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中图分类号:G633.6 文献标识码:A文章编号:1673-1875(2009)11-110-01
九年义务教育《数学课程标准》指出,初中数学中的基础知识包括“初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理等,以及由其内容所反映出的数学思想和方法”。“标准”强调如此数学思想方法,表明数学思想和方法在初中教学中具有不可忽视的重要性。
一、把握教材
数学概念、法则、性质、公式、公理、定理都明显地写在教材中,是有“形”的,而数学思想方法却隐含在知识的教学过程中,是无“形”的。在新教材中,我们很少看到这个思想、那个思想的字样,但教材的每一项内容都隐含着若干思想方法。因此,在知识的教学中,我们应把隐含在知识背后的数学思想方法挖掘出来,像数学知识一样纳入教学目标和教材分析之中,备课时既备知识,又备思想方法,弄清每一章节包含了哪些主要的数学思想方法。如在“代数初步知识”这章中主要渗透“字母表示数”、“抽象概括”、“特殊与一般”、“归纳猜想”等数学思想方法。还要弄清每一数学思想方法渗透在哪些章节。只有这样,才能把握好数学思想方法的渗透时机和方法。
二、逐步渗透
由于初中学生抽象思想能力较为薄弱,因而数学思想和方法的教学只能渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机,重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程,知识的形成、发展过程,解决问题和规律的概括过程,使学生在这些过程中展开思维,从而发展他们的科学精神和创新意识,形成获取、发展新知识,运用新知识解决问题。忽视或压缩这些过程,一味灌输知识的结论,就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。
在渗透数学思想、方法的过程中,教师要精心设计、有机结合,要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法,切忌生搬硬套,和盘托出,脱离实际等错误做法。比如,教学二次不等式解集时结合二次函数图象来理解和记忆,总结归纳出解集在“两根之间”、“两根之外”,利用形数结合方法,从而比较顺利地完成新旧知识的过渡。
三、实践运用
数学实践是帮助学生获得数学思想方法的有效途径。教学时,一方面要通过解题和反思活动,从具体数学问题和范例中总结归纳解题方法,并提炼和抽象成数学思想;另一方面在解题过程中,充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想和转化功能,举一反三,触类旁通,以数学思想观点为指导,灵活运用数学知识和方法分析问题、解决问题。
范例教学通过选择具有典型性、启发性、创造性和审美性的例题和练习进行。要注意设计具有探索性的范例和能从中抽象一般和特殊规律的范例,在对其分析和思考的过程中展示数学思想和具有代表性的数学方法,提高学生的思维能力。例如,对某些问题,要引导学生尽可能运用多种方法,从各条途径寻求答案,找出最优方法,培养学生的变通性;对某些问题可以进行由简到繁、由特殊到一般的推论,让学生大胆联系和猜想,培养其思维的广阔性;对某些问题可以分析其特殊性,克服惯性思维束缚,培养学生思维的灵活性;对一些条件、因素较多的问题,要引导学生全面分析、系统综合各个条件,得出正确结论,培养其横向思维等等。此外,还要引导学生通过解题以后的反思,优化解题过程,总结解题经验,提炼数学思想方法。
要引导学生把握知识的整体结构,形成合理的数学模型,通过综合运用数学思想方法,融会贯通各知识点和单元,建立一个以范例和习题为中心的知识网络,纵向加深知识层次,横向联系以发展思维能力,形成全局性的数学思想方法。
四、及时总结
数学教材是采用蕴含披露的方式将数学思想方法溶于数学知识体系中,因此,适时对数学思想方法做出归纳、概括是十分必要的。概括数学思想方法要纳入教学计划,应有目的、有步骤地引导学生参与数学思想的提炼概括过程,尤其是在章节结束或单元复习中对知识复习的同时,将统摄知识的数学思想方法概括出来,可以加紧学生对数学思想方法的运用意识,也使其对运用数学思想解决问题的具体操作方式有更深刻的了解,有利于活化所学知识,形成独立分析、解决问题的能力。
概括数学思想一般可分两步进行:一是揭示数学思想的内容、规律,即将数学对象共同具有属性或关系抽取出来;二是明确数学思想方法与知识的联系,即将抽取出来的共性推广到同类的全部对象上去,从而实现从个别性认识上升为一般性认识。比如,通过解方程（x-2）2+(x-2)-2=0,发现也可用换元法来求解。在此基础上推广也可用换元法求解。由此概括出换元法可以将复杂方程转化为简单方程,从而认识到化归思想是对换元法的高度概括,还可进一步认识到数学思想是数学的灵魂,它是对数学知识的高度概括。
由于同一数学知识可表现出不同的数学思想方法,而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的知识点里,所以通过课堂小结、单元总结或总复习,甚至是某个概念、定理公式、问题数学都可以在纵横两方面归纳概括出数学思想方法。
五、培养习惯
习惯有时比知识更为重要。为了然学生养成获取数学思想方法的习惯,应注重解决问题之前的分析。教学中应结合教材,引导学生主动自觉地去分析,在分析中领悟解决问题的思想方法,尤其是转化问题的思维过程中蕴含有的各种思想。
