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“模型思想”是《义务教育数学课程标准》（2011年版）十大核心词之一。新课标指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。
从以上论述中可以看出，建立数学模型必须立足于生活情境，对生活情境中的实际问题加以提炼，得到能反映问题变化的数量关系和规律，即数学模型，并且重新进入情境验证模型，用模型解释现实问题。重视培育和发展学生的模型思想对学生的后续发展是有利的。一方面能使学生对知识追本溯源，深刻理解知识本质；另一方面也能在一定程度上提高数学学习的兴趣和数学应用意识。
下面，笔者从“乘法运算律”的教学实际入手，并由此想开去，谈谈数学建模的实践与思考。
一、单层级意义理解，学生感悟深刻吗
“乘法运算律”是苏教版数学四年级下册的教学内容，例3、例4、例5分别教学乘法交换律、结合律和分配律。
例3的教学流程一般是这样的：出示情境图说说信息（有3组学生踢毽子，每组5人）与问题（一共有多少人踢毽子）；学生列式计算（5×3=15人或3×5=15人），初步感知两道算式有什么相同和不同；根据结果相同，用等号连接组成等式5×3=3×5；比较等号两边算式的异同，进一步感知规律；小组活动举例验证，说说发现；小组展示研究成果，在交流中概括出乘法交换律的意义，并用字母式表示；揭示乘法交换律的名称。
意义理解是模型建构的基础，但是单层级感知算式意义，会造成对运算律的理解不够厚实，不利于模型建构。以上教学过程中单层级感知算式意义表现在：因为5×3=15人，3×5=15人，结果相同，所以可以用等号连接组成等式。这样单纯从得数上比较算式，忽视了情境图在理解等式成立上的功能。笔者认为，乘法交换律、结合律的教学可以从两个层级促进意义理解。即从得数直观发现相等，再到结合情境从数量关系的角度说明相等，而乘法分配律的教学可以再多一个从运算意义的角度说明相等。多层级促意义理解，学生才能感悟深刻，才能为建构模型奠定坚实基础。
意义理解除了要多层级感知，还要注意多方式感知。感知意义的方式有：算式、图形、动作提示等。众多方式中最常用的就是“博喻”，俗称“打比方”。
【乘法分配律教学片段】
[根据情境图抽象出等式（6 4）×24=6×24 4×24，并引导学生观察]
师：这些算式有什么特点？
生：等号左边是两个数相加，再用它们的和乘第三个数。右边是用这两个数分别与第三个数相乘，再把积相加。
师：老师发现，这个算式与我们生活中学生拜访老师有点相似。（学生愕然）
师：“6”和“4”好比是两个同学，他们手拉着手[板书：（6 4）]一起去拜访老师“24”[板书：24]。门开了，老师很高兴，伸出手先与第一个同学握手[板书：6×24]，又与第二个同学握手[板书：4×24]，最后一起坐在沙发上[板书：6×24 4×24]。
生：真像！真像！
用“老师”和“学生”比作算式中的数，由生活场景中的“握手”类推至计算，学生不费吹灰之力就理解了算式的意义。一个形象的比喻，突破了教学难点。
二、纯模仿符号表达，学生自觉主动吗
深刻感知算式意义后进行情境剥离，在抽象思考的基础上建立模型，才是发展学生数学思考力的根本。它是指知识从具体的情境中分离抽象出来，从而超越情境成为概括性知识，也就是“数学化”的过程。在“乘法结合律”的教学中，教者引导学生抽象完成字母表达式的过程一般是这样的：写一些与（23×5）×6=23×（5×6）一样的等式，说说发现，验证猜想；字母a、b、c分别表示三个数，以上等式可以写成（a×b）×c=a×（b×c），板书字母式完成数学建模。上述教学从一般叙述到抽象化、符号化表达的过程过于单薄和牵强。这样的建模过程是纯模仿性的，是被动的，学生缺乏主动、自觉的意识。因此，笔者认为，由具体的实例抽象出字母式要在学生充分领悟情境内涵，并在积极的内驱下主动完成。
