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摘 要：针对小球沿竖直平面内的圆形轨道的变速圆周运动问题，探究了小球在运动过程中对圆周轨道斜向上的弹力在竖直方向的分力存在最大值的位置以及在小球运动的过程中圆形轨道不从地面上跳起的条件.
关键词：竖直轨道；圆周运动；极值条件；不跳起
例题 如图1所示，质量为 的立方体物块放在水平地面上直立的两块光滑挡板之间刚好接触，物块的内部有一半径为 的竖直光滑圆槽.质量为 的小球放在槽底，现给小球一个初速度 ，在小球做圆周运动的过程中物块一直静止在地面上，试求：若小球运动到轨道最高点时立方体物块对地面的压力刚好为零，则初速度应满足什么条件？当 （ 为正整数且1≤ ≤5）时，对应的初速度分别为多大？
解析 只有小球运动到水平直径上方轨道的某位置时，对立方体物块弹力的竖直分力才能竖直向上，使物块对地面的压力减小，如图2所示.设小球从最低点运动到与圆心连线跟竖直方向的夹角为 时，速度为 ，受到轨道的弹力为 ，由牛顿第二定律和向心力公式有
（1）
由机械能守恒定律有
（2）
联立方程可得小球对轨道的弹力大小为
弹力的竖直分力大小为 ，即
（3）
当物块对地面的压力刚好为零时有 ；当小球运动到轨道最高点时 ，则 .由此得
（4）
所以 ， 为正整数且1≤ ≤5.
探讨 虽然理论上算出小球运动到轨道最高点时物块对地面的压力刚好为零，但在实际上小球到达轨道最高点之前，物块可能已经跳起，而题中指明物块一直静止在地面上.因此该题结果不完全正确，需分析小球到达轨道最高点或在小球到达最高点之前物块一直不跳起的条件，下面从多角度进行探究.
一、若在小球运动过程中物块始终不离开地面，则小球的初速度和二者的质量应满足什么条件？
物块始终不离开地面的受力条件是
≤
即 ≤
设 ，由均值不等式可知 有最小值，极值条件为 ，即 .
当 < 时， <1，则 ，即小球运动至与圆心连线跟竖直方向夹角为 时， 有最小值， ，则 ≤ ，
可得 ≤ . （b）
当 ≥ 时， ≥1，由于 ≤1，则当 时，即当 时，亦即小球运动到轨道最高点时， 有最小值， ，则 ≤ ，
可得 ≤ . （c）
例如，当 时， < ，由 ≤ 得初速度的最大值为 ，物块刚好不跳起，此时小球的位置满足 .又如，当 时， > ，由 ≤ 得初速度的最大值为 ，物块刚好不跳起，此时小球的位置在轨道的最高点.
二、若在小球运动过程中物块对地面压力的最小值刚好为零，则小球的初速度和质量满足什么条件？
物块对地面的压力最小值包括三种情形：若压力的最小值大于零，则物块不跳起；若压力的最小值小于零，则物块跳起；若压力的最小值等于零，则物块刚好不跳起.
对不等式（b）取等号，可知在小球运动过程中物块对地面压力的最小值刚好为零时小球初速度满足的条件为
（5）
物块刚好不跳起时小球的位置满足
（6）
余弦函数 的最大值为 ，由此式可得质量关系为 ≤ ，这是（5）式成立的前提条件.
对于特殊情形，当 时，由（6）式得 ，由（5）式得 ，因此当 且 时，在小球运动到轨道最高点时，物块对地面的压力刚好取最小值且为零，则物块一直没有离开地面.
三、若小球运动到轨道最高点时物块对地面压力最小且一直不跳起，则初速度和质量满足什么条件？
对不等式（c）取等号，可知小球运动到轨道最高点时物块对地面的压力为零的条件是 ，那么此时物块对地面的压力为零而且物块一直不跳起的条件是 且 ≥ .由此可知原题的正确答案为： ， 取正整数且3≤ ≤5.
