论文部分内容阅读
方法是效率,方法是途径。我们生活中无论做什么事都要有方法。只有讲究方法,才是做好一件事的关键。选择合适的解决方法,往往能起到事半功倍的效果。
一、数学思想和数学方法
通常情况下,数学方法是为解决问题而采用的手段、步骤和程序,它是一种过程性认识。而数学思想则是数学的基本观点,是对数学的概念、原理、方法、发现法则的本质认识。对于问题,数学思想就是策略,它能沟通问题与知识、方法间的联系。因为数学思想常表现为数学方法的形式所以通常把二者统称为“数学思想方法”。数学思想是概括和提炼。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的思想学科的精髓,是将数学知识转化为数学能力的桥梁。初中数学思想方法教育是培养和提高学生素质的重要内容。新的《课程标准》突出强调:“在教学中,应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律”。因此开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的数学要求。具体实施办法是以数学知识为载体,将数学思想方法有机地渗透入教学计划和教学要求中。
教学计划的制定应体现数学思想方法的综合考虑,要明确每一阶段的载体内容,教学目标展开步骤、教学程序和操作要点。
二、数学思想方法之函数与方程思想及应用举例
1.函数思想
函数思想是把问题中的量化为变量和常量,并把这些量用字母(习惯用x,y)表示,把量与量的关系抽象概括为函数模型,用运动、变化和对应的观点通过对函数模型的研究利用函数的性质,使问题获得解决。
函数是近代数学最重要的概念之一。它是量的侧面反映着现实世界中运动、变化及相互联系、相互制约的关系,在初中阶段,能利用解析式表示正、反比例函数、二次函数。在日常生活中,还存在着函数关系,它们多数用图像表示的。
例:有一个附有出入管的容器,每单位时间内,进出的水量都是一定的,设从某时刻开始的4分钟内只进水不出水,在随后的8分钟既进水又出水,得出时间x(分)与水量y(升)之间的关系,如图:
(1)每分钟进水多少升?
(2)当4≤x≤12时,x与y有何关系?
(3)若12分钟后只放水不进水,求y与x的不等式。
解:(1)由图可知:前4分钟进水20升,故每分钟进水5升。
(2)当4≤x≤12时函数图像是直线段,它通过点(4,20)和(12,30)把两点坐标代入y=kx b可求得x,y的关系式:y=1.25x 15 (4≤x≤12)。
(3)当x=5时,y=1.25×5 15= 21.25从x=4到x=5,y增加1.25,故每分钟出水5-1.25=3.75升。因此到第13分钟,容器内的水量为30-3.75=26.25升,即当x≥12时,直线过点 (12,30)和(13,26.25)代入y=kx b可得y=-3.75 75(x≥12)。
分析:本例要求根据所给图像(折线),从中发现变量与不变量,变量与常量的关系。进而建立适合题意的一次函数关系式,将实际问题转化为熟悉的一次函数。
2.方程思想
方程思想是把问题中的量划分为已知量和未知量,并把这些量用字母表示(习惯上用x表示未知量),将问题中的条件,量与量的关系列为方程或者不等式通过解方程或不等式,或利用不等式的性质,使问题得到解决。
在方程问题中,行程是一类较复杂的问题,但无论多么复杂,只要涉及到路程、速度和时间的应用题,都属于行程问题,都应适合等量关系式:路程=速度×时间。
同时还有:时间=路程÷速度;速度=路程÷时间。
当然行程问题还包括更复杂的相遇问题、追及问题、水路问题、和环路问题等。
3.函数与方程相互转化思想
函数与方程相互转化思想是用变量相对的观点,将方程、不等式转化为函数问题,利用函数性质来解决。或将函数转化为方程问题,利用方程或方程性质来解决。
(1)把函数问题转化为方程或不等式问题
