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在有关不等式的高考试题中,求在某等式条件约束下的最值(简称条件最值)问题出现的频率很高.当已知不等式是二次时,一般难度比较大．
【例题】 已知x、y∈R,x2+y2-3xy=2,求x2+y2的最值．
分析 如果把条件x2+y2-3xy=2看成是关于x的一元二次方程x2-3xy+y2-2=0,则判别式Δ=9y2-4(y2-2)=5 y2+8>0恒成立,说明不论y取何实数,方程x2-3xy+y2-2=0都有实数解,即任给一个实数y,都有实数x满足条件.当y→∞,x2+y2→+∞,所以x2+y2无最大值.下面就x2+y2的最小值展开讨论．
解法一 基本不等式法
∵x2+y2≥2|xy|,
∴-( x2+y2)≤2xy≤x2+y2,
∴-( x2+y2)≤-2xy≤x2+y2,
∴-32( x2+y2)≤-3xy≤32(x2+y2),
∴-12(x2+y2) ≤x2+y2-3xy
≤52(x2+y2),而由已知x2+y2-3xy=2,
∴52(x2+y2)≥2,
∴x2+y2≥45,即x2+y2的最小值为45,
当且仅当|x|=|y|,即x=-105,
y=105.或x=105,
y=-105.时取等号．
点评 本解法主要是基本不等式x2+y2≥2xy的灵活运用,因为此题要求的是x2+y2的最值,所以解法的关键是利用该不等式把已知条件中的xy转化为x2+y2,如果题目改为求xy的最值,则应把已知条件中的x2+y2转化为xy,即2=x2+y2-3xy≥2xy-3xy=-xy，∴xy≥-2,
当且仅当|x|=|y|,即x=-105,
y=105.或x=105,
y=-105.时取等号．
所以xy的最小值为-2.这样的解法计算量小,学生容易接受,思路自然简捷,思维量也不大．
解法二 三角换元法
∵x2+y2-3xy=2,
∴x-32y22-522y2=1.
令x-32y2=1cos θ,
522y=tan θ.(θ∈R且θ≠kπ+π2,k∈Z),
得x=235tan θ+1cos θ,
y=225tan θ.
∴x2+y2=295•sin2θcos2θ+65•sin θcos2θ+1cos2θ+45sin2θcos2θ
=2•13sin2θ+65sin θ+55cos2θ
=25•-131-sin2θ+65sin θ+181-sin2θ
=-265+25•65sin θ+31-sin2θ.
设5sin θ+3=t,则3-5≤t<3+5,
sin θ=t-35,
∴x2+y2=-265+125•t1-t2-6t+95
=-265+12•t-t2-4+6t
=-265+12•16-t+4t
≥-265+12•16-24=45.
∴x2+y2min=45.当且仅当t=2∈3-5,3+5时取等号.
点评 此法的运算量虽然很大,但具有一般性,应用了双曲线的参数方程.如果在此条件下求x+y、x-y、xy等的最值都很方便.另外,如果条件变为x2+y2-xy=2等形式,求xy的最值,即已知条件是椭圆方程,利用椭圆的参数方程,解决起问题来就更方便．
读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师。—拉普拉斯
解法三 几何法
设x2+y2=x′,2xy=y′.
∵x2+y2≥2xy,
∴x′≥y′.
∴满足题设的线性约束条件为
x′-32y′=2,
x′≥y′,
x′≥0.
目标函数为z=x′.
如图所示,它的可行域为以A点为端点的向右上方的射线.
由x′-32y′=2,
x′=-y′.得A点坐标为
45,-45,即x′≥45,
∴z即x′的最小值为45,无最大值.
点评 此法把一个较复杂的求最值问题转化为了一个很简单的线性规划问题,非常巧妙,把一个代数问题转化为了一个解析几何问题,即将“数”的问题转化为了“形”的问题,简单、明了．
解法四 求导数法
令t=x2+y2.
对已知的条件x2+y2-3xy=2两边求关于x的导数得
2x+2yy′-3y-3xy′=0,
∴y′=2x-3y3x-2y.
∴t′x=2x+2yy′=2x+2y•2x-3y3x-2y
=6x2-y23x-2y=6(x+y)(x-y)3x-2y.
令t′x=0,得x+y=0或x-y=0.
当x-y=0时,条件x2+y2-3xy=2不成立.
当x+y=0时,代入条件x2+y2-3xy=2,
得x=105,
y=-105.或x=-105,
y=105.
记由x2+y2-3xy=2
t=x2+y2所确定的函数为t=f(x),
则f′(x)=6(x+y)(x-y)3x-2y.
当函数t=f(x)图像上的点在点105,-105附近变动时,x>0,y<0,
∴3x-2y>0,x-y>0.
由x2+y2-3xy=2,
得(x+y)2=5xy+2≥0,
∴xy≥-25.
若x>105,则-25≤xy≤105y,
∴y>-105,∴x+y>0,
∴f′(x)>0.
同理,当x<105时,f′(x)<0.
∴x=105是函数t=f(x)的极小值点.
同理,当x=-105时,也是函数t=f(x)的极小值点,而两个极小值相同.