当 ≥ 时，有 ≥ 成立，所以，若小球运动到轨道最高点时物块对地面压力有最小值，而且物块一直不跳起，则小球的初速度取值范围是
≤ ≤ （d）
将式（3）变形为 ，竖直分力 的表达式是关于 的一元二次函数 ，由于 <0，则 图象是开口向下的抛物线，有最大值，由对称轴坐标公式 可知
（7）
这就是小球在初速度一定的情况下，弹力的竖直分力取最大值时小球与半径的连线跟竖直线夹角的公式.小球在该位置时物块对地面的压力取最小值，但不一定为零，或者物块有可能离开地面.
由式（7）可知，若 ，则当小球到达轨道最高点时物块对地面的压力刚好最小；对于初速度取值范围 ≤ < ，小球做完整的圆周运动，当小球运动到轨道最高点之前的某个位置满足 时物块对地面的压力最小；若 > ，则当小球到达轨道最高点时物块对地面的压力最小，不一定为零.而物块是否离开地面，取决于二者的质量之比.
上述推论涉及到4个初速度的关系式，其含义各不相同，可简要归纳如下：
1. ，是小球刚好能做圆周运动的条件，这是初速度的最小值；在此情况下物块刚好不跳起的条件是 ，始终不跳起的條件是 ≥ .由 可知弹力的极值位置在 .
2. ，是小球运动到轨道最高点时物块对地面的压力刚好达到最小值的条件；物块一直不跳起的条件是 ≥ .
3. （ ≤ ），是小球运动到轨道最高点之前时物块对地面压力的最小值刚好为零的条件，这是初速度的最大值，则物块一直不跳起的条件是 ≤ （ ≤ ）.
4. （ ≥ ），是小球运动到轨道最高点时物块对地面的压力刚好为零的条件，这是小球初速度的最大值，则物块一直不跳起的条件是 ≤ （ ≥ ）.
总之，当初速度一定时，物块是否跳起与二者的质量有关.对于 ≤ ≤ ，极值位置公式为 ；对于 ≥ ，极值位置在轨道的最高点.当质量一定时，物块是否跳起与小球的初速度有关.对于 ≤ ，极值位置公式为 ，若 ，则物块刚好不跳起；对于 ≥ ，极值位置在圆轨道的最高点，若 ，则物块刚好不跳起.
关键词：竖直轨道；圆周运动；极值条件；不跳起
例题 如图1所示，质量为 的立方体物块放在水平地面上直立的两块光滑挡板之间刚好接触，物块的内部有一半径为 的竖直光滑圆槽.质量为 的小球放在槽底，现给小球一个初速度 ，在小球做圆周运动的过程中物块一直静止在地面上，试求：若小球运动到轨道最高点时立方体物块对地面的压力刚好为零，则初速度应满足什么条件？当 （ 为正整数且1≤ ≤5）时，对应的初速度分别为多大？
解析 只有小球运动到水平直径上方轨道的某位置时，对立方体物块弹力的竖直分力才能竖直向上，使物块对地面的压力减小，如图2所示.设小球从最低点运动到与圆心连线跟竖直方向的夹角为 时，速度为 ，受到轨道的弹力为 ，由牛顿第二定律和向心力公式有
（1）
由机械能守恒定律有
（2）
联立方程可得小球对轨道的弹力大小为
弹力的竖直分力大小为 ，即
（3）
当物块对地面的压力刚好为零时有 ；当小球运动到轨道最高点时 ，则 .由此得
（4）
所以 ， 为正整数且1≤ ≤5.
探讨 虽然理论上算出小球运动到轨道最高点时物块对地面的压力刚好为零，但在实际上小球到达轨道最高点之前，物块可能已经跳起，而题中指明物块一直静止在地面上.因此该题结果不完全正确，需分析小球到达轨道最高点或在小球到达最高点之前物块一直不跳起的条件，下面从多角度进行探究.
一、若在小球运动过程中物块始终不离开地面，则小球的初速度和二者的质量应满足什么条件？
物块始终不离开地面的受力条件是
≤
即 ≤
设 ，由均值不等式可知 有最小值，极值条件为 ，即 .
