论文部分内容阅读
【教学内容】人教版五年级下册第12页~14页。
【教学过程】
一、 课前谈话
师：今天，老师上课的内容和一个小朋友有关系。（课件出示一个在拼图形的男孩照片，旁注：我叫舒际乐）猜猜，他和刘老师会是什么关系？
生：母子关系。
师：你真厉害！一猜一个准。具体地说，刘老师是舒际乐的——
生：妈妈！
师：能反过来说吗？
生：舒际乐是刘老师的儿子。
师：能正着说，还能反过来说。可见，关系是相互的。（课件出示：关系是相互的）刘老师是舒际乐的妈妈，那你是舒际乐的妈妈吗？
生：不是，我是舒际乐的姐姐。
师：是的，你显然不符合做舒际乐妈妈的条件。（课件出示：关系是需要符合条件的）要称之为舒际乐的姐姐，需要符合什么条件？
生：女的，还要年纪稍微大一些。
师：说得真好。你们的弟弟舒际乐刚读一年级，刚认识了一些基本图形。这一天，他正在用12个大小完全一样的正方形拼摆长方形。我在一边看着，发现里面大有学问，我们一起去探究好吗？
（评析：理解因数、倍数之间相互依存关系是该课的一大难点，教学中一般借助生活事例对“依存关系”含义进行点拨、激发，但往往只停留在“相互”层面。而片段中教师在“相互”基础上涉入“需要条件”核心词的引导，促使学生卷入“依存关系”深入、全面的体悟，为因数、倍数之间关系作出充分的孕伏。同时，巧妙借助小男孩拼摆小正方形的情境切入新课学习。）
二、 认识因数和倍数
师：舒际乐想把12个大小完全一样的正方形拼成长方形。你们做哥哥姐姐的，能教教他怎么拼摆吗？
师：都会教啊？提高要求，你能用一道乘法算式来介绍你的摆法吗？
生：3×4=12。
师：他想怎么拼？
生：每行摆4个，摆3行。（根据学生回答，课件出示长方形）
师：还可以怎么想？
生：每行摆3个，摆4行。
师：两种摆法的形状是一样的，我们记为一种。还有其他不同的乘法算式吗？
生：2×6=12。
师：一起说说，是怎样摆放的？
生：每行2个，摆6行，或者每行6个，摆2行。
师：这两种形状一样，又记为一种。还有吗？
生：1×12=12。
师：大家用手势演示一下摆法。哦，一行或一列。
师：还有吗？
师：12个小正方形拼摆成长方形只有三种摆法，这里面蕴藏着一种我们到现在都没有研究过的数学关系——因数和倍数关系。（板书：因数和倍数）在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数，而且不包括0。（板书：只研究整数（不包括0）），看得懂吗？
生：就是只研究0以外的整数，不研究分数、小数。
师：是的，从图形拼摆中得到乘法算式里的数，都是整数。那以3×4=12为例，你想，谁会是谁的因数，谁会是谁的倍数呢？
生：3和4是12的因数，12是3和4的倍数。
师：很好，你是把3和4合起来说，还可以分开说。（师板书概念）因为3×4=12，所以3是12的因数；反过来，12是（3的倍数），4是（12的因数），12(是4的倍数)。这里还有两个式子：2×6＝12、1×12＝12，每个算式的三个数又有怎么样的关系，自己轻声说一说。（师指名反馈）
师：你能自己写一道乘法算式，并说说谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？
生：能！
学生写乘法算式，同桌互说后指名反馈。
师：这样的算式，关系写得完、说得完吗？那我们可以找谁帮忙，用一个式子把无数的式子都表示出来？
生：用字母，a×b=c。
师：那么a、b、c可以是任何数吗？
生：不是，必须都是整数，且不包括0。
师：符合了这个条件，a、b、c之间就有了怎样的关系？
生：a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
