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［摘要］ 在小学数学课堂活动中，要求教师在教学中引导学生建立数学模型，让学生在进行探究性学习的过程中建立数学模型，并不断修正建立的模型使其完善，最终用建立的数学模型去分析、解决生活中的问题.
［关键词］ 引导；探究；修正；应用；数学模型思想
《义务教育数学课程标准》（2011版）明确指出：“在数学教学中应引导学生感悟建模过程，发展模型思想. ”数学模型思想是用数学来讲述现实世界的典型问题，是数学应用的一种表现形式，它构建起了数学与现实世界的桥梁，是建立数学模型并用于解决现实问题的过程. 透过建模活动，学生可以找出隐藏在生活中的数学概念，从而简化错综复杂的实际问题，并把它抽象为合理的数学结构. 客观地说，数学活动如果深入到“模型”“建模”的意义，最终就能成为一种真正的数学学习. 下面，笔者结合人教版五年级下册“分数的基本性质”一课中的几个片段，谈谈如何让学生体验建模过程，感悟数学模型思想.
■ 引模，启动参与活动的动机
数学概念的建立需要表象作为支撑，引导学生从生活情境中抽象出数学问题是数学建模的起点. 在建模活动过程中，教师要善于设计问题情境以引发学生的动机，促进其参与并采取行动. 从实用的角度上分析，数学建模活动发展于真实的生活里，所建构的数学模型不仅要还原问题的真实面貌，同时这样的模式要提供一套解题策略以解决生活中关于数学的问题；从心理的角度来考虑，数学建模活动源自学生实际的生活情境，且贴近学生生活的情境才能激发其内需，使其感兴趣地快速进入活动议题.
［片段一］
课件出示：学校给五年级三个班安排卫生区，辅导员吴老师把操场平均分成4份，五（1）班扫其中的1份；把操场平均分成8份，五（2）班扫其中的2份；把操场平均分成12份，五（3）班扫其中的3份. 这时三个班的同学议论起来了，“不行，我班扫的地方多！”“不公平，扫的地方不一样多！”“嘻嘻，老师向着我们班，我们扫的最少. ”“老师偏心. ”……同学们，你们有什么话想说？
生1：我觉得五（3）班扫的地方多，因为他们班扫了3份.
生2：我觉得不能这样比，三个班虽然扫的份数不一样，但是平均分的份数也不一样.
生3：我认为，五（1）班扫的是操场的1/4，五（2）班扫的是操场的2/8，五（3）班扫的是操场的3/12，我们只要比较这三个分数的大小就可以知道谁的范围大了.
……
师：真棒！同学们能在生活中找到并归纳数学问题，下面我们就来比比这三个分数的大小，验证自己的想法.
在这个片段中，我提供了“学校安排卫生区”的生活情境，并以此为支撑，启动教学，学生解读情境后产生“三个班的范围是不是一样多”的生活问题，再从中提炼并抽象出“只要比较这三个分数的大小就可以了”这个数学问题，达到从生活情境过渡到数学这一目的.
在过去的教学活动中，往往问题用文字形式由教材或教师直接呈现，造成学生搜集、整理信息，发现、提出问题的能力薄弱. 因此，我们要重视学生在复杂的情境中筛选有效信息的能力，让学生从情境所显示的信息中去感知数学结构，并在问题情境中主动测量、察觉、综合其中的数、量、形等数据. 学生在这种现实的、趣味的、开放的问题情境吸引下，主动地去发现问题、提出问题，从而生成完整的数学问题.
■ 探摸，启导构建结构的途径
数学家怀特海对数学模型思想有精辟的概括：“数学是从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行的研究”. 因此，数学建模活动应该是一个主动而个性化的过程，在教学时要善于引导学生自主探究、合作交流，对学习过程、学习材料、学习发现主动归纳、提升，从而建构出数学模型.
［片段二］
师：你可以选择学具包里面的材料（正方形纸、绳子、小棒等），也可以用其他方式、方法，先思考如何验证自己的想法，再小组讨论如何进行操作.
学生思考并小组讨论. （教师参与学生讨论）
师：很好，下面我们一起来动手并用事实验证自己的想法.
学生自主操作后汇报.
生1：我们是用折的办法，即折叠正方形纸并分别用阴影表示1/4，2/8，3/12，结果发现这三个分数大小相等.
生2：我们通过画线段图来说明，即用一条线段代表单位“1”，标示出1/4，2/8，3/12，也发现这三个分数相等.
生3：我们是用摆小棒来演示的，用12根小棒表示单位“1”，摆出这三个分数后，发现它们相等.
