差数列概念，让学生讨论出数列中相邻两个数的差符合一定规律，在此基础上继续引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义。这样的教学方式有利于学生更好地理解等差数列的概念。
要想真正通过举例达到启发学生联想、发散学生思维的目标，教师要根据教学内容与学生的知识能力，在例子中设置深浅适度的启发点，防止过难或过易，避免因过易或过易让学生失去积极思维的兴趣，这样教师才能通过启发性例子将学生的思维引进更加广阔的空间。
3 联系性，形成知识体系
这里的联系性是指例子与教学内容之间要有一定的关联性。在具体实施举例教学时，教师一般有两种实践模式，一种是先讲明原理再举实例，让学生能从生动的例子中理解抽象的数学知识。另一种是先列举实例，引导学生从中归纳与概括数学原理，不断梳理与建构数学知识体系。
如在教学“基本不等式”这节内容时，当教师带领学生探索了基本不等式的证明过程后，很多学生还是对这个公式一知半解，在解题和计算的过程中很容易发生混淆及错误。那么，教师可以在讲明原理后再列举一些实例来帮助学生理解这一知识内容。如①用篱笆围一个面积为100 m?的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？②用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？这道题和基本不等式有什么联系呢？教师要引导学生结合实际分析问题，第一，矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短。第二，矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大。这时候教师就引导学生搭建起了基本不等式与实际问题间的联系，找到了解题的切入点，接下来学生就能构建数量关系并计算，实现顺利解题。
也就是说，无论是先举例后归纳原理，还是利用例子去解释原理，教师都要将例子与原理有机融合起来，确保实例与教学内容知识的关联性。同时，教师也要注意一点，教学实例应为课堂教学内容和三维目标而服务，不能为了举例而举例，造成喧宾夺主的不良观感。 4 比较性，辨析思路异同
教师在应用比较性实例时，就是将举例教学法与比较分析法结合了起来。这样可以引导学生对具体例子进行感知辨别，辨析思路异同，找到它们的共同点与不同之处，并在这个基础上抽象出数学概念与原理的属性与特征，进一步触及数学知识的本质[2]。
如“定义域”与“定义区间”这两个数学概念，它们之间是有一定区别的。定义区间只是一个范围，表征函数所定义的一个区间，可不考虑端点的。定义域是一个使得函数有意义的、所有的、自变量的范围，端点要考虑在内。引导学生明确定义域与定义区间这两个数学概念的区别后，教师可以举一些例子， f（x）=x2，定义域为R或者（?∞，+∞），如果要取一个定义区间，就可以在这个范围内任意限制。这样学生更能明确地理解定义域比定义区间大，区间是定义域的子集。
也就是说，当教师把相似或者是差别大的例子放在一起的时候，学生能够在比较异同的过程中找到不同数学事物之间的异同点，去除表面的、浅显的非本质属性，深入剖析与理解各部分、各要素之间的关系，从而把握数学知识内容的本质和整体属性，达到对课堂知识的深入理解与认识。
5 实践性，激活应用意识
教师在数学课堂上所举的例子可以应用到新知识教学中，以帮助学生理解数学概念与原理;还可以通过巧用与实际生活相关的实践性例子，来引导学生利用数学知识解决实际问题，指导实践生活。在这样的过程中学生能够更加深入地理解与巩固数学知识内容，激活应用意识，达到学以致用的教学效果。
如以“指数函数”的教学为例，实际上指数函数在生活中也有很广泛的应用，教师就可以通过举例子的方式来帮助学生学会指数函数的实际解释与应用。如有这样一道题：某种储蓄按复利计算，若本金為a，每期利率为r，若存期是x，本利（本金加上利息）为y元，①写出本息和y随x变化的函数关系式;②如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算4期后的本利。这道题目就是将指数模型应用到了生活中的储蓄问题中去，通过分析，学生可探索得出本息y随x变化的函数模型：y=a（1+r）（x∈N*），并根据这个指数模型，在已知本金、每期利率、存期这些量的时候，学生能够根据数学模型计算出某种储蓄的收益，可以说这一例子不仅有利于学生学习数学知识，还对学生实际生活有着一定的指导作用。
由此可见，在高中数学课堂的教学中有计划、有意识地设计与实施举例教学，并通过科学举例、恰当举例来将抽象的数学知识形象化、复杂的数学原理简单化，对学生的数学学习及知识吸收有一定的帮助与促进作用的。因此，除了文中探讨的所举例子应具备的代表性、启发性、联系性、比较性及实践性这几个方向以外，教师还要在具体的教学实践中不断思考与摸索激励教学法的更多特性和应用方式，让其在数学教学中发挥出更加巨大的作用。
总之，数学是一门研究数量关系与空间关系的学科，具有高度的抽象性与逻辑性，而通过举例教学法的引入与实施，教师可以通过与抽象知识相对应的具体表征来达到化曲为直、化繁为简的目的，把抽象的问题具体化，这样更符合学生的认知规律和能力，可以大大帮助学生降低知识理解的难度，进一步改进与提升数学课堂的教学效果。
【参考文献】
[1]王金祥.浅析案例教学[J].科技信息，2008（33）.
