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[摘 要] 认知逻辑是学生在学习过程中自然表现出来的认知顺序与规律，反映着不同阶段的学习需要. 基于数学教材但超越数学教材，让数学知识的生成更符合学生的认知需要，是有效教学的保证. 本文以初中数学中的“勾股定理”为例，阐述基于学生认知逻辑的数学教学.
[关键词] 初中数学；认知逻辑；勾股定理
初中数学教学至少有两条教学主线：一条是知识主线，即根据数学知识的展开顺序实施教学，这是最常见的教学主线，通常情况下有什么样的知识顺序（更多的决定于教材），就有什么样的教学顺序. 有意思的是，伴随着教材的改革，每一次都能说出改变的道理与必要性，这常常给教师带来疑惑：如果这一次知识顺序的调整有其必要性，那调整之前的知识顺序就不合理了吗？如果本次变化合理，那还会有下一次的变化吗？当然，这个问题不是本文讨论的重点，此处不赘言. 另一条是认知主线，即按照学生的认知逻辑去实施教学. 笔者以为，相对于知识主线，认知主线往往更贴近学生的学习需要，因此在教学中应该予以更多的重视. 当然，作为一线数学教师，大规模地调整知识主线是不太可能的，但就一个知识不完全拘泥于教材的设计，而是根据学生的认知发展逻辑去设计并实施教学，那是有可能的，且可能更切合自己所教学生的学习需要. 本文以“勾股定理”一课的教学为例，谈谈笔者对学生认识逻辑的把握及其教学.
基于学生认知逻辑的教学分析
勾股定理是初中数学的重要内容，在历史上有“千古第一定理”的美称. 如何在初中生的认知中建构良好的关于勾股定理的认知结构，既需要基于教材的设计，即对知识的发生进行逻辑思考，也需要基于学生认知逻辑的思考.
从勾股定理本身来看，其给出的是直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方的规律，但在一般的教学中常常都是从“勾三股四弦五”来引入课题的，笔者以为这样的引入很具趣味性，但作为课题的引入，其作用似乎又没有完全发挥出来. 比如，给学生一个边长分别为3，4，5的直角三角形，让学生去探索其中的关系，这样的举例会让学生有哪些想法呢？这些想法对于勾股定理的建构又有什么好处呢？这一简单的问题在实际教学中似乎并没有受到太多的重视，因此其教学价值也就没有完全发挥出来. 又如那个经典的关于毕达哥拉斯去朋友家发现地砖上关于直角三角形的一种特殊的三角关系的数学史话，其对学生的兴趣激发几乎是直觉性的，但其对于学生进一步建构勾股定理甚至是数学学习的认识又起到了多大的作用？这似乎也没有太多的探究成果可供借鉴. 又如，在勾股定理的建构过程中，学生是否可以经由一些具体的亲身体验或者思维体验，来对勾股定理有一个循序渐进式的深入认识过程，以让勾股定理的出现不再是借鉴他人或者历史的研究成果，而是表现出一种真正的自我探究属性呢？尝试者似乎也不是很多.
而所有的这些问题实际上都是围绕学生的认知逻辑进行的，也就是说，无论是间接的知识学习与建构，还是直接的体验与探究，实际上都是学生认知驱动的结果. 只有建立了这一认识，勾股定理的有效建构才具备“教”这一实施可能.
那么，学生在勾股定理一课的学习中，认知逻辑应遵循什么样的规律呢？笔者根据自身的教学经验做出这样的总结：第一，学生对勾股定理的表达易于接受，一是因为该定理表述的对象及关系十分清楚，二是因为学生对“勾三股四弦五”的记忆有着一种天然的良好记忆. 这似乎意味着3，4，5这三个数字可以成为一个有效的教学切入点. 第二，学生在认识勾股定理的过程中有一个从特殊到一般的过程，也就是说，学生往往对“勾三股四弦五”的认识更为直接和有效. 相对而言，具有一般意义的a2 b2=c2则略显抽象. 这符合初中生的思维特点与认知规律，毕竟从特殊向一般才是教学规律，反之则不符合学生的认知规律. 第三，学生的认知必要的时候应当建立在实践体验的基础之上，这样更容易驱动学生的认知发展.
借助学生的认知逻辑驱动教学
基于以上分析，笔者在“勾股定理”的教学中尝试采取三个步骤，以促进学生对勾股定理的有效构建.
