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一、情境引入
师：首先请同学们欣赏一段短片，这个队伍是如何排列的，行数和列数有什么关系？
生：行数=列数。
师：像这样行数和列数相等的队伍就叫做方阵。
出示课题：今天就要来研究一下方阵中的数学问题。 师：怎样求这个方阵的总人数呢？
生：小结实心方阵的总数求法。每边人数×每边人数=实心方阵的总人数。
[设计意图：从学生的生活经历引入，找准生活和数学的切入点，拉近数学和生活的距离。]
二、自主探索研究
1.了解空心方阵。
师：哪几行哪几列是最外层呢？请同学们用右边的矩形圈出哪些是最外层的人.。
学生在机器上操作，了解最外层的含义。
（2）学生圈出的如下图形。
（3）机器上中间部分的人物渐渐隐去，呈现空心方阵. （如上图）。
[设计意图：将信息技术作为认知工具与数学课程的整合，有利于呈现数量关系，建立数学模型，]
2.小组自主探究5x5的方阵中最外层人数的计算方法。
师：怎样计算这个方阵最外层的人数呢？我们一起来研究一下。
研究要求：（1）用一个算式表示最外层的人数。
（2）不同的算式请用不同的圈法。
（3）看哪个小组的方法又多又好。
（4）要求自己表述每一种算法与圈法的含义。
师：请同学们在屏幕上圈一圈，画一画，填一填，并把圈法及算法保存在屏幕左侧 ，然后继续寻找其他解决方法，屏幕。
生：电脑上操作。
[设计意图：动手操作在学生的认知过程中是不可缺少的，在圈一圈，画一画，填一填的过程中，加深学生对解决问题方法的感悟为之后建立表象作好铺垫。数与形结合，独立思考与合作研究相结合，运用多种策略解决问题。利用信息技术，动态地呈现学生分析的过程，在直观演示中突破难点。让学生在具体情境中充分动口、动手、动脑，培养了学生的自主学习能力和科学探究精神。]。
3.小组交流。
师：把你的想法和小组同学交流一下。（用语言表述每一种算法与圈法的含义）。
生A： 每边圈5个，有4个5，4个顶点的人数重复了.列式：4*5-4=16。
生B： 每边圈4个，有4个4.列式（5-1）*4=16。
生C： 每边圈3个，有4个4，还有4个顶点的人没数，列式：4*3+4=16。
生D： 先圈2个5，再圈2个3，合起来就是总人数。列式：5*2+3*2=16。
[设计意图：通过生生之间的交流培养学生合作意识使学生从数学问题，升华为思维展示的过程，培养学生的语言表达能力。同时利用信息技术中的监控手段，使听课教师随时监控到学生学习情况。]。
4.班级汇报：展示成果。其他小组补充不同的算法。
师：谁愿意把你的方法展示给同学们看？其他同学要求认真倾听，看自己同别人的想法有不同，再进行补充？。
生汇报方法一：4×5-4=16（人） 师：4×5表示什么？为什么要减4？重复的在哪儿？
生小结算理：每边5人，4边共有20人。4个顶点的人横行数了，竖数行也数了，数了两次，所以要减去数重复的。明确重复的在4个顶点，。
师评价：先直面重复，然后减去重复的部分。
生汇报方法二：（5-1）×4=16（人） 师：为什么减1？减1减去哪儿？
生明确算理：这个人横行数了，竖行就不数了，也就是数头不数尾。（每行（5-1）个人，减1就是把最后的一人减去了，而在竖行里数了.可以看出把16个人平均分成了4份。
师评价：避免了重复，把重复抛开。 生汇报方法三： 4×3+4=16（人） 师：4×3表示什么？为什么加4？（4×3表示什么每行只数中间的3个人，再加上4个顶点的人.）。
师：也是避免重复了。
生汇报方法四： 5×2+3×2=16（人） （ 横行有2个5，竖行有2个3）。
……
师根据学生的回答书写板书。（板书方法一：4×5-4=16（人） 方法二：？？（5-1）×4=16（人） 方法三： 4×3+4=16（人） 方法四： 5×2+3×2=16（人））并对其进行简要评价。
5.优化方法：
师：求最外层有多少人，同学们想出了这么多巧妙的方法，真了不起，这么多方法，你比较一下，在计算方法上有什么共同点？
生：乘4，乘2都是先分组。
师：你最喜欢哪种方法？为什么？
生： 指出分法既没有重复，又分成了完全相等的四部分，算法的好处，并提倡学生在计算中积极使用。