∴tmin=f±105=±1052+1052=45.
点评 此方法仍然利用了一元函数求最值的导数法,不需要过多的高等数学的知识.对于用到的隐函数求导方法,成绩较好的同学是容易接受的．
牛刀小试
1. 不等式x-3x-2≤0的解集为A,不等式(x2+1)(x-a)>0的解集为B,若A∈B,则a的取值范围是．
2. 已知集合A=x|x2-5x+6≤0,集合B=x||2x-1|>3,则集合A∩B=．
3. 已知x>0,y>0,2x+1y=1,若x+2y>m2+2m 恒成立.则实数m的取值范围是 ．
4. 关于x的方程9x+(a+4)3x+4=0有解,则实数a的取值范围是．
5. 已知x∈R,二次函数f(x)=ax2+bx+c恒为非负实数,若a 6. 若食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元．
(1) 求该厂每隔多少天购买一次面粉,才能使平均每天支付的总费用最少？
(2) 某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时,其价格可享受9折优惠,问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．
【参考答案】
1. a≤2
2. x|2 3. （-4,2）
4. a≤-8
5. 由题意得b>a>0且Δ=b2-4ac≤0,即c≥b24a.
令M=a+b+cb-a≥a+b+b24ab-a=1+ba+b24a2ba-1.
设ba=t,t>1
则M=1+t+t24t-1=t-14+94(t-1)+32
≥2t-14.94(t-1)+32=3．
当且仅当t=4,即b=4a时取等号．
6. (1) 设该厂应每隔x天购买一次面粉,则其采购量为6x吨,由题意可知,面粉的保管等其他费用3［6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1］=9x(x+1),设平均每天所支付的总费用为y1元,则
y1=9x(x+1)+900x+1 800×6=900x+9x+10 809≥2900x.9x+10 809=10 989,当且仅当9x=900x,即x=10时取等号．
故该厂每隔10天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少．
(2) 因为不少于210吨,每天用面粉6吨,所以至少间隔35天购买面粉一次.设该厂利用此优惠条件后,每隔x(x≥35)天购买一次面粉,平均每天支付的总费用为y2元,则
y2=1x9x(x+1)+900+6×1 800×0.90=900x+9x+9729(x≥35),
令f(x)=x+100x(x≥35),设x2>x1≥35,
则f(x1)-f(x2)=x1+100x1-x2+100x2
=(x2-x1)(100-x1x2)x1x2．
∵x2>x1≥35,∴x2-x1>0,x1x2>1 225,1 000-x1x2<0．
∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1) 即f(x)=x+100x,当x≥35时为增函数．
∴x=35时,f(x)有最小值,
此时y2≈10 070<10 989.
∴该厂应接受此优惠条件．
【例题】 已知x、y∈R,x2+y2-3xy=2,求x2+y2的最值．
分析 如果把条件x2+y2-3xy=2看成是关于x的一元二次方程x2-3xy+y2-2=0,则判别式Δ=9y2-4(y2-2)=5 y2+8>0恒成立,说明不论y取何实数,方程x2-3xy+y2-2=0都有实数解,即任给一个实数y,都有实数x满足条件.当y→∞,x2+y2→+∞,所以x2+y2无最大值.下面就x2+y2的最小值展开讨论．
解法一 基本不等式法
∵x2+y2≥2|xy|,
∴-( x2+y2)≤2xy≤x2+y2,
∴-( x2+y2)≤-2xy≤x2+y2,
∴-32( x2+y2)≤-3xy≤32(x2+y2),
∴-12(x2+y2) ≤x2+y2-3xy
≤52(x2+y2),而由已知x2+y2-3xy=2,
∴52(x2+y2)≥2,
∴x2+y2≥45,即x2+y2的最小值为45,
当且仅当|x|=|y|,即x=-105,
y=105.或x=105,
y=-105.时取等号．
点评 本解法主要是基本不等式x2+y2≥2xy的灵活运用,因为此题要求的是x2+y2的最值,所以解法的关键是利用该不等式把已知条件中的xy转化为x2+y2,如果题目改为求xy的最值,则应把已知条件中的x2+y2转化为xy,即2=x2+y2-3xy≥2xy-3xy=-xy，∴xy≥-2,
当且仅当|x|=|y|,即x=-105,
y=105.或x=105,
y=-105.时取等号．
所以xy的最小值为-2.这样的解法计算量小,学生容易接受,思路自然简捷,思维量也不大．
解法二 三角换元法
∵x2+y2-3xy=2,
∴x-32y22-522y2=1.
令x-32y2=1cos θ,
522y=tan θ.(θ∈R且θ≠kπ+π2,k∈Z),
得x=235tan θ+1cos θ,
y=225tan θ.
∴x2+y2=295•sin2θcos2θ+65•sin θcos2θ+1cos2θ+45sin2θcos2θ
=2•13sin2θ+65sin θ+55cos2θ
=25•-131-sin2θ+65sin θ+181-sin2θ
=-265+25•65sin θ+31-sin2θ.
设5sin θ+3=t,则3-5≤t<3+5,
sin θ=t-35,
∴x2+y2=-265+125•t1-t2-6t+95
=-265+12•t-t2-4+6t
=-265+12•16-t+4t
≥-265+12•16-24=45.
