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函数来自于现实生活，它是描述现实世界变化规律的重要数学模型。生活中的许多问题，用函数的思想方法解决显得简单、便于理解。但是，学生们在学习函数知识时，普遍感觉基础知识易于理解，而在做题时就感觉到困惑。出现这种现象的原因在于：学生们在平时的学习中不善于总结，没发现知识间存在的内在规律，没把所学知识系统化。为此，要学好数学，就需我们在平时的学习中要善于揭示知识之间的规律，只有掌握了规律，在解决问题时，可以收到触类旁通，举一反三之效。
下面是我总结出的二次函数中的几类问题：
一、巧解对称性问题
例：求与抛物线y=x2 2x-4 关于 y轴（x 轴，原点）对称的图像的函数关系式。
分析：抛物线关于y轴（x 轴，原点）对称的函数图像的形状大小完全相同，只是位置不同，因此，只需抓住关键的顶点坐标及对称轴，问题就可迎刃而解。
解：∵y=x2 2x-4=（x-1）2-5
∴对称轴为x=5
顶点坐标为(1,-5)
∴ 关于 y轴对称后的对称轴为x=-1, 顶点坐标为(-1,-5)
∴ y=（x+1）-5= x+2x-4
同理可得:
关于y轴对称后的函数解析式为y=-（x-1）2+5= -x2+2x+4
关于对称后的函数解析式为y=-（x+1）2+5= -x2-2x+4
规律：对于抛物线的对称性问题，关键确定顶点坐标的对称点及开口方向即可。从中发现抛物线关于y轴，x轴，原点对称后的|a| .|b| .|c| 大小没有变，只是符合发生了变化。
二、 巧解平移变换问题
例：如果抛物线y=x2-2x+1沿直角坐标平面向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线 y=x2+bx+c，你能确定b,c的值吗？
分析：方法（1）在平移的问题中，通常将一般式化为顶点式，再利用平移的规律就可将函数作相应的平移变换即可。
方法（2）也可直接对一般式进行平移，对于左右平移，要将等式中每一项的 x都作相应的平移变换；对于上下平移，只对等号右边的代数式整体作相应平移变换即可。
解：（1）y=x2-2x+1= y=(x-1)2
因此，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可以得到抛物线y=( x-1-2)2-3=(x-3)2-3=x2-6x+6
即 x2-6x+6=x2+bx+c
∴b=-6c=6
（2）将抛物线y= x2-2x+1向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到
y=(x-2)2-2(x-2)+1-3=x2-4x+4-2x+4-2=y=x2-6x+6
即 x2-6x+6=x2+bx+c
∴b=-6c=6
规律：抛物线平移的规律是“左加右减，上加下减”，实际上，对于不同形式的抛物线解析式，我们应适当选择方法，关键是确定平移的方向和距离。
三、 巧解不等式、等式问题
例：二次函数y=ax2+bx+c(a 0)的图像如图所示，根据图像解答下列问题
（1） 写出方程 ax2+bx+c=0 的两个根。
（2） 写出不等式ax2+bx+c﹥0的解集
（3） 若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。
分析：第（1）题，当 y= 0 时，方程 ax2+bx+c =0 得根就为函数y=ax2+bx+c 图像与x 轴交点的横坐标，x=1,x=3
第(2)题 不等式 ax2+bx+c﹥0的解集为函数图像在x轴上方的一部分图像所对应的 x 的取值。 即1﹤x﹤3
（4） 方程ax2+bx+c =k 有两个不相等的实数根，即为函数 y=ax2+bx+c图像与 y=k直线有两个交点的直线所在的范围。即k﹤2
规律：解函数中的不等式和等式问题，借助函数图像能帮助我们从不同角度理解问题，做出正确解答。
四、巧解图像综合问题
例：已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，下列结论中，①abc﹥ 0②b=2a ③a+b+c ﹤0④a-b+c﹥0，
正确的个数是（）
A ,4个B,3个 C,2个D, 1个