師小结：在解决类似这样问题的时候可以从这些方法中选择，你最喜欢的方法。
三、实践应用：
1.师：方阵问题不光存在队列中，生活中还有呢！你知道在哪吗？老师这里有一条谜语你猜到了就会知道：谁来读一下谜面？
生读：①猜谜语：十九乘十九， 黑白两对手，有眼看不见，无眼难活久。
（打一棋类名称） 师：谁猜到了？
生：围棋。
师：课件出示围棋格子图。问：围棋盘的最外层每边都能放19个棋子，最外层一共可以摆放多少个棋子？
③生：口答算式及算理。（算式：4×19-4=72（个） （19-1）×4=72（个）？）师板书。
④师：如果改为每边站200人，1000人，一周最少需要多少人？通过观察，你发现了什么相同之处？
⑤生总结规律：每边人数×4-4=方阵最外层的总数（每边人数-1）×4=方阵最外层的总数。 师随着学生的回答板书：
[设计意图：用谜语导入练习，从学生的已有生活经验出发，激发学生的学习兴趣，培养学生良好的兴趣爱好。]
2.师：课件出示： 儿童节就要到，学校为了迎接同学们的节日，举行团体操表演。四年级的学生排成下面的方阵，最外层一共有多少名学生？整个方阵有多少名学生？
生：在方框内完成，并汇报：求确最外层一共有多少名学生是求空心方阵的总数，也就是15×4-4=56（人）； 求整个方阵有多少名学生，是求整个实心方针的总人数也就是15×15=225（人）。
3.乐山之行。
师：本学期我们同学都第一次离开家长，跟着老师和同学到外面度过非常有意义的一周还记得去了哪里吗？（乐山）下面我们就一起回忆一下令人难忘的乐山之行吧！下面有包饺子、勇敢者之路、芭比娃娃、挟豆子4个活动区学生自由选择，进入自己最感兴趣的活动区！ 并完成相应的习题。
师：谁来汇报一下你选择了哪个区？是什么题？怎样做的？。
生汇报：
生1：我选择的是挟豆子，计算方法是8×4-4=28，所以选C。
生2 ：我选择的是包饺子，求确最外层有多少个饺子，算式是（9-1）×4=32（个）； 求一共包多少个饺子， 9×9=81（人）。
生3 ：我选择的是芭比娃娃，第一小组围坐方桌旁，每边坐4人，4个顶点都坐人，求每组有几人？也就是用4×4-4=12（人）。
生4：我选择的是勇敢者之路，算式是 48÷4+1=13 （人）或（48+4）÷4=13（人）。
师追问为什么+1？为什么+4？。
[设计意图：整个练习从现实生活出发提出数学问题，设计学生感兴趣的习题，使数学和生活紧密相连；同时利用信息技术中操作手段，让学生自主选择，独立完成，使数学与信息技术緊密结合，和谐发展。]
四、拓展延伸
1.师：为了美化校园，学校在正五边形的花坛周围摆上漂亮的鲜花.要在五边形的花坛边上摆上花盆，使每边都有5盆花，可以怎样摆放？最少需要几盆花？
生：机器上操作。
师：你先放在哪里？此时每边有几盆？还需放几盆？再口述算式。
生：先放五个顶点的，此时每边2盆，每边还要放3盆。5*3+5=20
2.拓展到曲线情况：
师：老师觉得这种摆法不够美观，我换了一种形式，你能算出我摆了几盆吗？
生：20盆。
师：你为什么算得这样快？
生：我发现摆放的位置变了，但每边的盆数没变，所以总数就没有改变。
[设计意图：借助信息技术手段，让学生独立操作，不但解决了数学问题，更能通过一目了然的对比感受到最简洁的方法，体现数学的简洁性以及数学的美。]
五、总结提升
师：同学们你们能说一说今天我们研究了一个什么问题？你是用什么方法来解决的吗？
生：我们学习了有关方阵中的数学问题，研究了如何求空心方阵最外层的总数，可以用方阵每边人数×4-4 ，或者用（每边人数-1）×4等多种方法求出最外层的总数。
师：其实在我们的生活中还有许多和这问题有关的知识和现象，只要你用心观察和体会，你就会发现数学就在我们身边，数学的美无处不在！。
六、课后延伸
1.学生展示课前收集的生活中的方阵。
师：我们班有几个同学非常想自己收集到的信息展示给同学们看看，下面我们来欣赏一下。
生：演示
2.教师提供博客延伸学生的课外学习。
师：同学们收集得那么美，我都按捺不住了，可由于时间关系，没办法展示出来了。请同学们登陆老师的博客欣赏。
[设计意图：借助信息技术的优势，将课内学习延伸到课外，让更多的同学有效利用现代信息技术学习手段，学习不同的数学使不同学生有不同的收获。]
