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摘要：考虑了对易感者周期性接种疫苗和对染病者采取隔离控制疾病措施，建立了一类SIQRS传染病模型，利用脉冲方程理论，给出了无病周期解稳定性及疾病一致持久性的充分條件。
关键词：脉冲接种；无病周期解；稳定性；一致持久性
DOI：1015938/jjhust201702014
中图分类号： O175.3
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2017）02-0072-06
Abstract：This paper considers the periodic pulse vaccination of susceptible and the isolation control of the infective， a SEIQR epidemic model is established The sufficient condition for stability of diseasefree periodic solution and permanence of disease are obtained by pulse equation theory
Keywords：pulse vaccination， the diseasefree periodic，stability，permanence
1预备知识
脉冲微分方程能够描述具有周期性运动在某一点瞬间变化问题，如定期投放杀虫剂，周期性用药治疗疾病，季节性接种疫苗都是一种脉冲现象。用具有脉冲接种的传染病模型来研究疫苗控制疾病蔓延的问题，能够获得较为真实的疾病发展规律，这对制定疾病防治策略提供了理论依据 [1-4]。Alberto Donofrio 等人只考虑了接种对人群的影响，研究了脉冲预防接种SIR，SEIR传染病模型，证明了无病周期解的稳定性及模型的持久性，发现了接种对疾病控制的重要作用[5-7]。但有些传染病人在接种疫苗，或康复后获得的免疫，经一段时间免疫力丧失后可以再次发病，如流感、菌痢。传染病模型由SIR修改成SIRS模型，通过研究模型无病平衡点的稳定性条件，寻找疾病控制阈值和疾病消除的策略[8]。
除了采用脉冲接种防治疾病流行，有时还要使用隔离控制措施。考虑到人群脉冲接种，对染病者隔离的策略实施，不考虑垂直感染情况，建立了如下SIQR传染病模型，通过研究模型的无病周期解的稳定性、疾病的持久性，可得到控制疾病的可控参数[9-10] 。
3数值模拟
当传染病暴发时，防疫部门根据掌握的相关统计数据，分析预测可能出现的状况，做出相应的对策来控制传染病的蔓延。传染病模型阈值中的参数变
化往往会改变模型的性态，这对疾病防控有一定影响。下面分别对改变模型中的传播发生率β、免疫失效率α、脉冲预防接种率k和 脉冲预防接种周期T取值，其它值不变，观察模型的性态。表1分别给出了4种情况中下参数取值。图1至图8是参数不同时的模型性态变化图。
4模型结果解释
由疾病流行的阈值R0及模拟图可知，在传染病暴发前，提高疫苗接种率做好预防工作；在疾病流行期间，做好隔离措施；再根据传染病的传播强弱程度，调整接种周期可以有效消除疾病。因此，在对疾病控制过程中，通过提高接种疫苗的成功率和增加染病者的隔离率来防控疾病，还要减少染病者的接触率才能有效防止疾病的蔓延。
参 考 文 献：
[1]CHEN Lansun The Effect of Contant and Pulse Vaccination on SIR EpidemicModel with Horizonial and Vertical Transmission[J]. Mathematical and Computer Modelling， 2002（36）： 1039-1057
[2]ALE S O， OYELAMI B OImpulsive Systems and their Applications[J]. INT J Math EducSci， TechNot， 2000（31）： 539-544.
[3]孟新柱，陈兰荪，宋志涛 一类新的含有垂直与脉冲免疫的时滞SEIR传染病模型的全局动力学行为[J]. 应用数学和力学， 2007， 28（9）： 1123-1132
[4]李冬梅，董在飞，罗雪峰传染病SEIQR模型在肺结核病防控中的应用[J]哈尔滨理工大学学报，2015，20（1）：110-116.
