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[摘要]“长方体表面积应用问题”的教学是长方体教学的重点和难点。为改变传统的教学思路，在教学中用“微课题”的形式践行了“设计多层多样、实施多步多途”的措施，既渗透了数学思想方法，又提升了学生的数学思维水平。
[关键词]多样;多途;数学本质;思维品质
[中图分类号]
G623.5
[文献标识码]A
[文章编号] 1007-9068（ 2019）35-0019-04
在“立体图形的综合复习”的结课阶段，我出示了一道关于饮料罐的摆放数量及包装问题（如图1）。
学生通过计算，得出“可以摆放24罐饮料”。于是我追问：“如图2，24罐饮料可以包装成3x8、4x6、2x12等不同的形式，为什么厂家选择4x6的包装形式？请用自己的理解来说明理由。”
很多学生尝试列式计算三种外包装的表面积。五六分钟后，只有个别学生计算出了第一种包装方式的表面积。于是我就表面积的计算方法给出提示，可是耗费了很长时间，学生还是没有得出结论。我开始着急了：“由于时间关系，老师把这三种包装材料的计算方法都呈现在课件上。”就匆匆結束了……
这个尴尬的教学场景让我不由得回顾自己20多年的课堂教学，发现自己在课堂教学设计时存在着“四个一”——教学目标统一、学习方法单一、过程体验唯一、评价方式划一，从而导致课堂教学存在“四个缺”——新的教学理念缺位、指导自主学习观念缺少、关注学习过程体验缺失、引导自我评价能力缺乏。
为改变“四个一”和“四个缺”现象，我打算采用“微课题”的形式进行教学，下面就是用“四个多”来改变“四个一”和“四个缺”的具体措施。
【教学设计】长方体表面积的教学不能只停留在表面积的列式及套用公式进行机械计算的层面上，应在学生已有的知识经验以及思维水平上引入新的问题，引导学生运用所学的知识提升自己的思维能力，优化自己的运算及解题策略。于是我对长方体表面积可以渗透优化教学的问题进行了归类梳理，并提出了多层递进、多样显示的教学设想。
一、注意教材基础练习，营造情绪氛围
在学生学习了表面积的概念和计算方法（人教版教材五年级下册）之后，教材编排了一些练习帮助学生加以巩固。我对长方体表面积的计算练习进行了简单的梳理：
对于上述问题的教学，可让学生先自主尝试，然后利用学生的原始想法展开教学。首先引导学生观察自己列出的算式，运用乘法分配率一次或多次提取公因数;再引导学生进行空间想象，把多个面逐步转化成一个面。这就是常见的形与式的结合。
二、注重课内补充练习，创造优良环境
在长方体表面积计算的教学中，教师经常会在课堂上补充一些练习，学生在课外作业中也会经常遇到一些典型的问题。这些问题主要聚焦于包装材料上，也是可以进行优化教学的：
对于这两类问题的教学，需要学生把长方形想象成一个侧面加两个底面，对学生的空间想象能力要求比较高。第一类问题，需要学生考虑到有几种不同侧面的围法;第二类问题，需要学生进行观察比较，利用变中抓不变的思维方法进行推理，从而简化问题。
三、重视拓展延伸练习，促成深切体验
表面积的学习是一个不断延续的过程。到了六年级，学生还会接触到空心圆柱体、三棱柱等表面积的计算问题。这类问题，我把它归类为柱体的表面积计算，对其也进行一些优化教学的尝试：
这个是将长方体表面积问题进行延伸后的典型问题，可运用类比迁移的教学策略提炼出柱体的体积与表面积的计算方法。只要是柱体，在进行空间想象时，都可以引导学生把它想象成一个侧面加两个底面，在某种程度上起到了“化繁为简”的作用。
【实施措施】
优化意识不是一朝一夕就能建立的，它需要一个量的积累，以及逐步渗透、层层内化的过程。基于以上的分析和思考，我采用了缓坡度、慢节奏、细实施的教学方式，分三个层面、三个阶段开展。
