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摘要：考虑了隔离和接种对疾病的控制影响，建立了一类具有饱和发生率的时滞SEIQR传染病模型，给出了模型无病平衡点和地方病平衡点存在条件及模型的持久性，借助持久性构造了 Liapunov函数，证明了无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性，利用数值模拟验证了模型动力学性质。
关键词：时滞；隔离；持久性，稳定性
DOI：10.15938/j.jhust.2017.02.015
中图分类号：
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2017）02-0078-06
Abstract：Considering the effect of isolation and vaccination on control of disease， a SEIQR epidemic model with saturated incidence and time delay is established. Then， the existence condition of the diseasefree equilibrium and endemic equilibrium and the permanence of model are obtained. The global stability of the diseasefree equilibrium and endemic equilibrium are proved by constructing an appropriate Liapunov function， numerical simulations are presented to verify the properties of the models dynamics.
1预备知识
传染疾病爆发初期，或者易感者数量较多时，染病者多以双线性βSI、标准发生率βSI/N传播疾病[1-3]。在传染病流行期间，染病者接触易感人群有局限性，如Capasso、Serio在研究霍乱疫情传播过程中，发现染病者的行为变化以及人群拥挤效應作用，发生率会趋近于一个稳定值，采用饱和发生率βSI/（1+αI）更符合实际[4]。若传染病可以治愈，而不采取其它防控措施，用带有饱和发生率的SEIR传染病模型可揭示疾病的传播规律[5-6]
若地方病平衡点全局稳定（R0>1），即疾病存在，模型（2）中的其他参数不变，只改变潜伏期时间，分别取τ=3，τ=0.1，计算得基本再生数分别为R0=1.22，R0=1.63，模拟如图3，图4所示。
由图3、图4观察地方病平衡点P*的变化发现，若潜伏时间τ减少时，患病者人数随之增多，说明潜伏期较长的疾病相对容易控制。因此潜伏期较长的疾病，可以采用接种疫苗控制疾病，对潜伏期较短的疾病采用隔离控制方法较好。
参 考 文 献：
[1]马知恩， 周义仓， 王稳地， 等. 传染病动力学的数学建模与研究[M]. 北京：科技出版社， 2004 ： 147-163， 178.
[2]LIPSITCH M， COHEN T， COOPER B， et al. Transmission Dynamics and Control of Severe Acute Respiratory Syndrome[J]. Science， 2003， 300 （ 5627） ：1966-1970.
[3]MENALORCA J， HETHCOTE H W.Dynamic Models of Infectious Diseases as Regulators of Population Sizes[J]. Journal of Mathematical Biology， 1992， 30（ 7）： 693-716.
[4]CAPASSO V， SERIO G. A Generalization of the KermackMcKendrick Deterministic Epidemic Model[J]. Mathematical Biosciences， 1978， 42 （12） ： 43-61.
[5]王蕾， 刘浩， 王凯. 一类具有饱和发生率及免疫的时滞SEIR传染病模型的 全局渐近稳定性[J]. 数学的实践与认识， 2012，42（13）：180-184.
[6]杨俊仙， 闫 萍. 一类具饱和发生率的时滞SEIR传染病模型的分析[J]. 中山大学学报（自然科学版）， 2015，32（4）： 439-447.
[7]章培军，李维德，李自珍.具有连续预防接种的双线性接触率SEIQR流行病模型的定性分析[J].兰州大学学报（自然科学版）， 2009，45（4）：118-126.
[8]刘杰，胡志兴，廖福成. SEIQR流行病模型的定性分析[J].黑龙江大学自然科学学报， 2015，54（3）： 51-55.
[9]周艳丽， 王美娟.含时滞具有饱和传染率的SIQRS接种传染病模型[J]. 上海理工大学学报， 2009，31（5）： 417-421.
[10]CHAHRAZED L， LAZHAR R F. Stability of a Delayed SIQRS Model with Temporary Immunity[J]. Advance in Pure Mathematics， 2013， 3： 240-245.
（编辑：温泽宇）
关键词：时滞；隔离；持久性，稳定性
DOI：10.15938/j.jhust.2017.02.015
中图分类号：
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2017）02-0078-06
Abstract：Considering the effect of isolation and vaccination on control of disease， a SEIQR epidemic model with saturated incidence and time delay is established. Then， the existence condition of the diseasefree equilibrium and endemic equilibrium and the permanence of model are obtained. The global stability of the diseasefree equilibrium and endemic equilibrium are proved by constructing an appropriate Liapunov function， numerical simulations are presented to verify the properties of the models dynamics.
1预备知识
传染疾病爆发初期，或者易感者数量较多时，染病者多以双线性βSI、标准发生率βSI/N传播疾病[1-3]。在传染病流行期间，染病者接触易感人群有局限性，如Capasso、Serio在研究霍乱疫情传播过程中，发现染病者的行为变化以及人群拥挤效應作用，发生率会趋近于一个稳定值，采用饱和发生率βSI/（1+αI）更符合实际[4]。若传染病可以治愈，而不采取其它防控措施，用带有饱和发生率的SEIR传染病模型可揭示疾病的传播规律[5-6]
若地方病平衡点全局稳定（R0>1），即疾病存在，模型（2）中的其他参数不变，只改变潜伏期时间，分别取τ=3，τ=0.1，计算得基本再生数分别为R0=1.22，R0=1.63，模拟如图3，图4所示。
由图3、图4观察地方病平衡点P*的变化发现，若潜伏时间τ减少时，患病者人数随之增多，说明潜伏期较长的疾病相对容易控制。因此潜伏期较长的疾病，可以采用接种疫苗控制疾病，对潜伏期较短的疾病采用隔离控制方法较好。
参 考 文 献：
[1]马知恩， 周义仓， 王稳地， 等. 传染病动力学的数学建模与研究[M]. 北京：科技出版社， 2004 ： 147-163， 178.
[2]LIPSITCH M， COHEN T， COOPER B， et al. Transmission Dynamics and Control of Severe Acute Respiratory Syndrome[J]. Science， 2003， 300 （ 5627） ：1966-1970.
[3]MENALORCA J， HETHCOTE H W.Dynamic Models of Infectious Diseases as Regulators of Population Sizes[J]. Journal of Mathematical Biology， 1992， 30（ 7）： 693-716.
[4]CAPASSO V， SERIO G. A Generalization of the KermackMcKendrick Deterministic Epidemic Model[J]. Mathematical Biosciences， 1978， 42 （12） ： 43-61.
[5]王蕾， 刘浩， 王凯. 一类具有饱和发生率及免疫的时滞SEIR传染病模型的 全局渐近稳定性[J]. 数学的实践与认识， 2012，42（13）：180-184.
[6]杨俊仙， 闫 萍. 一类具饱和发生率的时滞SEIR传染病模型的分析[J]. 中山大学学报（自然科学版）， 2015，32（4）： 439-447.
[7]章培军，李维德，李自珍.具有连续预防接种的双线性接触率SEIQR流行病模型的定性分析[J].兰州大学学报（自然科学版）， 2009，45（4）：118-126.
[8]刘杰，胡志兴，廖福成. SEIQR流行病模型的定性分析[J].黑龙江大学自然科学学报， 2015，54（3）： 51-55.
[9]周艳丽， 王美娟.含时滞具有饱和传染率的SIQRS接种传染病模型[J]. 上海理工大学学报， 2009，31（5）： 417-421.
[10]CHAHRAZED L， LAZHAR R F. Stability of a Delayed SIQRS Model with Temporary Immunity[J]. Advance in Pure Mathematics， 2013， 3： 240-245.
（编辑：温泽宇）