1. 第一步：表象构建
勾股定理讲的是直角三角形边的关系，最终体现为数的关系或者表达式的关系. 作为从特殊到一般的教学顺序，教师应当先让学生基于数的认识来构建三角形. 于是笔者在引入的时候先提出这样一个问题：有这样的连续三个非负整数a，b，c，它们之间正好满足a2 b2=c2，你能算出这三个数分别是多少吗？这个看似与主题无关的问题，实际上很能激发学生的兴趣. 待到学生发现这三个数就是3，4，5之后，笔者继续提问：“在中国很早的时候就有人发现，如果一个三角形的边长刚好是这三个数的话，那这个三角形就是——”提出这个问题时，笔者故意停顿不说出答案，而是让学生去猜想. 这个时候，学生就会借助自己的想象力去构建可能的图形.
在这个过程中，学生的想象开启了认知起点，会将三个特殊的数值与三角形的形状进行联想，这就为直角三角形边的关系奠定了思维基础. 事实上，在此过程中，有不少学生会想到可能是直角三角形，也有学生在课外阅读的时候看到过“勾三股四弦五”的故事，还听说过“三强韩赵魏，九章勾股弦”的趣事，这些均可为构建直角三角形的三边关系表象奠定基础.
2. 第二步：切身体验
随后笔者设计了一个学生体验，让学生用一根事先准备好的用两种颜色间隔开来且间距相等的细线，让学生从上面取十二等份（两头可留一点打结），然后借助刚才的思维去连接成一个三角形，接着观察三角形的形状. 这是一个将刚才构建出来的表象具体化的过程，在这个过程中，学生会通过自己的实践，进一步完善自己的认知，进而让直角三角形及其边的平方关系成为自己认知中更为熟悉的一个组成部分.
3. 第三步：认识定理
有了上面两步的基础，其后的勾股定理的构建关键就在于从特殊到一般，即看似偶然的32 42=52是不是具有一般意义上的a2 b2=c2的含义. 而这也恰恰是笔者起初让学生猜想连续数的平方关系的时候，用a，b，c来表示的原因. 显然，具体的数值表示的是特殊，而符号表示的是一般，这个时候需要的就是严格的数学证明，问题是学生能不能想到这一点呢？当笔者提出“是不是所有的直角三角形都具有这样的关系”时，不同学生的反应显示了其认知特点的不同：有的学生会再根据其他的直角三角形，量出其边长关系，然后判断其是否符合；而还有的学生则是想到用符号表示三角形的边长，尝试用数学证明的方法进行验证. 这说明，不同学生的认知规律不同. 而笔者做的则是根据不同学生的特点，再一次进行几次特殊情形的研究，然后引导他们认识到最有力的证明还是用符号表示边长的一般方法，于是思路就转向教材上的方法. 其后就是同行们相对熟悉的教学过程，此处不再赘述.
这样的三个步骤遵循了学生认知发展的规律与逻辑，对勾股定理的构建过程由浅入深、由特殊到一般、从感性到理性，符合数学知识形成的规律，笔者以为是一个有效的教学过程. 而从学生的理解与应用来看，该教学过程也确实让学生在勾股定理的应用中有相对于以往更为熟练的理解与应用.
认知逻辑决定着认知建构效果
回到文章开头所提的观点，数学知识的构建要么基于知识的发展逻辑，要么基于认知发展逻辑. 显然，后者更具有因材施教的意义. 在教师的教学中，根据自身的教学经验甚至是自己学生时代的学习经验，去判断学生在某个知识学习中可能的想法，是把握学生认知逻辑的关键.
实际上，在“勾股定理”的教学中，另一环节也可以证明基于学生的认知逻辑实施教学是有效的，那就是在得出勾股定理之后，有学生提出：如果一个三角形满足a2 b2=c2，那这个三角形就一定是直角三角形吗？这实际上是一个勾股定理的逆命题的判断问题，这也说明该学生此时思考的已经不是勾股定理成立与否的问题（这意味着学生已经接纳、理解了勾股定理），而是更高层次的问题了. 这一问题的提出，实际上反映的就是学生思维的递进，即这是认知逻辑的一种体现. 而这个问题的解决，同样可以以此时学生的认知为起点，进一步基于学生的认知逻辑去实施教学.