师：看来，同学们对因数和倍数关系已经有了一定的认识，一起来判断这组关系。
师课件出示：12是24的因数。
生：对。
师：那你能猜到他想的是什么算式吗？
生：他想的是12×2＝24。
师：根据这个算式我们还能得到什么信息？
生：24是12的倍数。
生：2是24的因数，24是2的倍数。
课件出示：0.9×2=1.8，所以1.8是0.9的倍数，0.9是1.8的因数。
生：对。
生：错。
师：你为什么认为错呢？
生：因为0.9和1.8是小数，因数和倍数只研究0以外的整数，不研究小数。
师：是的，就是这个原因，这句话是错的。可是，刚才为什么会有那么多同学认为是对的呢？能不能说说你是怎么想的？
生：因为1.8是0.9的2倍。
师：说得真好，1.8是0.9的2倍，是我们很早就认识的几倍关系，可以是小数，可以是整数，而我们今天学习的因数和倍数关系，只研究整数。
师：同学们，正是由于刚才一部分同学的错误，让我们回忆起了以前的几倍关系，知道了“几倍”和“倍数”的不同，进一步清晰了因数和倍数关系的研究范围，这就是错误带来的思考。所以我们不必害怕错误，要善于从错误中汲取知识。
师课件出示：18是倍数。
生：错。他没有说清楚18是谁的倍数。
师：18会是谁的倍数呢？
生：3、6。
师：反过来，3和6都是18的因数，18的因数还有吗？
（评析：对因数、倍数意义的理解是本课的重点和难点，教师借助12个小正方形摆长方形的直观材料，以数形结合的方式作出范例直言，揭示概念。学生在模仿描述基础上进行自己举例描述，在感知较为丰富的基础上进行对概念的概括。紧接着安排一组判断练习用于反馈学生对概念内化程度，第一题判断强化了“数”“式”之间转换，为因数倍数相互依存关系的理解和找因数方法进行渗透；第二题通过小数乘法算式点击了学习重要疑难点——“几倍”和“倍数”概念的差异，增进研究范畴的意识；第三题一方面强调了依存关系，另一方面借问“18的因数还有吗？”自然衔接到找因数的教学环节之中。这样通过“以例规例—抽象概括—内化反馈”路径帮助学生完成因数、倍数意义的理解。）
三、 找一个数的因数
师：那你能把18的所有因数都找出来吗？先自己写一写。
生：我是从式子里找的。1×18=18，所以1和18是18的因数。2×9=18，找到了2和9，还有3×6=18，找到了3和6，一共有6个。
师：他是利用乘法式子一对一对来找的，又快又对。有没有发现其中的顺序？
生：先1和几，再2和几，再3和几。
师：先想1，通过乘式连带想到了18；想2，连带想到了9；想3，连带想到了6；想4，不可以；5呢？不可以；6，还要再想吗？
生：不用了，重复了。
师：还有别的方法吗？
生：我用除法。18除以1，得到18；除以2，又得到9；除以3，又得到6。
师：乘除法相通，用除法也可以找到一个数的因数。看来大家都会找因数了。那请你用喜欢的方法快速写出35全部的因数。
生：1、35、5、7，只有4个。
师：再试一个，36。
生：1、36、2、18、3、12、4、9、6、6。
师：两个6，只需要写一个。这些数的因数还可以用集合图表示。仔细观察这三个数的因数，你发现了什么？它们之间有什么共同特点？和同桌说说。
生：最小的因数是1，最大的因数是本身。
师：这么重大的发现，赶紧记下来。
生：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。
师：是不是其他的数也是这样呢？5最小的因数是几？最大的因数是几？50？500？看来一个自然数的因数都具有这样的特点。那么一个数的倍数呢？同学们会找一个数的倍数吗？