生4：我们是用计算的方法，根据刚刚学习的分数与除法的关系，1/4＝1÷4＝0.25，2/8＝2÷8＝0.25，3/12＝3÷12＝0.25，它们的值相等.
……
师：同学们的办法都很好，我们再来看看用正方形阴影部分的大小来比较这三个分数的大小.
师通过课件演示比较三个分数大小的过程.
师：通过刚才的操作，我们发现了这三个分数大小相等. （板书1/4=2/8=3/12）请认真观察，这三个分数的分子、分母是怎样变化的？你发现了什么规律或结论？
（生思考、讨论后汇报）
生1：我是从左向右观察的，我发现分子和分母都同时扩大2倍或3倍，分数的大小不变.
生2：我从右往左看，发现分子和分母同时除以2或3，分数的大小不变.
生3：我觉得和以前学的商不变的规律类似.
师：谁可以综合他们的观点？
生4：我认为用一句话来概括就可以了，即分子和分母乘或除以一个数，分数的大小不变.
在这个片段中，我先让学生明确比较三个分数的大小这个探究要求，并在自主探究过程中让他们充分体验操作实验、观察分析、归纳总结的探究方法；在多种探究策略中重点引导学生通过图形的方式比较三个分数的大小，帮助学生构建分数的基本性质的图形模型；再展示实验结果，然后通过观察和分析三个分数分子与分母的变化规律，结合已有经验，学生初步建构出分数的基本性质的概念模型.
解决问题活动的价值不单是呈现最后的结论，而是在解决实际问题的过程中，学生运用模拟、操作、观察、比较、分析、推演、综合等解决问题的基本策略，突出数形结合、数学模型等数学思想方法，通过学生有效探究“解决问题”的全过程，达到构建数学模型、解决实际问题的实效.
■ 修模，启发调整偏差的思考
得到初步的数学模型后，应该从数学上的分析结果回到实际问题，用实际的现象、数据去比较与检验模型的合理性和适用性，这一步对于建模的成败至关重要. 教师要在教学活动中严肃、认真地对待，引导学生不断地修正数学模型，使其完善.
［片段三］
师：对这位同学的结论，其他同学还有没有话说？
生小声讨论.
生1：我想说，分数的分母不能是0，如果乘或除以0，那这个分数就没意义了，这句话应补充“0除外”.
师：回忆一下商不变的规律，想想还有什么话想说？
生2：还应该加上“同时”两个字，不能一个扩大、一个缩小.
生3：对，还应添上“相同的数”，如果分子乘2，分母乘3，那分数大小就改变了.
师：那现在这句话应怎么说才完整呢？
生4：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变.
师：你们能在草稿本上举几个例子说明吗？
生在本上举例并互相验证.
师：我们就把今天发现的这个规律叫做分数的基本性质.
学生在探究中得到的初步结论或不完整，或不准确，我在教学活动中进一步组织学生讨论，引导学生反思总结，不断修正完善，最终得到分数的基本性质这一概念模型.
教材文本中往往提供了经过加工的合理素材，缺乏检验的必要性. 但结合实际来检验结果，也是教学时容易忽视的地方. 所以教师在教学中要结合实际，将得到的数学结果放到实际情境中去检验，通过修改、补充、假设等重新建模，直到检验结果获得满意.
■ 用模，启诱回归应用的归宿
数学模型一旦建立，就应该对其进行合理的释义与运用，才能使数学模型具有生命活力. 学生用数学模型来解答实际问题，从中体会数学模型的实际功效，体验知识的应用价值，才是我们建立数学模型的初衷.
［片段四］
师：请同学们说说自己根据分数的基本性质举的例子.
学生展示自己所举的分数相等的例子，并用分数的基本性质说明自己的思路.
师出示：我班2/5的人参加了数学兴趣小组，4/10的人参加了作文兴趣小组，哪个小组人数多？
生思考后回答并说明理由.
师：请写出和4/6相等的分数，比比看谁写得多.
生写分数后汇报.
……
学生明白了问题、抽象出了概念，并不等于掌握得牢固、理解得深刻，还须有一个知识的内化过程. 教师应通过多形式的训练促使学生对数学知识掌握的进一步飞跃，并在实际生活中发展数学知识和能力，在实际运用知识的过程中认识新问题、融合新知识、构建自己的知识结构体系，促使学生的能力在认识数学概念过程中得到发展.
数学模型的建立不是最终目的，而是让学生形成数学技能，建立思维方法，反过来去解决问题，理解并形成数学化的思想才是根本目的. 学生感悟模型思想要经过一个长期的过程，这就要求教师要精心设计教学活动，在教学活动中把数学的构建过程展示给学生，让学生体验数学模型的形成过程和作用，把数学建模思想落实到数学课堂教学中.