总之，初中数学教学中更有效的教学思路，应当是基于学生的认知逻辑去实施教学. 在此思想引导之下，在尊重教材知识编排的基础上去重构教材，以让教学顺序更好地适应学生的认知需要，就是真正有效的数学教学.
[关键词] 初中数学；认知逻辑；勾股定理
初中数学教学至少有两条教学主线：一条是知识主线，即根据数学知识的展开顺序实施教学，这是最常见的教学主线，通常情况下有什么样的知识顺序（更多的决定于教材），就有什么样的教学顺序. 有意思的是，伴随着教材的改革，每一次都能说出改变的道理与必要性，这常常给教师带来疑惑：如果这一次知识顺序的调整有其必要性，那调整之前的知识顺序就不合理了吗？如果本次变化合理，那还会有下一次的变化吗？当然，这个问题不是本文讨论的重点，此处不赘言. 另一条是认知主线，即按照学生的认知逻辑去实施教学. 笔者以为，相对于知识主线，认知主线往往更贴近学生的学习需要，因此在教学中应该予以更多的重视. 当然，作为一线数学教师，大规模地调整知识主线是不太可能的，但就一个知识不完全拘泥于教材的设计，而是根据学生的认知发展逻辑去设计并实施教学，那是有可能的，且可能更切合自己所教学生的学习需要. 本文以“勾股定理”一课的教学为例，谈谈笔者对学生认识逻辑的把握及其教学.
基于学生认知逻辑的教学分析
勾股定理是初中数学的重要内容，在历史上有“千古第一定理”的美称. 如何在初中生的认知中建构良好的关于勾股定理的认知结构，既需要基于教材的设计，即对知识的发生进行逻辑思考，也需要基于学生认知逻辑的思考.
从勾股定理本身来看，其给出的是直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方的规律，但在一般的教学中常常都是从“勾三股四弦五”来引入课题的，笔者以为这样的引入很具趣味性，但作为课题的引入，其作用似乎又没有完全发挥出来. 比如，给学生一个边长分别为3，4，5的直角三角形，让学生去探索其中的关系，这样的举例会让学生有哪些想法呢？这些想法对于勾股定理的建构又有什么好处呢？这一简单的问题在实际教学中似乎并没有受到太多的重视，因此其教学价值也就没有完全发挥出来. 又如那个经典的关于毕达哥拉斯去朋友家发现地砖上关于直角三角形的一种特殊的三角关系的数学史话，其对学生的兴趣激发几乎是直觉性的，但其对于学生进一步建构勾股定理甚至是数学学习的认识又起到了多大的作用？这似乎也没有太多的探究成果可供借鉴. 又如，在勾股定理的建构过程中，学生是否可以经由一些具体的亲身体验或者思维体验，来对勾股定理有一个循序渐进式的深入认识过程，以让勾股定理的出现不再是借鉴他人或者历史的研究成果，而是表现出一种真正的自我探究属性呢？尝试者似乎也不是很多.
而所有的这些问题实际上都是围绕学生的认知逻辑进行的，也就是说，无论是间接的知识学习与建构，还是直接的体验与探究，实际上都是学生认知驱动的结果. 只有建立了这一认识，勾股定理的有效建构才具备“教”这一实施可能.
那么，学生在勾股定理一课的学习中，认知逻辑应遵循什么样的规律呢？笔者根据自身的教学经验做出这样的总结：第一，学生对勾股定理的表达易于接受，一是因为该定理表述的对象及关系十分清楚，二是因为学生对“勾三股四弦五”的记忆有着一种天然的良好记忆. 这似乎意味着3，4，5这三个数字可以成为一个有效的教学切入点. 第二，学生在认识勾股定理的过程中有一个从特殊到一般的过程，也就是说，学生往往对“勾三股四弦五”的认识更为直接和有效. 相对而言，具有一般意义的a2 b2=c2则略显抽象. 这符合初中生的思维特点与认知规律，毕竟从特殊向一般才是教学规律，反之则不符合学生的认知规律. 第三，学生的认知必要的时候应当建立在实践体验的基础之上，这样更容易驱动学生的认知发展.
借助学生的认知逻辑驱动教学
基于以上分析，笔者在“勾股定理”的教学中尝试采取三个步骤，以促进学生对勾股定理的有效构建.