分析：抓住抛物线的开口方向，对称轴的位置，抛物线与Y轴的交点位置，抛物线与 X轴的交点个数以及坐标轴上所标的数字的位置，则可分析出有关的a, b, c, b2-4ac等符合的特征。
解：（1）∵抛物线开口向下，
∴a﹤ 0
又 ∵对称轴为 x =-1
∴- =-1, 即b=2a
∴a,b同号
∵抛物线交y 轴于正半轴，
∴c ﹥,0 abc ﹥0
当 x=1或-1 时，有a+b+c=y或a-b+c=y，从图像上看此时的数值分别为0和正数，
∴a+b+c=0 或a-b+c﹥0
∴结论中③ 不正确，故选B
规律：掌握a, b, c, b2-4ac在抛物线中的决定作用，是解此类问题的关键，解决这类问题常需要考虑对称轴x=- 的位置、抛物线与x 轴的交点和坐标轴所标出的数之间的关系。
五、巧解实际生活中的最值问题
例：某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格 x （元/件）的一次函数。
（1）试求 y与 x之间的函数关系式；
（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月最大利润是多少？
分析：由题可知销售件数y 与价格x 满足一次函数关系，故设y=kx+b，把点（20，360），（25，210）代入可求与的函数关系式。件数与每件获利的积为总利润。
解：由题意设y=kx+b, 则360=20k+b，210=25k+b，得k=-30，b=960
∴Y=-30x+690 (16 ≤ x ≤ 32)
每月获利润 p=(-30x+960)2(x-16)=-30(x-24)+1920
∴X=24时， p有最大值为1920。
规律：在现实生活中常常遇到一类求最值的问题，如在产品的经销过程中如何获得最大利润、在生产中如何获得最大产值以及怎样获得最好的效果等，这些问题都可以转化为二次函数最值问题，利用二次函数的性质加以解决。另外二次函数与三角形相结合时，往往涉及最大面积、最小距离等问题，解决时需要建立函数关系，由函数性质求解。在写出函数表达式后，要注意函数中变量的取值范围等。
通过上述几类题型的分析，发现二次函数中的许多问题都需用数形结合的重要数学思想方法来解决。有了图形，就可以帮助我们从不同角度、不同侧面去理解它，应用它。
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下面是我总结出的二次函数中的几类问题：
一、巧解对称性问题
例：求与抛物线y=x2 2x-4 关于 y轴（x 轴，原点）对称的图像的函数关系式。
分析：抛物线关于y轴（x 轴，原点）对称的函数图像的形状大小完全相同，只是位置不同，因此，只需抓住关键的顶点坐标及对称轴，问题就可迎刃而解。
解：∵y=x2 2x-4=（x-1）2-5
∴对称轴为x=5
顶点坐标为(1,-5)
∴ 关于 y轴对称后的对称轴为x=-1, 顶点坐标为(-1,-5)
∴ y=（x+1）-5= x+2x-4
同理可得:
关于y轴对称后的函数解析式为y=-（x-1）2+5= -x2+2x+4
关于对称后的函数解析式为y=-（x+1）2+5= -x2-2x+4
规律：对于抛物线的对称性问题，关键确定顶点坐标的对称点及开口方向即可。从中发现抛物线关于y轴，x轴，原点对称后的|a| .|b| .|c| 大小没有变，只是符合发生了变化。
二、 巧解平移变换问题
例：如果抛物线y=x2-2x+1沿直角坐标平面向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线 y=x2+bx+c，你能确定b,c的值吗？
分析：方法（1）在平移的问题中，通常将一般式化为顶点式，再利用平移的规律就可将函数作相应的平移变换即可。
方法（2）也可直接对一般式进行平移，对于左右平移，要将等式中每一项的 x都作相应的平移变换；对于上下平移，只对等号右边的代数式整体作相应平移变换即可。
解：（1）y=x2-2x+1= y=(x-1)2
因此，将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可以得到抛物线y=( x-1-2)2-3=(x-3)2-3=x2-6x+6