［关键词］ 引导；探究；修正；应用；数学模型思想
《义务教育数学课程标准》（2011版）明确指出：“在数学教学中应引导学生感悟建模过程，发展模型思想. ”数学模型思想是用数学来讲述现实世界的典型问题，是数学应用的一种表现形式，它构建起了数学与现实世界的桥梁，是建立数学模型并用于解决现实问题的过程. 透过建模活动，学生可以找出隐藏在生活中的数学概念，从而简化错综复杂的实际问题，并把它抽象为合理的数学结构. 客观地说，数学活动如果深入到“模型”“建模”的意义，最终就能成为一种真正的数学学习. 下面，笔者结合人教版五年级下册“分数的基本性质”一课中的几个片段，谈谈如何让学生体验建模过程，感悟数学模型思想.
■ 引模，启动参与活动的动机
数学概念的建立需要表象作为支撑，引导学生从生活情境中抽象出数学问题是数学建模的起点. 在建模活动过程中，教师要善于设计问题情境以引发学生的动机，促进其参与并采取行动. 从实用的角度上分析，数学建模活动发展于真实的生活里，所建构的数学模型不仅要还原问题的真实面貌，同时这样的模式要提供一套解题策略以解决生活中关于数学的问题；从心理的角度来考虑，数学建模活动源自学生实际的生活情境，且贴近学生生活的情境才能激发其内需，使其感兴趣地快速进入活动议题.
［片段一］
课件出示：学校给五年级三个班安排卫生区，辅导员吴老师把操场平均分成4份，五（1）班扫其中的1份；把操场平均分成8份，五（2）班扫其中的2份；把操场平均分成12份，五（3）班扫其中的3份. 这时三个班的同学议论起来了，“不行，我班扫的地方多！”“不公平，扫的地方不一样多！”“嘻嘻，老师向着我们班，我们扫的最少. ”“老师偏心. ”……同学们，你们有什么话想说？
生1：我觉得五（3）班扫的地方多，因为他们班扫了3份.
生2：我觉得不能这样比，三个班虽然扫的份数不一样，但是平均分的份数也不一样.
生3：我认为，五（1）班扫的是操场的1/4，五（2）班扫的是操场的2/8，五（3）班扫的是操场的3/12，我们只要比较这三个分数的大小就可以知道谁的范围大了.
……
师：真棒！同学们能在生活中找到并归纳数学问题，下面我们就来比比这三个分数的大小，验证自己的想法.
在这个片段中，我提供了“学校安排卫生区”的生活情境，并以此为支撑，启动教学，学生解读情境后产生“三个班的范围是不是一样多”的生活问题，再从中提炼并抽象出“只要比较这三个分数的大小就可以了”这个数学问题，达到从生活情境过渡到数学这一目的.
在过去的教学活动中，往往问题用文字形式由教材或教师直接呈现，造成学生搜集、整理信息，发现、提出问题的能力薄弱. 因此，我们要重视学生在复杂的情境中筛选有效信息的能力，让学生从情境所显示的信息中去感知数学结构，并在问题情境中主动测量、察觉、综合其中的数、量、形等数据. 学生在这种现实的、趣味的、开放的问题情境吸引下，主动地去发现问题、提出问题，从而生成完整的数学问题.
■ 探摸，启导构建结构的途径
数学家怀特海对数学模型思想有精辟的概括：“数学是从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行的研究”. 因此，数学建模活动应该是一个主动而个性化的过程，在教学时要善于引导学生自主探究、合作交流，对学习过程、学习材料、学习发现主动归纳、提升，从而建构出数学模型.
［片段二］
师：你可以选择学具包里面的材料（正方形纸、绳子、小棒等），也可以用其他方式、方法，先思考如何验证自己的想法，再小组讨论如何进行操作.
学生思考并小组讨论. （教师参与学生讨论）
师：很好，下面我们一起来动手并用事实验证自己的想法.
学生自主操作后汇报.
生1：我们是用折的办法，即折叠正方形纸并分别用阴影表示1/4，2/8，3/12，结果发现这三个分数大小相等.
生2：我们通过画线段图来说明，即用一条线段代表单位“1”，标示出1/4，2/8，3/12，也发现这三个分数相等.
生3：我们是用摆小棒来演示的，用12根小棒表示单位“1”，摆出这三个分数后，发现它们相等.
生4：我们是用计算的方法，根据刚刚学习的分数与除法的关系，1/4＝1÷4＝0.25，2/8＝2÷8＝0.25，3/12＝3÷12＝0.25，它们的值相等.
