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【摘 要】教师在数学教学中，除了对问题解决的探索以外，更应该关注学生数学思维的培养。课堂应给学生带得走的思维力，使学生充分感悟数学思想，把握数学本质。本文正是记录了这样一堂由教师自主设计的、深度挖掘学生数学思维、处处渗透数学思想的复习课。
【关键词】小学数学；复习课；分类讨论思想；数形结合思想；极限思想
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）16-0179-02
《数学课程标准（2011版）》提出，数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。数学课程的设计要有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考，充分考虑数学本身的特点，体现数学的本质。
有幸聆听了成都实验学校青华分校的肖雪梅老师的一堂小学四年级的关于长方形周长和面积的复习课，受益颇多，把自己的一点思考记录下来。
1 教学再现
从一个长方形上剪下一个正方形，（1）剩余图形的周长会有变化吗？周长变大还是变小了？（2）面积会有变化吗？变大还是变小了？
教师：同学们，今天这堂课我们就来解决这个问题。今天你们的学具就仅是一张长方形白纸，我们不用真正的剪刀去剪，只是用大脑想象着从这张长方形纸上剪下一个正方形，剩余的图形是什么样子？现在哪位同学能够把你用思维之剪剪出来的图形画在黑板上？
学生1：如黑板上图1所画，我在一个长方形上剪下一个正方形，剩余图形的周长没有变化，还和原来长方形的周长一样长。因为我可以看作是把剩余图形的两条边沿箭头方向平移，那么求剩余图形的周长就转化成求原来长方形的周长。
图1 图2
教师：现在请同学们发挥想象力，如果剪下的这个正方形的边长再变大些，一直扩大到不能再变大，变大到极限位置是什么样子？
學生2：如黑板图2所画，所剪正方形变大到极限位置，剩余图形是一个长方形，此时剩余图形周长和原来图形周长相比减少，而且恰巧减少了长方形的两条宽的
长度。
教师：有没有哪位同学和刚才同学剪的不一样？
学生3：刚才的同学是在长方形的一角去剪下正方形，我还可以在长方形中间剪，如图3。此时，剩余图形的周长增加，并且恰巧增加的长度是所剪正方形边长的
四倍。
教师：发挥你们的思维之剪想象力，在中间剪
正方形的这种情况，如果把正方形拉大到极限位置，周长如何变化？
（同学们小声讨论起来……）
图3 图4
教师：其实这种极限情况不存在，因为一旦把正方形拉大到正方形的某一条边穿透了长方形，如图4，这就不能算是在长方形中间剪正方形了，就变成了另一种
情况……
学生4：（不等老师说完，跃跃欲试）既然可以在长方形一角剪、中间剪，那么我也可以在长方形的一条边上剪正方形了。如图4，剩余图形的周长增加，增加了2条小正方形的边长。如果所剪的这个正方形变大，并且变大到极限位置，那就如图5所示，经过把剩余图形其中两条边的平移，又转化成了求原来长方形的，所以此时，在极限位置剩余图形的周长不变。
图5
老师：我们解决了剩余图形的周长如何变化的问题，那么同学们再想想：从一个长方形上剪下一个正方形，剩余图形面积该如何变化呢？
学生5：在长方形的一角、中间或者是一边上剪正方形，不管是这三种情况的哪种，剩余图形面积都等于长方形面积减正方形面积，即S剩=S长-S正。
教师：同学们，现在我们返回来看一下剩余图形周长的变化情况。如果假设原来长方形的长为a，宽为b，所剪下的正方形边长为c，要计算剩余图形周长增加或者减少了多少，需要知道哪些具体的条件呢？现在我按从角上剪、从中间剪、从一边剪正方形这三种情况，列了一个表格，你们能把它补充完整吗（如表1）？
2.课后反思
第一，这是在三年级学习了周长、面积之后的一节复习课。三年级上册刚学习了长方形、正方形的周长计算，下学期紧接着又来学习长方形、正方形的面积计算，同学们容易把面积计算和周长计算搞混，而且面积、周长单元的习题很容易出现这样的一类题目“把一个长方形的某一条边增加（或减少）了一些，剩余图形的面积（周长）如何变化？”题目千变万化，与其遇到一种情况解决一种情况，不如在学习面积周长之后就设计这样一节“思维之剪，思考之算”的复习课，让同学们开动脑筋，真正学会用“思维之剪”在大脑中“剪”出剩余图形的样子，并且学会考虑极限情况，会用“思维之算”巧妙解决问题。
第二，本堂课的最后，老师启发学生逆向思维，才是真正的画龙点睛之笔。如果换位逆向思考，学生变成了出题目的老师，那么请问：从一个长方形上剪下一个正方形，要计算剩余图形的周长增加或者减少了多少，需要知道哪些具体的已知条件呢？逆向思考更能增加学生对知识的掌握和理解。
第三，小学三年级之前的数学学习，很少有能体现“分类讨论”思想的复杂题目，这样的一堂自主设计的复习课真正是在启发学生的思维，并且同时也体现了“数形结合”思想、“极限”思想，所以说，这真正是设计者创造的一堂智慧之课。