[5]ALBERTO Donofrio Stability Properties of Pulse Vaccination Strategy in SEIR Epidemic Model Math[J]. Biosci， 2002（179）：57-72
[6]ALBERTO Donofrio Pulse Vaccination Strategy in the SIR Epidemic Model： Global asymptotic Stable Eradication in Presence of Vaccine Failures[J]. Mathematical and Computer Modeling， 2002（36）： 473-489
[7]李冬梅，张煜，王树忠，等具有饱和发生率的脉冲接种SIR传染病模型[J]. 哈尔滨理工大学学报， 2016，21（3）：106-113
[8]付景超，井元伟 两类易感者具垂直传染和预防接种的SIRS传染病模型[J].系统科学与数学， 2009， 29（4）： 502-511
[9]赵文才 一类具有隔离的脉冲免疫接种SIQR传染病模型的全局动力学行为[J]. 数学的实践与认识， 2009， 39（17）： 78-85
[10]徐为坚具常数输人及饱和发生率的脉冲接种SIQRS传染病模型[J]系统科学与数学，2010，30（1）：43-52
（编辑：温泽宇）
关键词：脉冲接种；无病周期解；稳定性；一致持久性
DOI：1015938/jjhust201702014
中图分类号： O175.3
文献标志码： A
文章编号： 1007-2683（2017）02-0072-06
Abstract：This paper considers the periodic pulse vaccination of susceptible and the isolation control of the infective， a SEIQR epidemic model is established The sufficient condition for stability of diseasefree periodic solution and permanence of disease are obtained by pulse equation theory
Keywords：pulse vaccination， the diseasefree periodic，stability，permanence
1预备知识
脉冲微分方程能够描述具有周期性运动在某一点瞬间变化问题，如定期投放杀虫剂，周期性用药治疗疾病，季节性接种疫苗都是一种脉冲现象。用具有脉冲接种的传染病模型来研究疫苗控制疾病蔓延的问题，能够获得较为真实的疾病发展规律，这对制定疾病防治策略提供了理论依据 [1-4]。Alberto Donofrio 等人只考虑了接种对人群的影响，研究了脉冲预防接种SIR，SEIR传染病模型，证明了无病周期解的稳定性及模型的持久性，发现了接种对疾病控制的重要作用[5-7]。但有些传染病人在接种疫苗，或康复后获得的免疫，经一段时间免疫力丧失后可以再次发病，如流感、菌痢。传染病模型由SIR修改成SIRS模型，通过研究模型无病平衡点的稳定性条件，寻找疾病控制阈值和疾病消除的策略[8]。
除了采用脉冲接种防治疾病流行，有时还要使用隔离控制措施。考虑到人群脉冲接种，对染病者隔离的策略实施，不考虑垂直感染情况，建立了如下SIQR传染病模型，通过研究模型的无病周期解的稳定性、疾病的持久性，可得到控制疾病的可控参数[9-10] 。
3数值模拟
当传染病暴发时，防疫部门根据掌握的相关统计数据，分析预测可能出现的状况，做出相应的对策来控制传染病的蔓延。传染病模型阈值中的参数变
化往往会改变模型的性态，这对疾病防控有一定影响。下面分别对改变模型中的传播发生率β、免疫失效率α、脉冲预防接种率k和 脉冲预防接种周期T取值，其它值不变，观察模型的性态。表1分别给出了4种情况中下参数取值。图1至图8是参数不同时的模型性态变化图。
4模型结果解释
由疾病流行的阈值R0及模拟图可知，在传染病暴发前，提高疫苗接种率做好预防工作；在疾病流行期间，做好隔离措施；再根据传染病的传播强弱程度，调整接种周期可以有效消除疾病。因此，在对疾病控制过程中，通过提高接种疫苗的成功率和增加染病者的隔离率来防控疾病，还要减少染病者的接触率才能有效防止疾病的蔓延。
参 考 文 献：
[1]CHEN Lansun The Effect of Contant and Pulse Vaccination on SIR EpidemicModel with Horizonial and Vertical Transmission[J]. Mathematical and Computer Modelling， 2002（36）： 1039-1057
[2]ALE S O， OYELAMI B OImpulsive Systems and their Applications[J]. INT J Math EducSci， TechNot， 2000（31）： 539-544.
[3]孟新柱，陈兰荪，宋志涛 一类新的含有垂直与脉冲免疫的时滞SEIR传染病模型的全局动力学行为[J]. 应用数学和力学， 2007， 28（9）： 1123-1132
[4]李冬梅，董在飞，罗雪峰传染病SEIQR模型在肺结核病防控中的应用[J]哈尔滨理工大学学报，2015，20（1）：110-116.
[5]ALBERTO Donofrio Stability Properties of Pulse Vaccination Strategy in SEIR Epidemic Model Math[J]. Biosci， 2002（179）：57-72
[6]ALBERTO Donofrio Pulse Vaccination Strategy in the SIR Epidemic Model： Global asymptotic Stable Eradication in Presence of Vaccine Failures[J]. Mathematical and Computer Modeling， 2002（36）： 473-489
[7]李冬梅，张煜，王树忠，等具有饱和发生率的脉冲接种SIR传染病模型[J]. 哈尔滨理工大学学报， 2016，21（3）：106-113
[8]付景超，井元伟 两类易感者具垂直传染和预防接种的SIRS传染病模型[J].系统科学与数学， 2009， 29（4）： 502-511
[9]赵文才 一类具有隔离的脉冲免疫接种SIQR传染病模型的全局动力学行为[J]. 数学的实践与认识， 2009， 39（17）： 78-85
[10]徐为坚具常数输人及饱和发生率的脉冲接种SIQRS传染病模型[J]系统科学与数学，2010，30（1）：43-52
（编辑：温泽宇）