……
师：同学们的办法都很好，我们再来看看用正方形阴影部分的大小来比较这三个分数的大小.
师通过课件演示比较三个分数大小的过程.
师：通过刚才的操作，我们发现了这三个分数大小相等. （板书1/4=2/8=3/12）请认真观察，这三个分数的分子、分母是怎样变化的？你发现了什么规律或结论？
（生思考、讨论后汇报）
生1：我是从左向右观察的，我发现分子和分母都同时扩大2倍或3倍，分数的大小不变.
生2：我从右往左看，发现分子和分母同时除以2或3，分数的大小不变.
生3：我觉得和以前学的商不变的规律类似.
师：谁可以综合他们的观点？
生4：我认为用一句话来概括就可以了，即分子和分母乘或除以一个数，分数的大小不变.
在这个片段中，我先让学生明确比较三个分数的大小这个探究要求，并在自主探究过程中让他们充分体验操作实验、观察分析、归纳总结的探究方法；在多种探究策略中重点引导学生通过图形的方式比较三个分数的大小，帮助学生构建分数的基本性质的图形模型；再展示实验结果，然后通过观察和分析三个分数分子与分母的变化规律，结合已有经验，学生初步建构出分数的基本性质的概念模型.
解决问题活动的价值不单是呈现最后的结论，而是在解决实际问题的过程中，学生运用模拟、操作、观察、比较、分析、推演、综合等解决问题的基本策略，突出数形结合、数学模型等数学思想方法，通过学生有效探究“解决问题”的全过程，达到构建数学模型、解决实际问题的实效.
■ 修模，启发调整偏差的思考
得到初步的数学模型后，应该从数学上的分析结果回到实际问题，用实际的现象、数据去比较与检验模型的合理性和适用性，这一步对于建模的成败至关重要. 教师要在教学活动中严肃、认真地对待，引导学生不断地修正数学模型，使其完善.
［片段三］
师：对这位同学的结论，其他同学还有没有话说？
生小声讨论.
生1：我想说，分数的分母不能是0，如果乘或除以0，那这个分数就没意义了，这句话应补充“0除外”.
师：回忆一下商不变的规律，想想还有什么话想说？
生2：还应该加上“同时”两个字，不能一个扩大、一个缩小.
生3：对，还应添上“相同的数”，如果分子乘2，分母乘3，那分数大小就改变了.
师：那现在这句话应怎么说才完整呢？
生4：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变.
师：你们能在草稿本上举几个例子说明吗？
生在本上举例并互相验证.
师：我们就把今天发现的这个规律叫做分数的基本性质.
学生在探究中得到的初步结论或不完整，或不准确，我在教学活动中进一步组织学生讨论，引导学生反思总结，不断修正完善，最终得到分数的基本性质这一概念模型.
教材文本中往往提供了经过加工的合理素材，缺乏检验的必要性. 但结合实际来检验结果，也是教学时容易忽视的地方. 所以教师在教学中要结合实际，将得到的数学结果放到实际情境中去检验，通过修改、补充、假设等重新建模，直到检验结果获得满意.
■ 用模，启诱回归应用的归宿
数学模型一旦建立，就应该对其进行合理的释义与运用，才能使数学模型具有生命活力. 学生用数学模型来解答实际问题，从中体会数学模型的实际功效，体验知识的应用价值，才是我们建立数学模型的初衷.
［片段四］
师：请同学们说说自己根据分数的基本性质举的例子.
学生展示自己所举的分数相等的例子，并用分数的基本性质说明自己的思路.
师出示：我班2/5的人参加了数学兴趣小组，4/10的人参加了作文兴趣小组，哪个小组人数多？
生思考后回答并说明理由.
师：请写出和4/6相等的分数，比比看谁写得多.
生写分数后汇报.
……
学生明白了问题、抽象出了概念，并不等于掌握得牢固、理解得深刻，还须有一个知识的内化过程. 教师应通过多形式的训练促使学生对数学知识掌握的进一步飞跃，并在实际生活中发展数学知识和能力，在实际运用知识的过程中认识新问题、融合新知识、构建自己的知识结构体系，促使学生的能力在认识数学概念过程中得到发展.
数学模型的建立不是最终目的，而是让学生形成数学技能，建立思维方法，反过来去解决问题，理解并形成数学化的思想才是根本目的. 学生感悟模型思想要经过一个长期的过程，这就要求教师要精心设计教学活动，在教学活动中把数学的构建过程展示给学生，让学生体验数学模型的形成过程和作用，把数学建模思想落实到数学课堂教学中.