【乘法结合律教学片段】
板书学生举例的等式。
师：这样的等式写得完吗？（写不完）（教师在最后一个等式的后面加上省略号）
师：黑板上现在有无数个等式，老师却能用一个式子全概括进去。相信吗？
“老师却能用一个式子全概括进去。”简短的一句话，调动了学生积极探究的兴趣。从文字表达，到符号表达，再到字母表达，学生在自身内驱力的作用下一步步完成模型建立。
由于受年龄特点和知识基础的制约，学生自觉主动建模的意识不强，实际教学中教师也可以用“逼”的方法促进主动建构。如教学“用数对确定位置”时，教师快速报10个用“第几列第几行”描述的位置，学生来不及记录，于是想到用“53”“5-3”“5.3”“（53）”“（5-3）”等简单的记录方法，然后进行交流与评析，最后出示正确规范的表示方法“（5，3）”。又如教学“表面涂色的正方体”，棱三等分时三面、两面、一面涂色的小正方体各有多少个？当学生分组切分操作完成后，教师说：“你们用时5分钟，太慢了。能快一点吗？”促使学生根据三面、两面、一面涂色的小正方体在大正方体的位置特征进行计算。
此外，在建构模型的过程中还要重视几何直观与语言表述，化复杂为简单，化抽象为形象。曹培英老师认为，几何直观和语言描述在建模中的作用很大，适当的现实情境与几何直观，即生活经验的刺激与视觉观察，可以相辅相成。建模的过程是抽象的、复杂的，教师要注意找寻方法，多举措促使学生自觉主动地完成建模。
三、弃模型追求凑整，利于解释记忆吗
完成抽象化、符号化表达后就进入解释、应用环节。此环节能促使学生对图形表达和符号化的理解。乘法结合律的课堂练习有两道练习题，学生分男女生两组计算第二题的两组题。根据速度的快慢，学生初步感悟凑整法的优越性。在第三题算三数之积时，学生不约而同算成4×5×30=600，教师小结：用凑整法算三数之积比较简便。笔者认为这样处理习题，脱离了运算律教学，违背了编者意图，不利于学生解释和记忆模型。运算律知识集中安排在四年级下册，当堂的教学效果貌似可以，但是遇到综合练习、特征变式、有隐蔽数的时候错误就会增多，原因是学生对运算律的形式结构理解、记忆得不到位。笔者对运算律解释、应用环节的教学有两点建议：
其一，对比与直观，加强模型理解。在实际教学中，要强化题组对比，有不同运算律习题之间的对比、能简算与不能简算习题之间的对比、同一道题不同计算方法之间的对比，等等。在对比练习中使学生理解模型，并内化为自身的知识结构。为了防止思维僵化与机械记忆，要重视几何直观在理解模型上的作用，用几何直观支撑具体习题，让抽象、静态的式题具象化、动态化。这是从“意”的角度解释应用模型。
其二，对应与观察，加强模型记忆。运算律教学不仅要从“意”上理解，也要能从“形”上记忆，努力做到“形意兼备”。在面对具体题目时，不必每次返回情境，可以直接套用脑中的运算律模型表象。就像金匠师傅浇铸金器使用的模具，一次成型，多次使用，不必每次先筑模。所以，教学中要注意引导学生说出式题中的数分别对应运算律里的哪个字母，在“数”与“字母”、“式”与“型”的对应中加强记忆。此外，还要引导学生关注细节，通过对左右两个式子结构特征的细微观察，固化模型。这是从“形”的角度解释应用模型。
