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数学来源于生活,又应用于生活.关注社会、关注民生是新课标的要求,也是时代的呼唤.下面就与集合、简易逻辑和不等式有关的社会热点问题和大家作个交流,以期大家培养数学眼光观察社会生活,进而利用数学为社会服务,进一步提高数学应用能力.
一、 土地资源不再生,计划使用要珍惜
最近十几年,我国由于房地产开发、生产建设用地需求量大,另一方面人口基数大,种粮用地不能少.为此国家划定种粮用地红线.要解决发展和吃饭的矛盾,必须有计划的用地.
【例一】 某地现有耕地10 000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食产量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)？
粮食单产=总产量耕地面积,人均粮食产量=总产量总人口数
分析 此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景,要求从两条线索中抽象有关数学模型,然后进行比较和决策.
解法一 问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食产量、总人口数及三个百分率,其中人均粮食产量=粮食单产×耕地面积总人口数.
设耕地面积平均每年至多只能减少x公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨/公顷.现在人口数为P,则现在人均粮食产量为M×104P,10年后粮食单产为M(1+0.22),人口数为P(1+0.01)10,耕地面积为(104-10x)
依题意得不等式
M×(1+22%)×(104-10x)P×(1+1%)10≥M×104P×(1+10%)
化简得
x≤103×1-1.1×(1+0.01)101.22
=103-1.1×103×(1+0.01)101.22
∵(1+0.01)10≈1.104 6,
∴x≤103-995,9≈4(公顷)
答 按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．
点评 本题主要抓住各量之间的关系,注重三个百分率.其中耕地面积为等差数列,总人口数为等比数列,问题用不等式模型求解.在解答应用问题时,强调“评价”这一步不可少.它是解题者的自我调节,比如本题求解过程中若令1.0110≈1,算得结果为x≤98公顷,自然会问：耕地减少这么多,符合国家保护耕地的政策吗？于是进行调整,检查发现是错在1.0110的近视计算上.原题中没有提供(1+0.01)10≈1.104 6,这就需要学生运用二项式定理根据精确度要求取近似值.
二、 关注民生需“保障”,和谐发展求“经适”
房地产市场的健康发展关系的国家的长治久安.针对居高不下的房价,国务院出台了多项抑制房价的措施,其中要求各级地方政府必须保证一定比例的“经济适用房”和“安居保障房”的建设.
【例二】 假设某市2008年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1) 该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
解析 (1) 设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,
则Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10．
到2017年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．
(2) 设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=108,
则bn=400•(108)n-1•085．
由题意可知an>085 bn,
有250+(n-1)•50>400•(108)n-1•085．
由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6．
到2013年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．
点评 本题是关于住房面积问题,其中新建住房面积包括中低价房与非中低价房,“增长8%”与“增加50万平方米”意味着新建住房面积成等比数列,中低价房面积成等差数列.本题实质上是关于等差数列与等比数列的通项与求和问题,其中涉及到解不等式和不等式的估算.
三、 食品安全大如天,配置合理最优化
儿童是祖国的未来.三聚氰胺事件牵动着每一个人的心,儿童的食品安全尤其重要,为了使儿童能够健康成长,必须合理配置,选择最优化方案.
【例三】 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是25元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
解析 设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐,共花费元,则.
经试验发现,当x=4,y=3时,花费最少,为z=25×4+4×3=22元．
答 应当为该儿童分别预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐,总花费22元.
点评 本题实质是上利用线性规划解决最优化问题.
方法归纳 不等式的实际应用问题有两种形式的解答方式,一种是比较大小(处理问题的优劣、决策利弊的比较等)；另一种是求目标函数的最大、最小值(探求投资利润的最大、解决问题的费用最小等).无论哪种形式的应用问题,最后必须正确写出答案,回答实际问题.
解答不等式的应用问题,一般可分为如下四步：
(1) 阅读理解题意：通过阅读理解题意,领悟问题的实际背景,确定量与量之间的关系,初步形成用怎样的数学模型能够解决问题的思路,明确解题方向；
(2) 建立数学模型：根据(1)的分析,把实际问题抽象成数学模型,并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系,以便确立下一步的解题方向；
(3) 讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型2题目要求,讨论与结论有关的不等关系,得到有关理论参数的值；
(4) 作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值结合题目的具体要求作出问题的结论.