1. 第一步：表象构建
勾股定理讲的是直角三角形边的关系，最终体现为数的关系或者表达式的关系. 作为从特殊到一般的教学顺序，教师应当先让学生基于数的认识来构建三角形. 于是笔者在引入的时候先提出这样一个问题：有这样的连续三个非负整数a，b，c，它们之间正好满足a2 b2=c2，你能算出这三个数分别是多少吗？这个看似与主题无关的问题，实际上很能激发学生的兴趣. 待到学生发现这三个数就是3，4，5之后，笔者继续提问：“在中国很早的时候就有人发现，如果一个三角形的边长刚好是这三个数的话，那这个三角形就是——”提出这个问题时，笔者故意停顿不说出答案，而是让学生去猜想. 这个时候，学生就会借助自己的想象力去构建可能的图形.
在这个过程中，学生的想象开启了认知起点，会将三个特殊的数值与三角形的形状进行联想，这就为直角三角形边的关系奠定了思维基础. 事实上，在此过程中，有不少学生会想到可能是直角三角形，也有学生在课外阅读的时候看到过“勾三股四弦五”的故事，还听说过“三强韩赵魏，九章勾股弦”的趣事，这些均可为构建直角三角形的三边关系表象奠定基础.
2. 第二步：切身体验
随后笔者设计了一个学生体验，让学生用一根事先准备好的用两种颜色间隔开来且间距相等的细线，让学生从上面取十二等份（两头可留一点打结），然后借助刚才的思维去连接成一个三角形，接着观察三角形的形状. 这是一个将刚才构建出来的表象具体化的过程，在这个过程中，学生会通过自己的实践，进一步完善自己的认知，进而让直角三角形及其边的平方关系成为自己认知中更为熟悉的一个组成部分.
3. 第三步：认识定理
有了上面两步的基础，其后的勾股定理的构建关键就在于从特殊到一般，即看似偶然的32 42=52是不是具有一般意义上的a2 b2=c2的含义. 而这也恰恰是笔者起初让学生猜想连续数的平方关系的时候，用a，b，c来表示的原因. 显然，具体的数值表示的是特殊，而符号表示的是一般，这个时候需要的就是严格的数学证明，问题是学生能不能想到这一点呢？当笔者提出“是不是所有的直角三角形都具有这样的关系”时，不同学生的反应显示了其认知特点的不同：有的学生会再根据其他的直角三角形，量出其边长关系，然后判断其是否符合；而还有的学生则是想到用符号表示三角形的边长，尝试用数学证明的方法进行验证. 这说明，不同学生的认知规律不同. 而笔者做的则是根据不同学生的特点，再一次进行几次特殊情形的研究，然后引导他们认识到最有力的证明还是用符号表示边长的一般方法，于是思路就转向教材上的方法. 其后就是同行们相对熟悉的教学过程，此处不再赘述.
这样的三个步骤遵循了学生认知发展的规律与逻辑，对勾股定理的构建过程由浅入深、由特殊到一般、从感性到理性，符合数学知识形成的规律，笔者以为是一个有效的教学过程. 而从学生的理解与应用来看，该教学过程也确实让学生在勾股定理的应用中有相对于以往更为熟练的理解与应用.
认知逻辑决定着认知建构效果
回到文章开头所提的观点，数学知识的构建要么基于知识的发展逻辑，要么基于认知发展逻辑. 显然，后者更具有因材施教的意义. 在教师的教学中，根据自身的教学经验甚至是自己学生时代的学习经验，去判断学生在某个知识学习中可能的想法，是把握学生认知逻辑的关键.
实际上，在“勾股定理”的教学中，另一环节也可以证明基于学生的认知逻辑实施教学是有效的，那就是在得出勾股定理之后，有学生提出：如果一个三角形满足a2 b2=c2，那这个三角形就一定是直角三角形吗？这实际上是一个勾股定理的逆命题的判断问题，这也说明该学生此时思考的已经不是勾股定理成立与否的问题（这意味着学生已经接纳、理解了勾股定理），而是更高层次的问题了. 这一问题的提出，实际上反映的就是学生思维的递进，即这是认知逻辑的一种体现. 而这个问题的解决，同样可以以此时学生的认知为起点，进一步基于学生的认知逻辑去实施教学.
总之，初中数学教学中更有效的教学思路，应当是基于学生的认知逻辑去实施教学. 在此思想引导之下，在尊重教材知识编排的基础上去重构教材，以让教学顺序更好地适应学生的认知需要，就是真正有效的数学教学.