论文部分内容阅读
在学习三角函数的过程中,若能充分利用三角函数的图象, 从函数图象信息中寻找解题思路,不仅形象直观,还能够体现图象这一解决问题有效工具，本文举例剖析三角函数图象在解题中的应用，供大家学习时参考．
1. 由图象求函数解析式
例1 设[fx=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ≤π)]最高点M的坐标为[2,2]，曲线上的点P由点M运动到相邻的最低点N时，在点Q（6，0）处越过[x]轴，（1）求[A]、[ω、φ]的值；（2）确定[gx]表达式使其图象与[fx]的图象关于直线[x=8]对称．
分析 （1）依据[A]、[ω、φ]的意义，结合条件便可求得；（2）因为[gx]的图象与[fx]图象关于直线[x=8]对称，可借助解析几何中的相关点的代入法求解．
解 （1）由题意，得[A＝2]，又有[T4=6-2=4]，得[T=16]，∴[ω=π8]. 又有最高点M的横坐标是2，且[T4=4]，得[x0=-2]. 又有[x0=-φω]，得[φ=π4]．
（2）设点[Ax,y]是[gx]图象上的任意一点，则点A关于直线[x=8]对称的对称点[Bx,y]应在[fx]的图象上，由[x+x2=8,y=y.]得[x=16-x,y=y.]代入[fx]可得[gx=-2sinπ8x-π4]．
点评 解此题，首先要理解各个参数的意义，再结合已知条件列出相应的方程求解．
2．利用图象求面积
例2 函数[y=2sinx][x∈π2,5π2]的图象和直线[y＝2]围成一个封闭的平面图形，求它的面积.
分析 如图1，当[x∈π2,5π2]时，[y=2sinx]的图象是对称的，利用割补法求面积即可．
解 依据三角函数[y=2sinx]及图象的对称性，其面积为[S=2π×2=4π]．
点评 三角函数曲线围成的图形，目前我们没有公式可以用来求面积，但是，可以根据题目的特点借助函数的性质及图形的特征，采取适当的方法求面积.
3．利用图象求最值
例3 设[ω]>0,函数[y=sin(ωx+π3)+2]的图象向右平移[4π3]个单位后与原图象重合，则[ω]的最小值是（）
A. [23] B. [43] C. [32]D. 3
分析 将[y=sin(ωx+π3)+2]的图象向右平移[4π3]个单位后为[y=sin[ω(x-4π3)+π3]+2][=sin(ωx+][π3-4ωπ3)+2]，所以有[4ωπ3][=2kπ],即[ω=3k2]. 又因为[ω>0]，所以[k≥1,]故[ω=3k2]≥[32]，所以选C．
点评 本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，以及同学们对知识灵活掌握的程度．
4. 利用图象求方程的根问题
例4 方程[sin2x=sinx]在区间[0,2π]内的解的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
分析 在同一平面坐标系内分别画出在区间[0,2π]内[y=sin2x]和[y=sinx]的图象，观察交点的个数就得到解的个数．
由图2可知，在区间[0,2π]内[y=sin2x]和[y=sinx]有3个交点，即方程[sin2x=sinx]在区间[0,2π]内有3个解．故选C．
点评 只有极少数三角方程可以直接求解，求解的个数，一般采用图象法．
5．利用图象解不等式问题
例5 当[0≤x≤1时]，不等式[sinπx2≥kx]成立，则实数[k]的取值范围是.
分析 设[t=π2x,0≤x≤1,]则[x=2πt]，[0≤t≤π2]. 不等式转化为[sint≥2kπt]在[0≤t≤π2]时恒成立．设[y=sint,y=2kπt]，图象如图3所示：
在[[0,π2]]上，函数[y=sint]的图象在函数[y=2kπt]的图象的上方，所以[2kπ•π2≤1]，故[k≤1].
点评 本题属于非常规方程，利用传统方法难以解决，如果利用函数思想结合三角函数的图象进行求解，则可以快速解决，同时降低了问题难度．
6. 利用图象研究函数的性质
例6 已知函数[f(x)=xsinx]的图象是下列两个图象中的哪一个，如图4，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若[x1、x2∈(-π2,π2)]，且[f(x1) [（1）（2）]
A．[x1>x2] B．[x1+x2>0]
C．[x1 分析 比较两个函数的图象,从对称性的角度进行判断可以确定函数的图象.再运用确定的函数图象，结合给出的条件，理解其含义（如单调性、与原点的距离等），从直观上给予判断.