[2]胡雪梅.讲联系，会举例，重实践，善比较——高中数学概念教学的思考[J].高中数理化，2016（24）.
【作者简介】
林文聪（1977～），男，福建安溪人，本科，福建省安溪第一中学，中学一级。研究方向：高中数学教学。
【关键词】高中数学;举例教学;核心素养
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）22-0038-02
要想使举例教学法在高中数学课堂的教学中发挥积极的教学效用，教师就要结合具体的教学内容和三维目标，思考什么样的例子才能真正帮助学生理解数学知识、建构知识体系，思考如何做到准确适当，科学举例，真正让例子服务于课堂教学。因此，本文从举例教学应具备的代表性、启发性、联系性、比较性及实践性这几个方面出发进行具体探讨，希望能引导学生在探究实例、获取知识的过程中发散思维，激活应用意识，并让学生体验知识的形成过程，完成知识的建构，不断培养与提升学生的数学核心素养。
1 代表性，反映抽象特征
教师在数学课堂上通过举例子的方式开展教学时，所举例子要与课堂内容与三维目标相契合，具备一定的代表性，这样才能通过例子的引入，对抽象的数学知识进行具象的说明与解释，反映数学概念及原理的抽象特征，帮助学生更为直观、清晰地理解教学内容。
如“集合”这部分知识的教学为例，其实学生在小学就已经有接触过集合的基本概念等知识，这也是学生在初中学到的基础知识。到了高中，教师要引导学生了解集合的含义，理解并掌握元素与集合的“属于”关系以及集合中元素的三个特性。具体到教学中，教师就可由举例的方式引入课堂，这些实例可以是学生在小学、初中的数学教学过程中使用过的、具有代表性的例子。如“正数、负数的集合”“自然数的集合：0，1，2，3……”“高一（3）班全体学生”“所有的直角三角形”还有初中学过的“圆是到定点的距离等于定长的点的集合”等，让学生观察这些例子，从中总结集合的基本概念。学生能分析出第一个例子和第二个例子是数的集合，第三个例子是人的集合，第四个例子是图形的集合，第五个例子是点的集合等，这样分析归纳下来，学生推理得出某些特定的对象集中在一起就称为集合。就这样，学生就能顺利完成集合概念的学习。
也就是说，举例教学法是要通过列举有代表性的、恰当的实例来说明抽象事物的特征。因此，教师所举的例子要以典型实例为主，这样更符合学生的认知逻辑与规律，能帮助学生对所学知识产生深刻理解，对课堂教学内容产生深刻印象。
2 启发性，发散思维空间
数学思考是数学教学中最有价值的行为，教师在课堂上举例子的一个重要目的就是引发学生的数学思考。因此，举例要具备一定的启发性，让学生能由实例主动思考，引发联想，这样才能有效调动起学生學习的兴趣与积极性，引导学生在思考、分析的过程中获取数学知识，理解课堂内容[1]。
如在教学“等差数列”时，教师就可通过启发教学法，结合实际情境让学生理解等差数列的定义，让学生学会应用定义判断一个数列是否是等差数列。首先，教师可以引导学生从两个现实问题（数数问题、水库水位问题）来概括出数组特点并抽象出等差数列的概念。例子1：从0开始，将4的倍数按从小到大的顺序排列，得到的数列是什么？例子2：水库管理人员用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18 m，自然放水每天水位降低2.5 m，最低降至5 m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成一个什么数列？这两个例子中蕴含着两列数：①0，4，8，12，……②18，15.5，13，10.5，8，5.5。接下来教师可以引导学生从中思考这两个数列具有的共同特征，启发学生归纳得出等差数列概念，让学生讨论出数列中相邻两个数的差符合一定规律，在此基础上继续引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义。这样的教学方式有利于学生更好地理解等差数列的概念。
要想真正通过举例达到启发学生联想、发散学生思维的目标，教师要根据教学内容与学生的知识能力，在例子中设置深浅适度的启发点，防止过难或过易，避免因过易或过易让学生失去积极思维的兴趣，这样教师才能通过启发性例子将学生的思维引进更加广阔的空间。
3 联系性，形成知识体系
这里的联系性是指例子与教学内容之间要有一定的关联性。在具体实施举例教学时，教师一般有两种实践模式，一种是先讲明原理再举实例，让学生能从生动的例子中理解抽象的数学知识。另一种是先列举实例，引导学生从中归纳与概括数学原理，不断梳理与建构数学知识体系。