一、利用运算定律，生成知识技能
在学习了长方体和正方体表面积的计算方法之后，我安排了一节练习课，重在引导学生运用乘法分配率，通过空间想象将一些图形进行重组和变化，从而优化思考问题的过程。
1.式形结合，提炼方法
课件出示（五年级下册练习六第5题（P36））：有一个用铁皮制作的长方体饼干盒，长lOcm、宽6cm、高12cm。如果围着它贴一圈商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积至少要多少平方厘米？请你尽可能用多种方法计算。
学生方法（如图3）：
师：来观察这几种方法，你能看懂吗？
生1：方法l是用前后两个面加上左右两个面。
生2：方法2是把4个面分成相邻的2组。
生3：方法3是用表面积减2个底面的面积。
师：你们能理解方法4吗？
生4：底面周长乘高。
师：这个变化过程可以借助实物一起来理解。（将长方体侧面展开，组织学生从算式和图形的角度来观察方法1、方法2和方法4的不同与联系（如图4））
师：观察算式后得知，三种方法之间运用了乘法分配率，优化了运算过程。从图形的变化来看，这是从2组相对面到2组相邻面到1组侧面的变化。
学生在算式优化以及图形组合的过程中，经历了2ah 2bh→2（ah bh）→2（a b）h的思考过程，最后得出求侧面积的计算方法是底面周长乘高，即S侧=Ch。
2.图形重组，化零为整
课件出示（五年级下册（37）页练习六的第9题）：
师：黄色油漆需要涂哪些面？怎么算？
生1：前面和后面，列式为（40x55 40x65 40x40）x2。
师：这三个面还可以怎么求？仔细观察这三个面有什么共同的特点。 生2：它们都有一条边相等，可以把它们组合在一起。
师：你能把想法画在黑板上吗？比如像图6这样。
在学生画出了示意图，并列出了计算方法“（ 65 55 45） x40x2”后，教师组织学生比较两种方法之间的变化关系，学生很快发现了隐含其中的乘法分配率，这就为学生思考问题提供了一条新的途径。
至此，在解决红色油漆面积的问题时，大部分学生就不再急着将每个面求出后再相加，而是先观察所求的面有没有共同的边。经过讨论交流之后，很快就有学生想出了新的方法：（ 55 40 10 40 25 40 40） x40。
师：你能看懂这位同学的方法吗？
生3：通过乘法分配率把40“拿”出来。
师：你发现了算式上的变化，那怎么想象这些图形发生的变化呢？
生3：把红色的面都接起来，然后变成一个大的长方形。括号里的就L是大长方形的长。（教师出示图7）
3.变曲为直，化整为零
课件出示：如图8，设计礼物的包装纸。请动手算一算、画一画，再判断这张包装纸够吗？可以怎么包装？
师：包装这个礼物需要考虑几个面？
生1：考虑6个面。
生2：只要考虑3个面就可以了。
生3：考虑兩个面，侧面和底面。可以先取一部分包装纸把礼物的侧面围起来，剩下部分再看够不够做底面就可以了。
教师组织学生再次尝试，但很多学生都放弃了之前的想法，按生3的想法来操作。有学生提出：长方体的侧面是可以变化的，可以把前后左右或上下前后，或上下左右当侧面，所以有多种包装方法。学生具体操作后得出两种方法（图略）。对此，教师没有直接肯定或是否定，而是引导学生在解决问题的时候视具体情况而定。
二、巧用通用公式，掌握核心方法
在结束圆柱体的体积以及表面积计算学习之后，学生已学完小学的立体图形知识。教材把长方体、正方体以及圆柱体的体积公式进行了统一，于是，我运用类比迁移的策略将柱体表面积计算方法统一，从而优化学生的思维能力。
师：这个图形（如图9）的表面由几个面组成？表面积如何算？