（评析：有了前面“数”“式”之间的强化，学生自主运用乘式策略进行找因数，并对除法试除的方法进行点拨。结合“18”“35”“36”的因数相继完成集合图表示方法和一个数的因数特点的归纳。找一个数的因数及发现归纳其特点是学习重点却不是难点，教师敢于放手，充分发挥学生自主性，快捷高效。）
四、 找一个数的倍数
师：你能找出多少个2的倍数？同桌说一说。
生：2、4、6、8、10……
师：2的倍数也可以用集合图表示，3的倍数呢？
生：3、6、9……
师：5的倍数。
生：5、10、15……
师：你们找得这么快，一定有自己的好方法，说出来，一起分享一下。
生：我是乘1、乘2、乘3这样找的。
生：我是加它本身，用加法找的。
师：都是好方法。大家仔细观察一下找出来的这些倍数，你发现了一个数的倍数有什么特点？
生：一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。
师：一个数的最小倍数是它本身，这句话是什么意思？你能举例吗？
生：10最小的倍数是10。
师：那100最小的倍数是？1000呢？10000呢？
师：但它们都没有最大的倍数。一个数倍数的个数是——
生：无限的。
师：一个数倍数的个数是无限的，那么一个数因数的个数呢？
生：是有限的。
师：如果用“有始有终”来形容一个数的因数的特点，你觉得“始”指的是什么？“终”呢？
生：“始”就是1，“终”是这个数本身。
师：可以怎么形容一个数倍数的特点呢？
生：有始无终。
师：这个“始”是指什么？
生：这个数本身。
师：那你现在对于因数和倍数，有了哪些新的认识？
（评析：找一个数的倍数、归纳发现找倍数的方法学生并不存在多大困难，而对“一个数最大因数和最小倍数都是它本身”的理解有着一定难度。教师加强了一个数因数、倍数特点的综合性联系比较，借助“有始有终”“有始无终”形象词汇中“始”“终”的具体指向，帮助学生明晰了“本身”的要义。）
五、 综合练习（略）
【总评析】
学生对因数倍数概念虽不陌生，但较为模糊、混乱，主要体现为：把因数、倍数割裂成孤立的运算（如因数存在于整、小数乘法运算中；倍数存在于整、小数除法中，商相当于倍数）；把“倍数”和“倍”混为一谈。为此，对“因数倍数意义和两者相互依存关系的认识与理解”是本课一个教学重难点，将其具化为两个核心疑难问题：一是如何强化树立“非零自然数”的研究范畴意识；二是如何加深“因数倍数是一种关系而不是孤立运算中的某个数”本质认识。
本课教学中，这两个核心难点得到了有力突破：
对于第一个难点“因数倍数研究范畴”进行了分散教学：第一次在因数倍数概念揭示之前，板书出示研究范畴，并通过追问“看得懂吗？”给学生形成一个初步的感知；第二次在概念抽象概括中，对“a×b=c”三个数的范畴进行了讨论，再度感知；第三次在概念内化辨析中，对“0．9×2=1．8”进行质疑，对研究范畴加以回顾。
对于第二个难点“因数倍数是一种关系”也进行了分层关注：课前谈话通过“母子关系”“姐弟关系”讨论使学生感知对象变了相应的关系也随之发生变化，为“依存关系”认识进行铺垫；在“0．9×2=1．8”判断中，组织“猜一猜，为什么有同学认为是对的？”的追问，点明此倍数非彼倍数进行澄清；在“18是倍数”的判断中再次强调了相互依存关系。另外，在概念教学中，教师一直非常注重“关系”和“乘式”之间的切换性追问，如“12是24的因数让你想到了哪个式子？根据12×2=24，你还能想到哪两个数之间的因数倍数关系？”，又如学生提到“18是3、6的倍数”马上反馈“你想到了哪道乘法算式？”，这些追问有助于增进学生“因数倍数关系”和“乘法算式”之间的内联意识，强化“因倍数概念”建立于“式”的感知表象，从而加深依存关系的认识与理解。
（浙江省奉化市实验小学 315500