师：首先请同学们欣赏一段短片，这个队伍是如何排列的，行数和列数有什么关系？
生：行数=列数。
师：像这样行数和列数相等的队伍就叫做方阵。
出示课题：今天就要来研究一下方阵中的数学问题。 师：怎样求这个方阵的总人数呢？
生：小结实心方阵的总数求法。每边人数×每边人数=实心方阵的总人数。
[设计意图：从学生的生活经历引入，找准生活和数学的切入点，拉近数学和生活的距离。]
二、自主探索研究
1.了解空心方阵。
师：哪几行哪几列是最外层呢？请同学们用右边的矩形圈出哪些是最外层的人.。
学生在机器上操作，了解最外层的含义。
（2）学生圈出的如下图形。
（3）机器上中间部分的人物渐渐隐去，呈现空心方阵. （如上图）。
[设计意图：将信息技术作为认知工具与数学课程的整合，有利于呈现数量关系，建立数学模型，]
2.小组自主探究5x5的方阵中最外层人数的计算方法。
师：怎样计算这个方阵最外层的人数呢？我们一起来研究一下。
研究要求：（1）用一个算式表示最外层的人数。
（2）不同的算式请用不同的圈法。
（3）看哪个小组的方法又多又好。
（4）要求自己表述每一种算法与圈法的含义。
师：请同学们在屏幕上圈一圈，画一画，填一填，并把圈法及算法保存在屏幕左侧 ，然后继续寻找其他解决方法，屏幕。
生：电脑上操作。
[设计意图：动手操作在学生的认知过程中是不可缺少的，在圈一圈，画一画，填一填的过程中，加深学生对解决问题方法的感悟为之后建立表象作好铺垫。数与形结合，独立思考与合作研究相结合，运用多种策略解决问题。利用信息技术，动态地呈现学生分析的过程，在直观演示中突破难点。让学生在具体情境中充分动口、动手、动脑，培养了学生的自主学习能力和科学探究精神。]。
3.小组交流。
师：把你的想法和小组同学交流一下。（用语言表述每一种算法与圈法的含义）。
生A： 每边圈5个，有4个5，4个顶点的人数重复了.列式：4*5-4=16。
生B： 每边圈4个，有4个4.列式（5-1）*4=16。
生C： 每边圈3个，有4个4，还有4个顶点的人没数，列式：4*3+4=16。
生D： 先圈2个5，再圈2个3，合起来就是总人数。列式：5*2+3*2=16。
[设计意图：通过生生之间的交流培养学生合作意识使学生从数学问题，升华为思维展示的过程，培养学生的语言表达能力。同时利用信息技术中的监控手段，使听课教师随时监控到学生学习情况。]。
4.班级汇报：展示成果。其他小组补充不同的算法。
师：谁愿意把你的方法展示给同学们看？其他同学要求认真倾听，看自己同别人的想法有不同，再进行补充？。
生汇报方法一：4×5-4=16（人） 师：4×5表示什么？为什么要减4？重复的在哪儿？
生小结算理：每边5人，4边共有20人。4个顶点的人横行数了，竖数行也数了，数了两次，所以要减去数重复的。明确重复的在4个顶点，。
师评价：先直面重复，然后减去重复的部分。
生汇报方法二：（5-1）×4=16（人） 师：为什么减1？减1减去哪儿？
生明确算理：这个人横行数了，竖行就不数了，也就是数头不数尾。（每行（5-1）个人，减1就是把最后的一人减去了，而在竖行里数了.可以看出把16个人平均分成了4份。
师评价：避免了重复，把重复抛开。 生汇报方法三： 4×3+4=16（人） 师：4×3表示什么？为什么加4？（4×3表示什么每行只数中间的3个人，再加上4个顶点的人.）。
师：也是避免重复了。
生汇报方法四： 5×2+3×2=16（人） （ 横行有2个5，竖行有2个3）。
……
师根据学生的回答书写板书。（板书方法一：4×5-4=16（人） 方法二：？？（5-1）×4=16（人） 方法三： 4×3+4=16（人） 方法四： 5×2+3×2=16（人））并对其进行简要评价。
5.优化方法：
师：求最外层有多少人，同学们想出了这么多巧妙的方法，真了不起，这么多方法，你比较一下，在计算方法上有什么共同点？
生：乘4，乘2都是先分组。
师：你最喜欢哪种方法？为什么？
生： 指出分法既没有重复，又分成了完全相等的四部分，算法的好处，并提倡学生在计算中积极使用。
師小结：在解决类似这样问题的时候可以从这些方法中选择，你最喜欢的方法。