把函数关系式看作等式(含未知数)来解决。其实将函数问题转化为方程问题或不等式,就是把变量转化为未知量。
(2)把方程转化为函数问题
在等值变形中,使用换元法的关键是确定合适的辅助元。一般确定辅助元时,可考虑以下几个方面:若代数式是由几个式子重复出现构成的,可把重复出现的式子定为辅助元。若代数式各部分之间存在着特殊的运算关系可将其中一部分定为辅助元,其余部分借助辅助元表示出来,使问题得到解决,做某些等式变形时可通过换元法把等值变形化为同解变形问题,也可把整个式子定为辅助元。借助方程或方程组的性质使问题得到解决。
在方程中,使用换元法,将高次方程化为低次方程,复杂方程化为简单方程,便可求解。
例:解方程(x2 3x 4)(x2 3x 5)=6
解:令x2 3x=y,则方程可变为
(y 4)(y 5)=6
y2 9y 14=0
解得:y1=-2,y2=-7
当y1=-2时,x2 3x=-2,解得x1=-1,x2=-2。
当y2=-7时,x2 3x=-7,此方程无解。
∴原方程的解为x1=-1,x2=-2。
从以上内容可知,函数与方程问题是非常方便快捷的,那么怎样才能把生活中的实际问题转化为函数和方程的模型,要构建函数与方程的模型,就必须先攻克函数与方程思想的难点:即构造“函数与方程”。(构造辅助函数法、构造辅助方程法、函数与方程互化法)
数学思想方法的渗透应根据教学计划有步骤地进行。一般地,在知识的概念形成阶段导入概念型数学思想。如方程思想、相似思想、已知与未知相互转化思想、特殊与一般相互转化思想等。在知识的结论、公式、法则等规律的推导阶段,要强调和灌输思想方法。如解方程的如何消元、降次;函数的数型转化;判定两个三角形相似有哪些常用思路;证明两直线平行有哪些方法等。在所学数学构建及问题的处理方面,注意体现其根本思想。如何运用同解原理解一元一次方程,应注意为简便而采用的移项法则等。
总之,数学思想方法的渗透应体现在教学计划中,体现在教学内容之中,体现在数学教学的全过程之中。
(作者单位:安徽省长丰县罗塘中学)
一、数学思想和数学方法
通常情况下,数学方法是为解决问题而采用的手段、步骤和程序,它是一种过程性认识。而数学思想则是数学的基本观点,是对数学的概念、原理、方法、发现法则的本质认识。对于问题,数学思想就是策略,它能沟通问题与知识、方法间的联系。因为数学思想常表现为数学方法的形式所以通常把二者统称为“数学思想方法”。数学思想是概括和提炼。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的思想学科的精髓,是将数学知识转化为数学能力的桥梁。初中数学思想方法教育是培养和提高学生素质的重要内容。新的《课程标准》突出强调:“在教学中,应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律”。因此开展数学思想方法教育应作为新课改中所必须把握的数学要求。具体实施办法是以数学知识为载体,将数学思想方法有机地渗透入教学计划和教学要求中。
教学计划的制定应体现数学思想方法的综合考虑,要明确每一阶段的载体内容,教学目标展开步骤、教学程序和操作要点。
二、数学思想方法之函数与方程思想及应用举例
1.函数思想
函数思想是把问题中的量化为变量和常量,并把这些量用字母(习惯用x,y)表示,把量与量的关系抽象概括为函数模型,用运动、变化和对应的观点通过对函数模型的研究利用函数的性质,使问题获得解决。
函数是近代数学最重要的概念之一。它是量的侧面反映着现实世界中运动、变化及相互联系、相互制约的关系,在初中阶段,能利用解析式表示正、反比例函数、二次函数。在日常生活中,还存在着函数关系,它们多数用图像表示的。
例:有一个附有出入管的容器,每单位时间内,进出的水量都是一定的,设从某时刻开始的4分钟内只进水不出水,在随后的8分钟既进水又出水,得出时间x(分)与水量y(升)之间的关系,如图:
(1)每分钟进水多少升?
(2)当4≤x≤12时,x与y有何关系?