当 < 时， <1，则 ，即小球运动至与圆心连线跟竖直方向夹角为 时， 有最小值， ，则 ≤ ，
可得 ≤ . （b）
当 ≥ 时， ≥1，由于 ≤1，则当 时，即当 时，亦即小球运动到轨道最高点时， 有最小值， ，则 ≤ ，
可得 ≤ . （c）
例如，当 时， < ，由 ≤ 得初速度的最大值为 ，物块刚好不跳起，此时小球的位置满足 .又如，当 时， > ，由 ≤ 得初速度的最大值为 ，物块刚好不跳起，此时小球的位置在轨道的最高点.
二、若在小球运动过程中物块对地面压力的最小值刚好为零，则小球的初速度和质量满足什么条件？
物块对地面的压力最小值包括三种情形：若压力的最小值大于零，则物块不跳起；若压力的最小值小于零，则物块跳起；若压力的最小值等于零，则物块刚好不跳起.
对不等式（b）取等号，可知在小球运动过程中物块对地面压力的最小值刚好为零时小球初速度满足的条件为
（5）
物块刚好不跳起时小球的位置满足
（6）
余弦函数 的最大值为 ，由此式可得质量关系为 ≤ ，这是（5）式成立的前提条件.
对于特殊情形，当 时，由（6）式得 ，由（5）式得 ，因此当 且 时，在小球运动到轨道最高点时，物块对地面的压力刚好取最小值且为零，则物块一直没有离开地面.
三、若小球运动到轨道最高点时物块对地面压力最小且一直不跳起，则初速度和质量满足什么条件？
对不等式（c）取等号，可知小球运动到轨道最高点时物块对地面的压力为零的条件是 ，那么此时物块对地面的压力为零而且物块一直不跳起的条件是 且 ≥ .由此可知原题的正确答案为： ， 取正整数且3≤ ≤5.
当 ≥ 时，有 ≥ 成立，所以，若小球运动到轨道最高点时物块对地面压力有最小值，而且物块一直不跳起，则小球的初速度取值范围是
≤ ≤ （d）
将式（3）变形为 ，竖直分力 的表达式是关于 的一元二次函数 ，由于 <0，则 图象是开口向下的抛物线，有最大值，由对称轴坐标公式 可知
（7）
这就是小球在初速度一定的情况下，弹力的竖直分力取最大值时小球与半径的连线跟竖直线夹角的公式.小球在该位置时物块对地面的压力取最小值，但不一定为零，或者物块有可能离开地面.
由式（7）可知，若 ，则当小球到达轨道最高点时物块对地面的压力刚好最小；对于初速度取值范围 ≤ < ，小球做完整的圆周运动，当小球运动到轨道最高点之前的某个位置满足 时物块对地面的压力最小；若 > ，则当小球到达轨道最高点时物块对地面的压力最小，不一定为零.而物块是否离开地面，取决于二者的质量之比.
上述推论涉及到4个初速度的关系式，其含义各不相同，可简要归纳如下：
1. ，是小球刚好能做圆周运动的条件，这是初速度的最小值；在此情况下物块刚好不跳起的条件是 ，始终不跳起的條件是 ≥ .由 可知弹力的极值位置在 .
2. ，是小球运动到轨道最高点时物块对地面的压力刚好达到最小值的条件；物块一直不跳起的条件是 ≥ .
3. （ ≤ ），是小球运动到轨道最高点之前时物块对地面压力的最小值刚好为零的条件，这是初速度的最大值，则物块一直不跳起的条件是 ≤ （ ≤ ）.
4. （ ≥ ），是小球运动到轨道最高点时物块对地面的压力刚好为零的条件，这是小球初速度的最大值，则物块一直不跳起的条件是 ≤ （ ≥ ）.
总之，当初速度一定时，物块是否跳起与二者的质量有关.对于 ≤ ≤ ，极值位置公式为 ；对于 ≥ ，极值位置在轨道的最高点.当质量一定时，物块是否跳起与小球的初速度有关.对于 ≤ ，极值位置公式为 ，若 ，则物块刚好不跳起；对于 ≥ ，极值位置在圆轨道的最高点，若 ，则物块刚好不跳起.