综上所述，模型思想是重要的数学思想，在实际教学中要多层级、多方式促意义理解，多方法、多举措促主动建模，多观察、多对比促应用内化，让学生思维不僵化，理解更深刻，努力培养学生追本溯源的数学精神，发展应用意识。
从以上论述中可以看出，建立数学模型必须立足于生活情境，对生活情境中的实际问题加以提炼，得到能反映问题变化的数量关系和规律，即数学模型，并且重新进入情境验证模型，用模型解释现实问题。重视培育和发展学生的模型思想对学生的后续发展是有利的。一方面能使学生对知识追本溯源，深刻理解知识本质；另一方面也能在一定程度上提高数学学习的兴趣和数学应用意识。
下面，笔者从“乘法运算律”的教学实际入手，并由此想开去，谈谈数学建模的实践与思考。
一、单层级意义理解，学生感悟深刻吗
“乘法运算律”是苏教版数学四年级下册的教学内容，例3、例4、例5分别教学乘法交换律、结合律和分配律。
例3的教学流程一般是这样的：出示情境图说说信息（有3组学生踢毽子，每组5人）与问题（一共有多少人踢毽子）；学生列式计算（5×3=15人或3×5=15人），初步感知两道算式有什么相同和不同；根据结果相同，用等号连接组成等式5×3=3×5；比较等号两边算式的异同，进一步感知规律；小组活动举例验证，说说发现；小组展示研究成果，在交流中概括出乘法交换律的意义，并用字母式表示；揭示乘法交换律的名称。
意义理解是模型建构的基础，但是单层级感知算式意义，会造成对运算律的理解不够厚实，不利于模型建构。以上教学过程中单层级感知算式意义表现在：因为5×3=15人，3×5=15人，结果相同，所以可以用等号连接组成等式。这样单纯从得数上比较算式，忽视了情境图在理解等式成立上的功能。笔者认为，乘法交换律、结合律的教学可以从两个层级促进意义理解。即从得数直观发现相等，再到结合情境从数量关系的角度说明相等，而乘法分配律的教学可以再多一个从运算意义的角度说明相等。多层级促意义理解，学生才能感悟深刻，才能为建构模型奠定坚实基础。
意义理解除了要多层级感知，还要注意多方式感知。感知意义的方式有：算式、图形、动作提示等。众多方式中最常用的就是“博喻”，俗称“打比方”。
【乘法分配律教学片段】
[根据情境图抽象出等式（6 4）×24=6×24 4×24，并引导学生观察]
师：这些算式有什么特点？
生：等号左边是两个数相加，再用它们的和乘第三个数。右边是用这两个数分别与第三个数相乘，再把积相加。
师：老师发现，这个算式与我们生活中学生拜访老师有点相似。（学生愕然）
师：“6”和“4”好比是两个同学，他们手拉着手[板书：（6 4）]一起去拜访老师“24”[板书：24]。门开了，老师很高兴，伸出手先与第一个同学握手[板书：6×24]，又与第二个同学握手[板书：4×24]，最后一起坐在沙发上[板书：6×24 4×24]。
生：真像！真像！
用“老师”和“学生”比作算式中的数，由生活场景中的“握手”类推至计算，学生不费吹灰之力就理解了算式的意义。一个形象的比喻，突破了教学难点。
二、纯模仿符号表达，学生自觉主动吗
深刻感知算式意义后进行情境剥离，在抽象思考的基础上建立模型，才是发展学生数学思考力的根本。它是指知识从具体的情境中分离抽象出来，从而超越情境成为概括性知识，也就是“数学化”的过程。在“乘法结合律”的教学中，教者引导学生抽象完成字母表达式的过程一般是这样的：写一些与（23×5）×6=23×（5×6）一样的等式，说说发现，验证猜想；字母a、b、c分别表示三个数，以上等式可以写成（a×b）×c=a×（b×c），板书字母式完成数学建模。上述教学从一般叙述到抽象化、符号化表达的过程过于单薄和牵强。这样的建模过程是纯模仿性的，是被动的，学生缺乏主动、自觉的意识。因此，笔者认为，由具体的实例抽象出字母式要在学生充分领悟情境内涵，并在积极的内驱下主动完成。