一、 土地资源不再生,计划使用要珍惜
最近十几年,我国由于房地产开发、生产建设用地需求量大,另一方面人口基数大,种粮用地不能少.为此国家划定种粮用地红线.要解决发展和吃饭的矛盾,必须有计划的用地.
【例一】 某地现有耕地10 000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食产量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)？
粮食单产=总产量耕地面积,人均粮食产量=总产量总人口数
分析 此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景,要求从两条线索中抽象有关数学模型,然后进行比较和决策.
解法一 问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食产量、总人口数及三个百分率,其中人均粮食产量=粮食单产×耕地面积总人口数.
设耕地面积平均每年至多只能减少x公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨/公顷.现在人口数为P,则现在人均粮食产量为M×104P,10年后粮食单产为M(1+0.22),人口数为P(1+0.01)10,耕地面积为(104-10x)
依题意得不等式
M×(1+22%)×(104-10x)P×(1+1%)10≥M×104P×(1+10%)
化简得
x≤103×1-1.1×(1+0.01)101.22
=103-1.1×103×(1+0.01)101.22
∵(1+0.01)10≈1.104 6,
∴x≤103-995,9≈4(公顷)
答 按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．
点评 本题主要抓住各量之间的关系,注重三个百分率.其中耕地面积为等差数列,总人口数为等比数列,问题用不等式模型求解.在解答应用问题时,强调“评价”这一步不可少.它是解题者的自我调节,比如本题求解过程中若令1.0110≈1,算得结果为x≤98公顷,自然会问：耕地减少这么多,符合国家保护耕地的政策吗？于是进行调整,检查发现是错在1.0110的近视计算上.原题中没有提供(1+0.01)10≈1.104 6,这就需要学生运用二项式定理根据精确度要求取近似值.
二、 关注民生需“保障”,和谐发展求“经适”
房地产市场的健康发展关系的国家的长治久安.针对居高不下的房价,国务院出台了多项抑制房价的措施,其中要求各级地方政府必须保证一定比例的“经济适用房”和“安居保障房”的建设.
【例二】 假设某市2008年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1) 该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2) 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
解析 (1) 设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,
则Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10．
到2017年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．
(2) 设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=108,
则bn=400•(108)n-1•085．
由题意可知an>085 bn,
有250+(n-1)•50>400•(108)n-1•085．
由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6．
到2013年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．
点评 本题是关于住房面积问题,其中新建住房面积包括中低价房与非中低价房,“增长8%”与“增加50万平方米”意味着新建住房面积成等比数列,中低价房面积成等差数列.本题实质上是关于等差数列与等比数列的通项与求和问题,其中涉及到解不等式和不等式的估算.
三、 食品安全大如天,配置合理最优化
儿童是祖国的未来.三聚氰胺事件牵动着每一个人的心,儿童的食品安全尤其重要,为了使儿童能够健康成长,必须合理配置,选择最优化方案.
【例三】 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是25元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
解析 设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐,共花费元,则.
经试验发现,当x=4,y=3时,花费最少,为z=25×4+4×3=22元．
答 应当为该儿童分别预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐,总花费22元.
点评 本题实质是上利用线性规划解决最优化问题.
方法归纳 不等式的实际应用问题有两种形式的解答方式,一种是比较大小(处理问题的优劣、决策利弊的比较等)；另一种是求目标函数的最大、最小值(探求投资利润的最大、解决问题的费用最小等).无论哪种形式的应用问题,最后必须正确写出答案,回答实际问题.
解答不等式的应用问题,一般可分为如下四步：
(1) 阅读理解题意：通过阅读理解题意,领悟问题的实际背景,确定量与量之间的关系,初步形成用怎样的数学模型能够解决问题的思路,明确解题方向；
(2) 建立数学模型：根据(1)的分析,把实际问题抽象成数学模型,并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系,以便确立下一步的解题方向；
(3) 讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型2题目要求,讨论与结论有关的不等关系,得到有关理论参数的值；
(4) 作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值结合题目的具体要求作出问题的结论.