浙江省奉化市教师进修学校 315500）
【教学过程】
一、 课前谈话
师：今天，老师上课的内容和一个小朋友有关系。（课件出示一个在拼图形的男孩照片，旁注：我叫舒际乐）猜猜，他和刘老师会是什么关系？
生：母子关系。
师：你真厉害！一猜一个准。具体地说，刘老师是舒际乐的——
生：妈妈！
师：能反过来说吗？
生：舒际乐是刘老师的儿子。
师：能正着说，还能反过来说。可见，关系是相互的。（课件出示：关系是相互的）刘老师是舒际乐的妈妈，那你是舒际乐的妈妈吗？
生：不是，我是舒际乐的姐姐。
师：是的，你显然不符合做舒际乐妈妈的条件。（课件出示：关系是需要符合条件的）要称之为舒际乐的姐姐，需要符合什么条件？
生：女的，还要年纪稍微大一些。
师：说得真好。你们的弟弟舒际乐刚读一年级，刚认识了一些基本图形。这一天，他正在用12个大小完全一样的正方形拼摆长方形。我在一边看着，发现里面大有学问，我们一起去探究好吗？
（评析：理解因数、倍数之间相互依存关系是该课的一大难点，教学中一般借助生活事例对“依存关系”含义进行点拨、激发，但往往只停留在“相互”层面。而片段中教师在“相互”基础上涉入“需要条件”核心词的引导，促使学生卷入“依存关系”深入、全面的体悟，为因数、倍数之间关系作出充分的孕伏。同时，巧妙借助小男孩拼摆小正方形的情境切入新课学习。）
二、 认识因数和倍数
师：舒际乐想把12个大小完全一样的正方形拼成长方形。你们做哥哥姐姐的，能教教他怎么拼摆吗？
师：都会教啊？提高要求，你能用一道乘法算式来介绍你的摆法吗？
生：3×4=12。
师：他想怎么拼？
生：每行摆4个，摆3行。（根据学生回答，课件出示长方形）
师：还可以怎么想？
生：每行摆3个，摆4行。
师：两种摆法的形状是一样的，我们记为一种。还有其他不同的乘法算式吗？
生：2×6=12。
师：一起说说，是怎样摆放的？
生：每行2个，摆6行，或者每行6个，摆2行。
师：这两种形状一样，又记为一种。还有吗？
生：1×12=12。
师：大家用手势演示一下摆法。哦，一行或一列。
师：还有吗？
师：12个小正方形拼摆成长方形只有三种摆法，这里面蕴藏着一种我们到现在都没有研究过的数学关系——因数和倍数关系。（板书：因数和倍数）在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数，而且不包括0。（板书：只研究整数（不包括0）），看得懂吗？
生：就是只研究0以外的整数，不研究分数、小数。
师：是的，从图形拼摆中得到乘法算式里的数，都是整数。那以3×4=12为例，你想，谁会是谁的因数，谁会是谁的倍数呢？
生：3和4是12的因数，12是3和4的倍数。
师：很好，你是把3和4合起来说，还可以分开说。（师板书概念）因为3×4=12，所以3是12的因数；反过来，12是（3的倍数），4是（12的因数），12(是4的倍数)。这里还有两个式子：2×6＝12、1×12＝12，每个算式的三个数又有怎么样的关系，自己轻声说一说。（师指名反馈）
师：你能自己写一道乘法算式，并说说谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？
生：能！
学生写乘法算式，同桌互说后指名反馈。
师：这样的算式，关系写得完、说得完吗？那我们可以找谁帮忙，用一个式子把无数的式子都表示出来？
生：用字母，a×b=c。
师：那么a、b、c可以是任何数吗？
生：不是，必须都是整数，且不包括0。
师：符合了这个条件，a、b、c之间就有了怎样的关系？
生：a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