三、实践应用：
1.师：方阵问题不光存在队列中，生活中还有呢！你知道在哪吗？老师这里有一条谜语你猜到了就会知道：谁来读一下谜面？
生读：①猜谜语：十九乘十九， 黑白两对手，有眼看不见，无眼难活久。
（打一棋类名称） 师：谁猜到了？
生：围棋。
师：课件出示围棋格子图。问：围棋盘的最外层每边都能放19个棋子，最外层一共可以摆放多少个棋子？
③生：口答算式及算理。（算式：4×19-4=72（个） （19-1）×4=72（个）？）师板书。
④师：如果改为每边站200人，1000人，一周最少需要多少人？通过观察，你发现了什么相同之处？
⑤生总结规律：每边人数×4-4=方阵最外层的总数（每边人数-1）×4=方阵最外层的总数。 师随着学生的回答板书：
[设计意图：用谜语导入练习，从学生的已有生活经验出发，激发学生的学习兴趣，培养学生良好的兴趣爱好。]
2.师：课件出示： 儿童节就要到，学校为了迎接同学们的节日，举行团体操表演。四年级的学生排成下面的方阵，最外层一共有多少名学生？整个方阵有多少名学生？
生：在方框内完成，并汇报：求确最外层一共有多少名学生是求空心方阵的总数，也就是15×4-4=56（人）； 求整个方阵有多少名学生，是求整个实心方针的总人数也就是15×15=225（人）。
3.乐山之行。
师：本学期我们同学都第一次离开家长，跟着老师和同学到外面度过非常有意义的一周还记得去了哪里吗？（乐山）下面我们就一起回忆一下令人难忘的乐山之行吧！下面有包饺子、勇敢者之路、芭比娃娃、挟豆子4个活动区学生自由选择，进入自己最感兴趣的活动区！ 并完成相应的习题。
师：谁来汇报一下你选择了哪个区？是什么题？怎样做的？。
生汇报：
生1：我选择的是挟豆子，计算方法是8×4-4=28，所以选C。
生2 ：我选择的是包饺子，求确最外层有多少个饺子，算式是（9-1）×4=32（个）； 求一共包多少个饺子， 9×9=81（人）。
生3 ：我选择的是芭比娃娃，第一小组围坐方桌旁，每边坐4人，4个顶点都坐人，求每组有几人？也就是用4×4-4=12（人）。
生4：我选择的是勇敢者之路，算式是 48÷4+1=13 （人）或（48+4）÷4=13（人）。
师追问为什么+1？为什么+4？。
[设计意图：整个练习从现实生活出发提出数学问题，设计学生感兴趣的习题，使数学和生活紧密相连；同时利用信息技术中操作手段，让学生自主选择，独立完成，使数学与信息技术緊密结合，和谐发展。]
四、拓展延伸
1.师：为了美化校园，学校在正五边形的花坛周围摆上漂亮的鲜花.要在五边形的花坛边上摆上花盆，使每边都有5盆花，可以怎样摆放？最少需要几盆花？
生：机器上操作。
师：你先放在哪里？此时每边有几盆？还需放几盆？再口述算式。
生：先放五个顶点的，此时每边2盆，每边还要放3盆。5*3+5=20
2.拓展到曲线情况：
师：老师觉得这种摆法不够美观，我换了一种形式，你能算出我摆了几盆吗？
生：20盆。
师：你为什么算得这样快？
生：我发现摆放的位置变了，但每边的盆数没变，所以总数就没有改变。
[设计意图：借助信息技术手段，让学生独立操作，不但解决了数学问题，更能通过一目了然的对比感受到最简洁的方法，体现数学的简洁性以及数学的美。]
五、总结提升
师：同学们你们能说一说今天我们研究了一个什么问题？你是用什么方法来解决的吗？
生：我们学习了有关方阵中的数学问题，研究了如何求空心方阵最外层的总数，可以用方阵每边人数×4-4 ，或者用（每边人数-1）×4等多种方法求出最外层的总数。
师：其实在我们的生活中还有许多和这问题有关的知识和现象，只要你用心观察和体会，你就会发现数学就在我们身边，数学的美无处不在！。
六、课后延伸
1.学生展示课前收集的生活中的方阵。
师：我们班有几个同学非常想自己收集到的信息展示给同学们看看，下面我们来欣赏一下。
生：演示
2.教师提供博客延伸学生的课外学习。
师：同学们收集得那么美，我都按捺不住了，可由于时间关系，没办法展示出来了。请同学们登陆老师的博客欣赏。
[设计意图：借助信息技术的优势，将课内学习延伸到课外，让更多的同学有效利用现代信息技术学习手段，学习不同的数学使不同学生有不同的收获。]