如在教学“基本不等式”这节内容时，当教师带领学生探索了基本不等式的证明过程后，很多学生还是对这个公式一知半解，在解题和计算的过程中很容易发生混淆及错误。那么，教师可以在讲明原理后再列举一些实例来帮助学生理解这一知识内容。如①用篱笆围一个面积为100 m?的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？②用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？这道题和基本不等式有什么联系呢？教师要引导学生结合实际分析问题，第一，矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短。第二，矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大。这时候教师就引导学生搭建起了基本不等式与实际问题间的联系，找到了解题的切入点，接下来学生就能构建数量关系并计算，实现顺利解题。
也就是说，无论是先举例后归纳原理，还是利用例子去解释原理，教师都要将例子与原理有机融合起来，确保实例与教学内容知识的关联性。同时，教师也要注意一点，教学实例应为课堂教学内容和三维目标而服务，不能为了举例而举例，造成喧宾夺主的不良观感。 4 比较性，辨析思路异同
教师在应用比较性实例时，就是将举例教学法与比较分析法结合了起来。这样可以引导学生对具体例子进行感知辨别，辨析思路异同，找到它们的共同点与不同之处，并在这个基础上抽象出数学概念与原理的属性与特征，进一步触及数学知识的本质[2]。
如“定义域”与“定义区间”这两个数学概念，它们之间是有一定区别的。定义区间只是一个范围，表征函数所定义的一个区间，可不考虑端点的。定义域是一个使得函数有意义的、所有的、自变量的范围，端点要考虑在内。引导学生明确定义域与定义区间这两个数学概念的区别后，教师可以举一些例子， f（x）=x2，定义域为R或者（?∞，+∞），如果要取一个定义区间，就可以在这个范围内任意限制。这样学生更能明确地理解定义域比定义区间大，区间是定义域的子集。
也就是说，当教师把相似或者是差别大的例子放在一起的时候，学生能够在比较异同的过程中找到不同数学事物之间的异同点，去除表面的、浅显的非本质属性，深入剖析与理解各部分、各要素之间的关系，从而把握数学知识内容的本质和整体属性，达到对课堂知识的深入理解与认识。
5 实践性，激活应用意识
教师在数学课堂上所举的例子可以应用到新知识教学中，以帮助学生理解数学概念与原理;还可以通过巧用与实际生活相关的实践性例子，来引导学生利用数学知识解决实际问题，指导实践生活。在这样的过程中学生能够更加深入地理解与巩固数学知识内容，激活应用意识，达到学以致用的教学效果。
如以“指数函数”的教学为例，实际上指数函数在生活中也有很广泛的应用，教师就可以通过举例子的方式来帮助学生学会指数函数的实际解释与应用。如有这样一道题：某种储蓄按复利计算，若本金為a，每期利率为r，若存期是x，本利（本金加上利息）为y元，①写出本息和y随x变化的函数关系式;②如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算4期后的本利。这道题目就是将指数模型应用到了生活中的储蓄问题中去，通过分析，学生可探索得出本息y随x变化的函数模型：y=a（1+r）（x∈N*），并根据这个指数模型，在已知本金、每期利率、存期这些量的时候，学生能够根据数学模型计算出某种储蓄的收益，可以说这一例子不仅有利于学生学习数学知识，还对学生实际生活有着一定的指导作用。
由此可见，在高中数学课堂的教学中有计划、有意识地设计与实施举例教学，并通过科学举例、恰当举例来将抽象的数学知识形象化、复杂的数学原理简单化，对学生的数学学习及知识吸收有一定的帮助与促进作用的。因此，除了文中探讨的所举例子应具备的代表性、启发性、联系性、比较性及实践性这几个方向以外，教师还要在具体的教学实践中不断思考与摸索激励教学法的更多特性和应用方式，让其在数学教学中发挥出更加巨大的作用。
总之，数学是一门研究数量关系与空间关系的学科，具有高度的抽象性与逻辑性，而通过举例教学法的引入与实施，教师可以通过与抽象知识相对应的具体表征来达到化曲为直、化繁为简的目的，把抽象的问题具体化，这样更符合学生的认知规律和能力，可以大大帮助学生降低知识理解的难度，进一步改进与提升数学课堂的教学效果。
【参考文献】
[1]王金祥.浅析案例教学[J].科技信息，2008（33）.
[2]胡雪梅.讲联系，会举例，重实践，善比较——高中数学概念教学的思考[J].高中数理化，2016（24）.
【作者简介】
林文聪（1977～），男，福建安溪人，本科，福建省安溪第一中学，中学一级。研究方向：高中数学教学。