师：看来，同学们对因数和倍数关系已经有了一定的认识，一起来判断这组关系。
师课件出示：12是24的因数。
生：对。
师：那你能猜到他想的是什么算式吗？
生：他想的是12×2＝24。
师：根据这个算式我们还能得到什么信息？
生：24是12的倍数。
生：2是24的因数，24是2的倍数。
课件出示：0.9×2=1.8，所以1.8是0.9的倍数，0.9是1.8的因数。
生：对。
生：错。
师：你为什么认为错呢？
生：因为0.9和1.8是小数，因数和倍数只研究0以外的整数，不研究小数。
师：是的，就是这个原因，这句话是错的。可是，刚才为什么会有那么多同学认为是对的呢？能不能说说你是怎么想的？
生：因为1.8是0.9的2倍。
师：说得真好，1.8是0.9的2倍，是我们很早就认识的几倍关系，可以是小数，可以是整数，而我们今天学习的因数和倍数关系，只研究整数。
师：同学们，正是由于刚才一部分同学的错误，让我们回忆起了以前的几倍关系，知道了“几倍”和“倍数”的不同，进一步清晰了因数和倍数关系的研究范围，这就是错误带来的思考。所以我们不必害怕错误，要善于从错误中汲取知识。
师课件出示：18是倍数。
生：错。他没有说清楚18是谁的倍数。
师：18会是谁的倍数呢？
生：3、6。
师：反过来，3和6都是18的因数，18的因数还有吗？
（评析：对因数、倍数意义的理解是本课的重点和难点，教师借助12个小正方形摆长方形的直观材料，以数形结合的方式作出范例直言，揭示概念。学生在模仿描述基础上进行自己举例描述，在感知较为丰富的基础上进行对概念的概括。紧接着安排一组判断练习用于反馈学生对概念内化程度，第一题判断强化了“数”“式”之间转换，为因数倍数相互依存关系的理解和找因数方法进行渗透；第二题通过小数乘法算式点击了学习重要疑难点——“几倍”和“倍数”概念的差异，增进研究范畴的意识；第三题一方面强调了依存关系，另一方面借问“18的因数还有吗？”自然衔接到找因数的教学环节之中。这样通过“以例规例—抽象概括—内化反馈”路径帮助学生完成因数、倍数意义的理解。）
三、 找一个数的因数
师：那你能把18的所有因数都找出来吗？先自己写一写。
生：我是从式子里找的。1×18=18，所以1和18是18的因数。2×9=18，找到了2和9，还有3×6=18，找到了3和6，一共有6个。
师：他是利用乘法式子一对一对来找的，又快又对。有没有发现其中的顺序？
生：先1和几，再2和几，再3和几。
师：先想1，通过乘式连带想到了18；想2，连带想到了9；想3，连带想到了6；想4，不可以；5呢？不可以；6，还要再想吗？
生：不用了，重复了。
师：还有别的方法吗？
生：我用除法。18除以1，得到18；除以2，又得到9；除以3，又得到6。
师：乘除法相通，用除法也可以找到一个数的因数。看来大家都会找因数了。那请你用喜欢的方法快速写出35全部的因数。
生：1、35、5、7，只有4个。
师：再试一个，36。
生：1、36、2、18、3、12、4、9、6、6。
师：两个6，只需要写一个。这些数的因数还可以用集合图表示。仔细观察这三个数的因数，你发现了什么？它们之间有什么共同特点？和同桌说说。
生：最小的因数是1，最大的因数是本身。
师：这么重大的发现，赶紧记下来。
生：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。
师：是不是其他的数也是这样呢？5最小的因数是几？最大的因数是几？50？500？看来一个自然数的因数都具有这样的特点。那么一个数的倍数呢？同学们会找一个数的倍数吗？