即 x2-6x+6=x2+bx+c
∴b=-6c=6
（2）将抛物线y= x2-2x+1向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到
y=(x-2)2-2(x-2)+1-3=x2-4x+4-2x+4-2=y=x2-6x+6
即 x2-6x+6=x2+bx+c
∴b=-6c=6
规律：抛物线平移的规律是“左加右减，上加下减”，实际上，对于不同形式的抛物线解析式，我们应适当选择方法，关键是确定平移的方向和距离。
三、 巧解不等式、等式问题
例：二次函数y=ax2+bx+c(a 0)的图像如图所示，根据图像解答下列问题
（1） 写出方程 ax2+bx+c=0 的两个根。
（2） 写出不等式ax2+bx+c﹥0的解集
（3） 若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。
分析：第（1）题，当 y= 0 时，方程 ax2+bx+c =0 得根就为函数y=ax2+bx+c 图像与x 轴交点的横坐标，x=1,x=3
第(2)题 不等式 ax2+bx+c﹥0的解集为函数图像在x轴上方的一部分图像所对应的 x 的取值。 即1﹤x﹤3
（4） 方程ax2+bx+c =k 有两个不相等的实数根，即为函数 y=ax2+bx+c图像与 y=k直线有两个交点的直线所在的范围。即k﹤2
规律：解函数中的不等式和等式问题，借助函数图像能帮助我们从不同角度理解问题，做出正确解答。
四、巧解图像综合问题
例：已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，下列结论中，①abc﹥ 0②b=2a ③a+b+c ﹤0④a-b+c﹥0，
正确的个数是（）
A ,4个B,3个 C,2个D, 1个
分析：抓住抛物线的开口方向，对称轴的位置，抛物线与Y轴的交点位置，抛物线与 X轴的交点个数以及坐标轴上所标的数字的位置，则可分析出有关的a, b, c, b2-4ac等符合的特征。
解：（1）∵抛物线开口向下，
∴a﹤ 0
又 ∵对称轴为 x =-1
∴- =-1, 即b=2a
∴a,b同号
∵抛物线交y 轴于正半轴，
∴c ﹥,0 abc ﹥0
当 x=1或-1 时，有a+b+c=y或a-b+c=y，从图像上看此时的数值分别为0和正数，
∴a+b+c=0 或a-b+c﹥0
∴结论中③ 不正确，故选B
规律：掌握a, b, c, b2-4ac在抛物线中的决定作用，是解此类问题的关键，解决这类问题常需要考虑对称轴x=- 的位置、抛物线与x 轴的交点和坐标轴所标出的数之间的关系。
五、巧解实际生活中的最值问题
例：某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格 x （元/件）的一次函数。
（1）试求 y与 x之间的函数关系式；
（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月最大利润是多少？
分析：由题可知销售件数y 与价格x 满足一次函数关系，故设y=kx+b，把点（20，360），（25，210）代入可求与的函数关系式。件数与每件获利的积为总利润。
解：由题意设y=kx+b, 则360=20k+b，210=25k+b，得k=-30，b=960
∴Y=-30x+690 (16 ≤ x ≤ 32)
每月获利润 p=(-30x+960)2(x-16)=-30(x-24)+1920
∴X=24时， p有最大值为1920。
规律：在现实生活中常常遇到一类求最值的问题，如在产品的经销过程中如何获得最大利润、在生产中如何获得最大产值以及怎样获得最好的效果等，这些问题都可以转化为二次函数最值问题，利用二次函数的性质加以解决。另外二次函数与三角形相结合时，往往涉及最大面积、最小距离等问题，解决时需要建立函数关系，由函数性质求解。在写出函数表达式后，要注意函数中变量的取值范围等。
通过上述几类题型的分析，发现二次函数中的许多问题都需用数形结合的重要数学思想方法来解决。有了图形，就可以帮助我们从不同角度、不同侧面去理解它，应用它。
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