∴x2+y2min=45.当且仅当t=2∈3-5,3+5时取等号.
点评 此法的运算量虽然很大,但具有一般性,应用了双曲线的参数方程.如果在此条件下求x+y、x-y、xy等的最值都很方便.另外,如果条件变为x2+y2-xy=2等形式,求xy的最值,即已知条件是椭圆方程,利用椭圆的参数方程,解决起问题来就更方便．
读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师。—拉普拉斯
解法三 几何法
设x2+y2=x′,2xy=y′.
∵x2+y2≥2xy,
∴x′≥y′.
∴满足题设的线性约束条件为
x′-32y′=2,
x′≥y′,
x′≥0.
目标函数为z=x′.
如图所示,它的可行域为以A点为端点的向右上方的射线.
由x′-32y′=2,
x′=-y′.得A点坐标为
45,-45,即x′≥45,
∴z即x′的最小值为45,无最大值.
点评 此法把一个较复杂的求最值问题转化为了一个很简单的线性规划问题,非常巧妙,把一个代数问题转化为了一个解析几何问题,即将“数”的问题转化为了“形”的问题,简单、明了．
解法四 求导数法
令t=x2+y2.
对已知的条件x2+y2-3xy=2两边求关于x的导数得
2x+2yy′-3y-3xy′=0,
∴y′=2x-3y3x-2y.
∴t′x=2x+2yy′=2x+2y•2x-3y3x-2y
=6x2-y23x-2y=6(x+y)(x-y)3x-2y.
令t′x=0,得x+y=0或x-y=0.
当x-y=0时,条件x2+y2-3xy=2不成立.
当x+y=0时,代入条件x2+y2-3xy=2,
得x=105,
y=-105.或x=-105,
y=105.
记由x2+y2-3xy=2
t=x2+y2所确定的函数为t=f(x),
则f′(x)=6(x+y)(x-y)3x-2y.
当函数t=f(x)图像上的点在点105,-105附近变动时,x>0,y<0,
∴3x-2y>0,x-y>0.
由x2+y2-3xy=2,
得(x+y)2=5xy+2≥0,
∴xy≥-25.
若x>105,则-25≤xy≤105y,
∴y>-105,∴x+y>0,
∴f′(x)>0.
同理,当x<105时,f′(x)<0.
∴x=105是函数t=f(x)的极小值点.
同理,当x=-105时,也是函数t=f(x)的极小值点,而两个极小值相同.
∴tmin=f±105=±1052+1052=45.
点评 此方法仍然利用了一元函数求最值的导数法,不需要过多的高等数学的知识.对于用到的隐函数求导方法,成绩较好的同学是容易接受的．
牛刀小试
1. 不等式x-3x-2≤0的解集为A,不等式(x2+1)(x-a)>0的解集为B,若A∈B,则a的取值范围是．
2. 已知集合A=x|x2-5x+6≤0,集合B=x||2x-1|>3,则集合A∩B=．
3. 已知x>0,y>0,2x+1y=1,若x+2y>m2+2m 恒成立.则实数m的取值范围是 ．
4. 关于x的方程9x+(a+4)3x+4=0有解,则实数a的取值范围是．
5. 已知x∈R,二次函数f(x)=ax2+bx+c恒为非负实数,若a
(1) 求该厂每隔多少天购买一次面粉,才能使平均每天支付的总费用最少？
(2) 某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时,其价格可享受9折优惠,问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．
【参考答案】
1. a≤2
2. x|2
4. a≤-8
5. 由题意得b>a>0且Δ=b2-4ac≤0,即c≥b24a.
令M=a+b+cb-a≥a+b+b24ab-a=1+ba+b24a2ba-1.
设ba=t,t>1
则M=1+t+t24t-1=t-14+94(t-1)+32
≥2t-14.94(t-1)+32=3．
当且仅当t=4,即b=4a时取等号．
6. (1) 设该厂应每隔x天购买一次面粉,则其采购量为6x吨,由题意可知,面粉的保管等其他费用3［6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1］=9x(x+1),设平均每天所支付的总费用为y1元,则
y1=9x(x+1)+900x+1 800×6=900x+9x+10 809≥2900x.9x+10 809=10 989,当且仅当9x=900x,即x=10时取等号．
故该厂每隔10天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少．
(2) 因为不少于210吨,每天用面粉6吨,所以至少间隔35天购买面粉一次.设该厂利用此优惠条件后,每隔x(x≥35)天购买一次面粉,平均每天支付的总费用为y2元,则
y2=1x9x(x+1)+900+6×1 800×0.90=900x+9x+9729(x≥35),
令f(x)=x+100x(x≥35),设x2>x1≥35,
则f(x1)-f(x2)=x1+100x1-x2+100x2
=(x2-x1)(100-x1x2)x1x2．
∵x2>x1≥35,∴x2-x1>0,x1x2>1 225,1 000-x1x2<0．
∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)
∴x=35时,f(x)有最小值,
此时y2≈10 070<10 989.
∴该厂应接受此优惠条件．