生1：5个面。因为它是柱体，表面积l为侧面加两个底面。
师：你觉得这里的侧面积可以怎么求？
生2：把三个长方形的面积加起来。
生3：因为侧面展开是一个长方形，所以可以用底面周长乘高来计算。长方形的长就是原来的三角形的周长，宽就是原来的高。
生4：结合算式“3x10 5x10 4x10=（3 5 lO）xl0”来理解，括号里是底面的周长。
学生在讨论交流长方体、正方体和圆柱的表面积计算方法的过程中，结合三棱柱的表面积计算方法，归纳得出柱体表面积公式“底面周长×高 2个底面积”。
把原来三维的问题看成了二维的问题，让学生看到柱体就能想到它的表面积是侧面加两个底面。将具有共同特征的图形的相关计算方法进行统一，不仅降低了对学生的计算要求，还可以发展学生的空间观念，提升学生的迁移能力。
三、妙用比例思想，培养综合思维能力
学完六年的数学课程，学生已经掌握了一定的运算技能，也具备了优化问题的意识，但在一些需要比较的问题上，他们还是习惯计算后再进行比较，比如本文一开始就提出的包装问题（如图2）。对此，我在复习阶段就引导学生用正比例思想去解决类似的问题，以拓宽学生研究问题的视角，从而优化解题策略。
1.出示问题，尝试解题
师（出示图1和图2）：这里的省料其实就是指什么？能用自己的理解说明问题吗？（大多数学生是用侧面积加两个底面积的计算方法）
2.讨论交流，寻求策略
师：有没有不是通过计算表面积进行比较的同学？
生1：都是24罐，底面是相等的，所以只要比较侧面积就行了。
生2：求侧面积也很麻烦啊。
生3：侧面积可以用底面周长乘高计算，既然高相等，只要比较底面周长就可以了。
生4：只要比较长与宽的和，因为周长等于长与宽的和乘2，这里的2是不变的。
3.深度讨论，直击本质
师：马上算一算长与宽的和分别是多少。
生5：4 6，8 3，12 2。
生6：4还得乘5.5，6也要乘5.5 -都要乘5.5再相加。
生7：不用的，大家都乘5.5，都一样，所以只要比较4 6、8 3、12 2就可以了。
师：对，可以通过计算得出4 6
[关键词]多样;多途;数学本质;思维品质
[中图分类号]
G623.5
[文献标识码]A
[文章编号] 1007-9068（ 2019）35-0019-04
在“立体图形的综合复习”的结课阶段，我出示了一道关于饮料罐的摆放数量及包装问题（如图1）。
学生通过计算，得出“可以摆放24罐饮料”。于是我追问：“如图2，24罐饮料可以包装成3x8、4x6、2x12等不同的形式，为什么厂家选择4x6的包装形式？请用自己的理解来说明理由。”
很多学生尝试列式计算三种外包装的表面积。五六分钟后，只有个别学生计算出了第一种包装方式的表面积。于是我就表面积的计算方法给出提示，可是耗费了很长时间，学生还是没有得出结论。我开始着急了：“由于时间关系，老师把这三种包装材料的计算方法都呈现在课件上。”就匆匆結束了……
这个尴尬的教学场景让我不由得回顾自己20多年的课堂教学，发现自己在课堂教学设计时存在着“四个一”——教学目标统一、学习方法单一、过程体验唯一、评价方式划一，从而导致课堂教学存在“四个缺”——新的教学理念缺位、指导自主学习观念缺少、关注学习过程体验缺失、引导自我评价能力缺乏。
为改变“四个一”和“四个缺”现象，我打算采用“微课题”的形式进行教学，下面就是用“四个多”来改变“四个一”和“四个缺”的具体措施。
【教学设计】长方体表面积的教学不能只停留在表面积的列式及套用公式进行机械计算的层面上，应在学生已有的知识经验以及思维水平上引入新的问题，引导学生运用所学的知识提升自己的思维能力，优化自己的运算及解题策略。于是我对长方体表面积可以渗透优化教学的问题进行了归类梳理，并提出了多层递进、多样显示的教学设想。