函数[f(x)=x⋅sinx]是偶函数，故其图象关于[y]轴对称，应选第二个图象，当[x∈(-π2,π2)]时，根据图象的特征可知，距[y]轴越远，[f(x)]的值越大．
因为[f(x1) 点评 通过观察图象的特征（对称性、奇偶性、特殊点等）对图象进行分析．
1. 由图象求函数解析式
例1 设[fx=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ≤π)]最高点M的坐标为[2,2]，曲线上的点P由点M运动到相邻的最低点N时，在点Q（6，0）处越过[x]轴，（1）求[A]、[ω、φ]的值；（2）确定[gx]表达式使其图象与[fx]的图象关于直线[x=8]对称．
分析 （1）依据[A]、[ω、φ]的意义，结合条件便可求得；（2）因为[gx]的图象与[fx]图象关于直线[x=8]对称，可借助解析几何中的相关点的代入法求解．
解 （1）由题意，得[A＝2]，又有[T4=6-2=4]，得[T=16]，∴[ω=π8]. 又有最高点M的横坐标是2，且[T4=4]，得[x0=-2]. 又有[x0=-φω]，得[φ=π4]．
（2）设点[Ax,y]是[gx]图象上的任意一点，则点A关于直线[x=8]对称的对称点[Bx,y]应在[fx]的图象上，由[x+x2=8,y=y.]得[x=16-x,y=y.]代入[fx]可得[gx=-2sinπ8x-π4]．
点评 解此题，首先要理解各个参数的意义，再结合已知条件列出相应的方程求解．
2．利用图象求面积
例2 函数[y=2sinx][x∈π2,5π2]的图象和直线[y＝2]围成一个封闭的平面图形，求它的面积.
分析 如图1，当[x∈π2,5π2]时，[y=2sinx]的图象是对称的，利用割补法求面积即可．
解 依据三角函数[y=2sinx]及图象的对称性，其面积为[S=2π×2=4π]．
点评 三角函数曲线围成的图形，目前我们没有公式可以用来求面积，但是，可以根据题目的特点借助函数的性质及图形的特征，采取适当的方法求面积.
3．利用图象求最值
例3 设[ω]>0,函数[y=sin(ωx+π3)+2]的图象向右平移[4π3]个单位后与原图象重合，则[ω]的最小值是（）
A. [23] B. [43] C. [32]D. 3
分析 将[y=sin(ωx+π3)+2]的图象向右平移[4π3]个单位后为[y=sin[ω(x-4π3)+π3]+2][=sin(ωx+][π3-4ωπ3)+2]，所以有[4ωπ3][=2kπ],即[ω=3k2]. 又因为[ω>0]，所以[k≥1,]故[ω=3k2]≥[32]，所以选C．
点评 本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，以及同学们对知识灵活掌握的程度．
4. 利用图象求方程的根问题
例4 方程[sin2x=sinx]在区间[0,2π]内的解的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
分析 在同一平面坐标系内分别画出在区间[0,2π]内[y=sin2x]和[y=sinx]的图象，观察交点的个数就得到解的个数．
由图2可知，在区间[0,2π]内[y=sin2x]和[y=sinx]有3个交点，即方程[sin2x=sinx]在区间[0,2π]内有3个解．故选C．
点评 只有极少数三角方程可以直接求解，求解的个数，一般采用图象法．
5．利用图象解不等式问题
例5 当[0≤x≤1时]，不等式[sinπx2≥kx]成立，则实数[k]的取值范围是.
分析 设[t=π2x,0≤x≤1,]则[x=2πt]，[0≤t≤π2]. 不等式转化为[sint≥2kπt]在[0≤t≤π2]时恒成立．设[y=sint,y=2kπt]，图象如图3所示：
在[[0,π2]]上，函数[y=sint]的图象在函数[y=2kπt]的图象的上方，所以[2kπ•π2≤1]，故[k≤1].
点评 本题属于非常规方程，利用传统方法难以解决，如果利用函数思想结合三角函数的图象进行求解，则可以快速解决，同时降低了问题难度．
6. 利用图象研究函数的性质
例6 已知函数[f(x)=xsinx]的图象是下列两个图象中的哪一个，如图4，请你选择后再根据图象作出下面的判断：若[x1、x2∈(-π2,π2)]，且[f(x1)
A．[x1>x2] B．[x1+x2>0]
C．[x1
函数[f(x)=x⋅sinx]是偶函数，故其图象关于[y]轴对称，应选第二个图象，当[x∈(-π2,π2)]时，根据图象的特征可知，距[y]轴越远，[f(x)]的值越大．
因为[f(x1)