（评析：有了前面“数”“式”之间的强化，学生自主运用乘式策略进行找因数，并对除法试除的方法进行点拨。结合“18”“35”“36”的因数相继完成集合图表示方法和一个数的因数特点的归纳。找一个数的因数及发现归纳其特点是学习重点却不是难点，教师敢于放手，充分发挥学生自主性，快捷高效。）
四、 找一个数的倍数
师：你能找出多少个2的倍数？同桌说一说。
生：2、4、6、8、10……
师：2的倍数也可以用集合图表示，3的倍数呢？
生：3、6、9……
师：5的倍数。
生：5、10、15……
师：你们找得这么快，一定有自己的好方法，说出来，一起分享一下。
生：我是乘1、乘2、乘3这样找的。
生：我是加它本身，用加法找的。
师：都是好方法。大家仔细观察一下找出来的这些倍数，你发现了一个数的倍数有什么特点？
生：一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数。
师：一个数的最小倍数是它本身，这句话是什么意思？你能举例吗？
生：10最小的倍数是10。
师：那100最小的倍数是？1000呢？10000呢？
师：但它们都没有最大的倍数。一个数倍数的个数是——
生：无限的。
师：一个数倍数的个数是无限的，那么一个数因数的个数呢？
生：是有限的。
师：如果用“有始有终”来形容一个数的因数的特点，你觉得“始”指的是什么？“终”呢？
生：“始”就是1，“终”是这个数本身。
师：可以怎么形容一个数倍数的特点呢？
生：有始无终。
师：这个“始”是指什么？
生：这个数本身。
师：那你现在对于因数和倍数，有了哪些新的认识？
（评析：找一个数的倍数、归纳发现找倍数的方法学生并不存在多大困难，而对“一个数最大因数和最小倍数都是它本身”的理解有着一定难度。教师加强了一个数因数、倍数特点的综合性联系比较，借助“有始有终”“有始无终”形象词汇中“始”“终”的具体指向，帮助学生明晰了“本身”的要义。）
五、 综合练习（略）
【总评析】
学生对因数倍数概念虽不陌生，但较为模糊、混乱，主要体现为：把因数、倍数割裂成孤立的运算（如因数存在于整、小数乘法运算中；倍数存在于整、小数除法中，商相当于倍数）；把“倍数”和“倍”混为一谈。为此，对“因数倍数意义和两者相互依存关系的认识与理解”是本课一个教学重难点，将其具化为两个核心疑难问题：一是如何强化树立“非零自然数”的研究范畴意识；二是如何加深“因数倍数是一种关系而不是孤立运算中的某个数”本质认识。
本课教学中，这两个核心难点得到了有力突破：
对于第一个难点“因数倍数研究范畴”进行了分散教学：第一次在因数倍数概念揭示之前，板书出示研究范畴，并通过追问“看得懂吗？”给学生形成一个初步的感知；第二次在概念抽象概括中，对“a×b=c”三个数的范畴进行了讨论，再度感知；第三次在概念内化辨析中，对“0．9×2=1．8”进行质疑，对研究范畴加以回顾。
对于第二个难点“因数倍数是一种关系”也进行了分层关注：课前谈话通过“母子关系”“姐弟关系”讨论使学生感知对象变了相应的关系也随之发生变化，为“依存关系”认识进行铺垫；在“0．9×2=1．8”判断中，组织“猜一猜，为什么有同学认为是对的？”的追问，点明此倍数非彼倍数进行澄清；在“18是倍数”的判断中再次强调了相互依存关系。另外，在概念教学中，教师一直非常注重“关系”和“乘式”之间的切换性追问，如“12是24的因数让你想到了哪个式子？根据12×2=24，你还能想到哪两个数之间的因数倍数关系？”，又如学生提到“18是3、6的倍数”马上反馈“你想到了哪道乘法算式？”，这些追问有助于增进学生“因数倍数关系”和“乘法算式”之间的内联意识，强化“因倍数概念”建立于“式”的感知表象，从而加深依存关系的认识与理解。
（浙江省奉化市实验小学 315500
浙江省奉化市教师进修学校 315500）