【作者简介】
孙鹏娟（1986-），女，陕西宝鸡人，成都高新区菁蓉小学教师。
【关键词】小学数学；复习课；分类讨论思想；数形结合思想；极限思想
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）16-0179-02
《数学课程标准（2011版）》提出，数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。数学课程的设计要有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考，充分考虑数学本身的特点，体现数学的本质。
有幸聆听了成都实验学校青华分校的肖雪梅老师的一堂小学四年级的关于长方形周长和面积的复习课，受益颇多，把自己的一点思考记录下来。
1 教学再现
从一个长方形上剪下一个正方形，（1）剩余图形的周长会有变化吗？周长变大还是变小了？（2）面积会有变化吗？变大还是变小了？
教师：同学们，今天这堂课我们就来解决这个问题。今天你们的学具就仅是一张长方形白纸，我们不用真正的剪刀去剪，只是用大脑想象着从这张长方形纸上剪下一个正方形，剩余的图形是什么样子？现在哪位同学能够把你用思维之剪剪出来的图形画在黑板上？
学生1：如黑板上图1所画，我在一个长方形上剪下一个正方形，剩余图形的周长没有变化，还和原来长方形的周长一样长。因为我可以看作是把剩余图形的两条边沿箭头方向平移，那么求剩余图形的周长就转化成求原来长方形的周长。
图1 图2
教师：现在请同学们发挥想象力，如果剪下的这个正方形的边长再变大些，一直扩大到不能再变大，变大到极限位置是什么样子？
學生2：如黑板图2所画，所剪正方形变大到极限位置，剩余图形是一个长方形，此时剩余图形周长和原来图形周长相比减少，而且恰巧减少了长方形的两条宽的
长度。
教师：有没有哪位同学和刚才同学剪的不一样？
学生3：刚才的同学是在长方形的一角去剪下正方形，我还可以在长方形中间剪，如图3。此时，剩余图形的周长增加，并且恰巧增加的长度是所剪正方形边长的
四倍。
教师：发挥你们的思维之剪想象力，在中间剪
正方形的这种情况，如果把正方形拉大到极限位置，周长如何变化？
（同学们小声讨论起来……）
图3 图4
教师：其实这种极限情况不存在，因为一旦把正方形拉大到正方形的某一条边穿透了长方形，如图4，这就不能算是在长方形中间剪正方形了，就变成了另一种
情况……
学生4：（不等老师说完，跃跃欲试）既然可以在长方形一角剪、中间剪，那么我也可以在长方形的一条边上剪正方形了。如图4，剩余图形的周长增加，增加了2条小正方形的边长。如果所剪的这个正方形变大，并且变大到极限位置，那就如图5所示，经过把剩余图形其中两条边的平移，又转化成了求原来长方形的，所以此时，在极限位置剩余图形的周长不变。
图5
老师：我们解决了剩余图形的周长如何变化的问题，那么同学们再想想：从一个长方形上剪下一个正方形，剩余图形面积该如何变化呢？
学生5：在长方形的一角、中间或者是一边上剪正方形，不管是这三种情况的哪种，剩余图形面积都等于长方形面积减正方形面积，即S剩=S长-S正。
教师：同学们，现在我们返回来看一下剩余图形周长的变化情况。如果假设原来长方形的长为a，宽为b，所剪下的正方形边长为c，要计算剩余图形周长增加或者减少了多少，需要知道哪些具体的条件呢？现在我按从角上剪、从中间剪、从一边剪正方形这三种情况，列了一个表格，你们能把它补充完整吗（如表1）？
2.课后反思
第一，这是在三年级学习了周长、面积之后的一节复习课。三年级上册刚学习了长方形、正方形的周长计算，下学期紧接着又来学习长方形、正方形的面积计算，同学们容易把面积计算和周长计算搞混，而且面积、周长单元的习题很容易出现这样的一类题目“把一个长方形的某一条边增加（或减少）了一些，剩余图形的面积（周长）如何变化？”题目千变万化，与其遇到一种情况解决一种情况，不如在学习面积周长之后就设计这样一节“思维之剪，思考之算”的复习课，让同学们开动脑筋，真正学会用“思维之剪”在大脑中“剪”出剩余图形的样子，并且学会考虑极限情况，会用“思维之算”巧妙解决问题。
第二，本堂课的最后，老师启发学生逆向思维，才是真正的画龙点睛之笔。如果换位逆向思考，学生变成了出题目的老师，那么请问：从一个长方形上剪下一个正方形，要计算剩余图形的周长增加或者减少了多少，需要知道哪些具体的已知条件呢？逆向思考更能增加学生对知识的掌握和理解。
第三，小学三年级之前的数学学习，很少有能体现“分类讨论”思想的复杂题目，这样的一堂自主设计的复习课真正是在启发学生的思维，并且同时也体现了“数形结合”思想、“极限”思想，所以说，这真正是设计者创造的一堂智慧之课。
【作者简介】
孙鹏娟（1986-），女，陕西宝鸡人，成都高新区菁蓉小学教师。