九年义务教育《数学课程标准》指出,初中数学中的基础知识包括“初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理等,以及由其内容所反映出的数学思想和方法”。“标准”强调如此数学思想方法,表明数学思想和方法在初中教学中具有不可忽视的重要性。
一、把握教材
数学概念、法则、性质、公式、公理、定理都明显地写在教材中,是有“形”的,而数学思想方法却隐含在知识的教学过程中,是无“形”的。在新教材中,我们很少看到这个思想、那个思想的字样,但教材的每一项内容都隐含着若干思想方法。因此,在知识的教学中,我们应把隐含在知识背后的数学思想方法挖掘出来,像数学知识一样纳入教学目标和教材分析之中,备课时既备知识,又备思想方法,弄清每一章节包含了哪些主要的数学思想方法。如在“代数初步知识”这章中主要渗透“字母表示数”、“抽象概括”、“特殊与一般”、“归纳猜想”等数学思想方法。还要弄清每一数学思想方法渗透在哪些章节。只有这样,才能把握好数学思想方法的渗透时机和方法。
二、逐步渗透
由于初中学生抽象思想能力较为薄弱,因而数学思想和方法的教学只能渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机,重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程,知识的形成、发展过程,解决问题和规律的概括过程,使学生在这些过程中展开思维,从而发展他们的科学精神和创新意识,形成获取、发展新知识,运用新知识解决问题。忽视或压缩这些过程,一味灌输知识的结论,就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。
在渗透数学思想、方法的过程中,教师要精心设计、有机结合,要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法,切忌生搬硬套,和盘托出,脱离实际等错误做法。比如,教学二次不等式解集时结合二次函数图象来理解和记忆,总结归纳出解集在“两根之间”、“两根之外”,利用形数结合方法,从而比较顺利地完成新旧知识的过渡。
三、实践运用
数学实践是帮助学生获得数学思想方法的有效途径。教学时,一方面要通过解题和反思活动,从具体数学问题和范例中总结归纳解题方法,并提炼和抽象成数学思想;另一方面在解题过程中,充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想和转化功能,举一反三,触类旁通,以数学思想观点为指导,灵活运用数学知识和方法分析问题、解决问题。
范例教学通过选择具有典型性、启发性、创造性和审美性的例题和练习进行。要注意设计具有探索性的范例和能从中抽象一般和特殊规律的范例,在对其分析和思考的过程中展示数学思想和具有代表性的数学方法,提高学生的思维能力。例如,对某些问题,要引导学生尽可能运用多种方法,从各条途径寻求答案,找出最优方法,培养学生的变通性;对某些问题可以进行由简到繁、由特殊到一般的推论,让学生大胆联系和猜想,培养其思维的广阔性;对某些问题可以分析其特殊性,克服惯性思维束缚,培养学生思维的灵活性;对一些条件、因素较多的问题,要引导学生全面分析、系统综合各个条件,得出正确结论,培养其横向思维等等。此外,还要引导学生通过解题以后的反思,优化解题过程,总结解题经验,提炼数学思想方法。
要引导学生把握知识的整体结构,形成合理的数学模型,通过综合运用数学思想方法,融会贯通各知识点和单元,建立一个以范例和习题为中心的知识网络,纵向加深知识层次,横向联系以发展思维能力,形成全局性的数学思想方法。
四、及时总结
数学教材是采用蕴含披露的方式将数学思想方法溶于数学知识体系中,因此,适时对数学思想方法做出归纳、概括是十分必要的。概括数学思想方法要纳入教学计划,应有目的、有步骤地引导学生参与数学思想的提炼概括过程,尤其是在章节结束或单元复习中对知识复习的同时,将统摄知识的数学思想方法概括出来,可以加紧学生对数学思想方法的运用意识,也使其对运用数学思想解决问题的具体操作方式有更深刻的了解,有利于活化所学知识,形成独立分析、解决问题的能力。
概括数学思想一般可分两步进行:一是揭示数学思想的内容、规律,即将数学对象共同具有属性或关系抽取出来;二是明确数学思想方法与知识的联系,即将抽取出来的共性推广到同类的全部对象上去,从而实现从个别性认识上升为一般性认识。比如,通过解方程（x-2）2+(x-2)-2=0,发现也可用换元法来求解。在此基础上推广也可用换元法求解。由此概括出换元法可以将复杂方程转化为简单方程,从而认识到化归思想是对换元法的高度概括,还可进一步认识到数学思想是数学的灵魂,它是对数学知识的高度概括。
由于同一数学知识可表现出不同的数学思想方法,而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的知识点里,所以通过课堂小结、单元总结或总复习,甚至是某个概念、定理公式、问题数学都可以在纵横两方面归纳概括出数学思想方法。
五、培养习惯
习惯有时比知识更为重要。为了然学生养成获取数学思想方法的习惯,应注重解决问题之前的分析。教学中应结合教材,引导学生主动自觉地去分析,在分析中领悟解决问题的思想方法,尤其是转化问题的思维过程中蕴含有的各种思想。