一、注意教材基础练习，营造情绪氛围
在学生学习了表面积的概念和计算方法（人教版教材五年级下册）之后，教材编排了一些练习帮助学生加以巩固。我对长方体表面积的计算练习进行了简单的梳理：
对于上述问题的教学，可让学生先自主尝试，然后利用学生的原始想法展开教学。首先引导学生观察自己列出的算式，运用乘法分配率一次或多次提取公因数;再引导学生进行空间想象，把多个面逐步转化成一个面。这就是常见的形与式的结合。
二、注重课内补充练习，创造优良环境
在长方体表面积计算的教学中，教师经常会在课堂上补充一些练习，学生在课外作业中也会经常遇到一些典型的问题。这些问题主要聚焦于包装材料上，也是可以进行优化教学的：
对于这两类问题的教学，需要学生把长方形想象成一个侧面加两个底面，对学生的空间想象能力要求比较高。第一类问题，需要学生考虑到有几种不同侧面的围法;第二类问题，需要学生进行观察比较，利用变中抓不变的思维方法进行推理，从而简化问题。
三、重视拓展延伸练习，促成深切体验
表面积的学习是一个不断延续的过程。到了六年级，学生还会接触到空心圆柱体、三棱柱等表面积的计算问题。这类问题，我把它归类为柱体的表面积计算，对其也进行一些优化教学的尝试：
这个是将长方体表面积问题进行延伸后的典型问题，可运用类比迁移的教学策略提炼出柱体的体积与表面积的计算方法。只要是柱体，在进行空间想象时，都可以引导学生把它想象成一个侧面加两个底面，在某种程度上起到了“化繁为简”的作用。
【实施措施】
优化意识不是一朝一夕就能建立的，它需要一个量的积累，以及逐步渗透、层层内化的过程。基于以上的分析和思考，我采用了缓坡度、慢节奏、细实施的教学方式，分三个层面、三个阶段开展。
一、利用运算定律，生成知识技能
在学习了长方体和正方体表面积的计算方法之后，我安排了一节练习课，重在引导学生运用乘法分配率，通过空间想象将一些图形进行重组和变化，从而优化思考问题的过程。
1.式形结合，提炼方法
课件出示（五年级下册练习六第5题（P36））：有一个用铁皮制作的长方体饼干盒，长lOcm、宽6cm、高12cm。如果围着它贴一圈商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积至少要多少平方厘米？请你尽可能用多种方法计算。
学生方法（如图3）：
师：来观察这几种方法，你能看懂吗？
生1：方法l是用前后两个面加上左右两个面。
生2：方法2是把4个面分成相邻的2组。
生3：方法3是用表面积减2个底面的面积。
师：你们能理解方法4吗？
生4：底面周长乘高。
师：这个变化过程可以借助实物一起来理解。（将长方体侧面展开，组织学生从算式和图形的角度来观察方法1、方法2和方法4的不同与联系（如图4））
师：观察算式后得知，三种方法之间运用了乘法分配率，优化了运算过程。从图形的变化来看，这是从2组相对面到2组相邻面到1组侧面的变化。
学生在算式优化以及图形组合的过程中，经历了2ah 2bh→2（ah bh）→2（a b）h的思考过程，最后得出求侧面积的计算方法是底面周长乘高，即S侧=Ch。
2.图形重组，化零为整
课件出示（五年级下册（37）页练习六的第9题）：
师：黄色油漆需要涂哪些面？怎么算？
生1：前面和后面，列式为（40x55 40x65 40x40）x2。
师：这三个面还可以怎么求？仔细观察这三个面有什么共同的特点。 生2：它们都有一条边相等，可以把它们组合在一起。
师：你能把想法画在黑板上吗？比如像图6这样。
在学生画出了示意图，并列出了计算方法“（ 65 55 45） x40x2”后，教师组织学生比较两种方法之间的变化关系，学生很快发现了隐含其中的乘法分配率，这就为学生思考问题提供了一条新的途径。