(3)若12分钟后只放水不进水,求y与x的不等式。
解:(1)由图可知:前4分钟进水20升,故每分钟进水5升。
(2)当4≤x≤12时函数图像是直线段,它通过点(4,20)和(12,30)把两点坐标代入y=kx b可求得x,y的关系式:y=1.25x 15 (4≤x≤12)。
(3)当x=5时,y=1.25×5 15= 21.25从x=4到x=5,y增加1.25,故每分钟出水5-1.25=3.75升。因此到第13分钟,容器内的水量为30-3.75=26.25升,即当x≥12时,直线过点 (12,30)和(13,26.25)代入y=kx b可得y=-3.75 75(x≥12)。
分析:本例要求根据所给图像(折线),从中发现变量与不变量,变量与常量的关系。进而建立适合题意的一次函数关系式,将实际问题转化为熟悉的一次函数。
2.方程思想
方程思想是把问题中的量划分为已知量和未知量,并把这些量用字母表示(习惯上用x表示未知量),将问题中的条件,量与量的关系列为方程或者不等式通过解方程或不等式,或利用不等式的性质,使问题得到解决。
在方程问题中,行程是一类较复杂的问题,但无论多么复杂,只要涉及到路程、速度和时间的应用题,都属于行程问题,都应适合等量关系式:路程=速度×时间。
同时还有:时间=路程÷速度;速度=路程÷时间。
当然行程问题还包括更复杂的相遇问题、追及问题、水路问题、和环路问题等。
3.函数与方程相互转化思想
函数与方程相互转化思想是用变量相对的观点,将方程、不等式转化为函数问题,利用函数性质来解决。或将函数转化为方程问题,利用方程或方程性质来解决。
(1)把函数问题转化为方程或不等式问题
把函数关系式看作等式(含未知数)来解决。其实将函数问题转化为方程问题或不等式,就是把变量转化为未知量。
(2)把方程转化为函数问题
在等值变形中,使用换元法的关键是确定合适的辅助元。一般确定辅助元时,可考虑以下几个方面:若代数式是由几个式子重复出现构成的,可把重复出现的式子定为辅助元。若代数式各部分之间存在着特殊的运算关系可将其中一部分定为辅助元,其余部分借助辅助元表示出来,使问题得到解决,做某些等式变形时可通过换元法把等值变形化为同解变形问题,也可把整个式子定为辅助元。借助方程或方程组的性质使问题得到解决。
在方程中,使用换元法,将高次方程化为低次方程,复杂方程化为简单方程,便可求解。
例:解方程(x2 3x 4)(x2 3x 5)=6
解:令x2 3x=y,则方程可变为
(y 4)(y 5)=6
y2 9y 14=0
解得:y1=-2,y2=-7
当y1=-2时,x2 3x=-2,解得x1=-1,x2=-2。
当y2=-7时,x2 3x=-7,此方程无解。
∴原方程的解为x1=-1,x2=-2。
从以上内容可知,函数与方程问题是非常方便快捷的,那么怎样才能把生活中的实际问题转化为函数和方程的模型,要构建函数与方程的模型,就必须先攻克函数与方程思想的难点:即构造“函数与方程”。(构造辅助函数法、构造辅助方程法、函数与方程互化法)
数学思想方法的渗透应根据教学计划有步骤地进行。一般地,在知识的概念形成阶段导入概念型数学思想。如方程思想、相似思想、已知与未知相互转化思想、特殊与一般相互转化思想等。在知识的结论、公式、法则等规律的推导阶段,要强调和灌输思想方法。如解方程的如何消元、降次;函数的数型转化;判定两个三角形相似有哪些常用思路;证明两直线平行有哪些方法等。在所学数学构建及问题的处理方面,注意体现其根本思想。如何运用同解原理解一元一次方程,应注意为简便而采用的移项法则等。
总之,数学思想方法的渗透应体现在教学计划中,体现在教学内容之中,体现在数学教学的全过程之中。
(作者单位:安徽省长丰县罗塘中学)