【乘法结合律教学片段】
板书学生举例的等式。
师：这样的等式写得完吗？（写不完）（教师在最后一个等式的后面加上省略号）
师：黑板上现在有无数个等式，老师却能用一个式子全概括进去。相信吗？
“老师却能用一个式子全概括进去。”简短的一句话，调动了学生积极探究的兴趣。从文字表达，到符号表达，再到字母表达，学生在自身内驱力的作用下一步步完成模型建立。
由于受年龄特点和知识基础的制约，学生自觉主动建模的意识不强，实际教学中教师也可以用“逼”的方法促进主动建构。如教学“用数对确定位置”时，教师快速报10个用“第几列第几行”描述的位置，学生来不及记录，于是想到用“53”“5-3”“5.3”“（53）”“（5-3）”等简单的记录方法，然后进行交流与评析，最后出示正确规范的表示方法“（5，3）”。又如教学“表面涂色的正方体”，棱三等分时三面、两面、一面涂色的小正方体各有多少个？当学生分组切分操作完成后，教师说：“你们用时5分钟，太慢了。能快一点吗？”促使学生根据三面、两面、一面涂色的小正方体在大正方体的位置特征进行计算。
此外，在建构模型的过程中还要重视几何直观与语言表述，化复杂为简单，化抽象为形象。曹培英老师认为，几何直观和语言描述在建模中的作用很大，适当的现实情境与几何直观，即生活经验的刺激与视觉观察，可以相辅相成。建模的过程是抽象的、复杂的，教师要注意找寻方法，多举措促使学生自觉主动地完成建模。
三、弃模型追求凑整，利于解释记忆吗
完成抽象化、符号化表达后就进入解释、应用环节。此环节能促使学生对图形表达和符号化的理解。乘法结合律的课堂练习有两道练习题，学生分男女生两组计算第二题的两组题。根据速度的快慢，学生初步感悟凑整法的优越性。在第三题算三数之积时，学生不约而同算成4×5×30=600，教师小结：用凑整法算三数之积比较简便。笔者认为这样处理习题，脱离了运算律教学，违背了编者意图，不利于学生解释和记忆模型。运算律知识集中安排在四年级下册，当堂的教学效果貌似可以，但是遇到综合练习、特征变式、有隐蔽数的时候错误就会增多，原因是学生对运算律的形式结构理解、记忆得不到位。笔者对运算律解释、应用环节的教学有两点建议：
其一，对比与直观，加强模型理解。在实际教学中，要强化题组对比，有不同运算律习题之间的对比、能简算与不能简算习题之间的对比、同一道题不同计算方法之间的对比，等等。在对比练习中使学生理解模型，并内化为自身的知识结构。为了防止思维僵化与机械记忆，要重视几何直观在理解模型上的作用，用几何直观支撑具体习题，让抽象、静态的式题具象化、动态化。这是从“意”的角度解释应用模型。
其二，对应与观察，加强模型记忆。运算律教学不仅要从“意”上理解，也要能从“形”上记忆，努力做到“形意兼备”。在面对具体题目时，不必每次返回情境，可以直接套用脑中的运算律模型表象。就像金匠师傅浇铸金器使用的模具，一次成型，多次使用，不必每次先筑模。所以，教学中要注意引导学生说出式题中的数分别对应运算律里的哪个字母，在“数”与“字母”、“式”与“型”的对应中加强记忆。此外，还要引导学生关注细节，通过对左右两个式子结构特征的细微观察，固化模型。这是从“形”的角度解释应用模型。
综上所述，模型思想是重要的数学思想，在实际教学中要多层级、多方式促意义理解，多方法、多举措促主动建模，多观察、多对比促应用内化，让学生思维不僵化，理解更深刻，努力培养学生追本溯源的数学精神，发展应用意识。