至此，在解决红色油漆面积的问题时，大部分学生就不再急着将每个面求出后再相加，而是先观察所求的面有没有共同的边。经过讨论交流之后，很快就有学生想出了新的方法：（ 55 40 10 40 25 40 40） x40。
师：你能看懂这位同学的方法吗？
生3：通过乘法分配率把40“拿”出来。
师：你发现了算式上的变化，那怎么想象这些图形发生的变化呢？
生3：把红色的面都接起来，然后变成一个大的长方形。括号里的就L是大长方形的长。（教师出示图7）
3.变曲为直，化整为零
课件出示：如图8，设计礼物的包装纸。请动手算一算、画一画，再判断这张包装纸够吗？可以怎么包装？
师：包装这个礼物需要考虑几个面？
生1：考虑6个面。
生2：只要考虑3个面就可以了。
生3：考虑兩个面，侧面和底面。可以先取一部分包装纸把礼物的侧面围起来，剩下部分再看够不够做底面就可以了。
教师组织学生再次尝试，但很多学生都放弃了之前的想法，按生3的想法来操作。有学生提出：长方体的侧面是可以变化的，可以把前后左右或上下前后，或上下左右当侧面，所以有多种包装方法。学生具体操作后得出两种方法（图略）。对此，教师没有直接肯定或是否定，而是引导学生在解决问题的时候视具体情况而定。
二、巧用通用公式，掌握核心方法
在结束圆柱体的体积以及表面积计算学习之后，学生已学完小学的立体图形知识。教材把长方体、正方体以及圆柱体的体积公式进行了统一，于是，我运用类比迁移的策略将柱体表面积计算方法统一，从而优化学生的思维能力。
师：这个图形（如图9）的表面由几个面组成？表面积如何算？
生1：5个面。因为它是柱体，表面积l为侧面加两个底面。
师：你觉得这里的侧面积可以怎么求？
生2：把三个长方形的面积加起来。
生3：因为侧面展开是一个长方形，所以可以用底面周长乘高来计算。长方形的长就是原来的三角形的周长，宽就是原来的高。
生4：结合算式“3x10 5x10 4x10=（3 5 lO）xl0”来理解，括号里是底面的周长。
学生在讨论交流长方体、正方体和圆柱的表面积计算方法的过程中，结合三棱柱的表面积计算方法，归纳得出柱体表面积公式“底面周长×高 2个底面积”。
把原来三维的问题看成了二维的问题，让学生看到柱体就能想到它的表面积是侧面加两个底面。将具有共同特征的图形的相关计算方法进行统一，不仅降低了对学生的计算要求，还可以发展学生的空间观念，提升学生的迁移能力。
三、妙用比例思想，培养综合思维能力
学完六年的数学课程，学生已经掌握了一定的运算技能，也具备了优化问题的意识，但在一些需要比较的问题上，他们还是习惯计算后再进行比较，比如本文一开始就提出的包装问题（如图2）。对此，我在复习阶段就引导学生用正比例思想去解决类似的问题，以拓宽学生研究问题的视角，从而优化解题策略。
1.出示问题，尝试解题
师（出示图1和图2）：这里的省料其实就是指什么？能用自己的理解说明问题吗？（大多数学生是用侧面积加两个底面积的计算方法）
2.讨论交流，寻求策略
师：有没有不是通过计算表面积进行比较的同学？
生1：都是24罐，底面是相等的，所以只要比较侧面积就行了。
生2：求侧面积也很麻烦啊。
生3：侧面积可以用底面周长乘高计算，既然高相等，只要比较底面周长就可以了。
生4：只要比较长与宽的和，因为周长等于长与宽的和乘2，这里的2是不变的。
3.深度讨论，直击本质
师：马上算一算长与宽的和分别是多少。
生5：4 6，8 3，12 2。
生6：4还得乘5.5，6也要乘5.5 -都要乘5.5再相加。
生7：不用的，大家都乘5.5，都一样，所以只要比较4 6、8 3、12 2就可以了。
师：对，可以通过计算得出4 6