论文部分内容阅读
这是一道我在初2011级中考复习时见到的一道，位于整个试卷的倒数第二个位置，本题原本是两个问题，第一问证明三角形相似，第二问才是求GF之长。第一小问学生整体完成得不错，第二小问大部分同学遇到了困难。我在思考本题目时按常规的方法A找到了答案，在评讲时，按题目给出的条件进行分析，很快的学生发散开了思维，在探索中，在努力中，在主动中，在整个课堂中，师生倍受鼓舞，我们到达了数学教学追求的较高境界，使我明白了数学教学的真谛，现与大家分享。
已知：如图1，AB是圆G的直径，C是圆上一点且AC=6，BC=4，∠ACB的平分线交⊙G于D，AE⊥CD于H交⊙G于F，连接CE，GF。试计算GF之长。
由于之前同学们在做的时候对本题有畏难情绪，所以我出示之后大家不怎么讲话，可能也不知从何讲起。我首先说既然我们想算GF之长，按通常的处理方法应该先将GF放入一个图形中，同学们考虑一下，到底怎么放，是找现成有图形呢，还是动手画辅助线？我们同时又要看到本题圆这个背景，G是圆心，F是两弦AE和CD的交点。突然有同学说到垂径定理，我顺势提示：你动手画一下进行体会，如图2，一部分同学作了GH⊥AE于H。那要求GF，需要先求出什么条件呢，七嘴八舌的，要找GH和HF。先看GH，学生很快发现它是△ABE的中位线，先求出BE就行了，有的同学说：“我连接BE”。那BE怎么求呢？我问，“依赖于Rt△ABE”，学生说。“只要求出AE就行了”，又有学生接了上来。我问：由于AE⊥CD，我们是将AE当成整体计算还是分成部分呢？最的我们达成共识：在AC已知，∠ACF=45°时，当然要先算AF= 。那EF如果找到全部问题就解决了，连接DE发现了等腰直角DFE，BE∥CD，弧BC与弧DE相等……所以DE=BC=4，EF= ，AE= ，这样就可由GF=得答案。并不沉浸在得到答案的喜悦中，我对学生说：同学们，刚才我们看到GH和FH有什么关系？那进一步我们可不可以从Rt△HGF的角度方面来思考呢？于是就有了下面的方法。
如图3，因为AF=CF，AE⊥CD于H，连接CG，发现△AGF≌△CGF，得出∠GFC=45°，所以可设GH=HF=x,AH=AF-x= -x,AG是半径，在直角三角形AGH中可由勾股定理求出x，从而求出GF。
在这次的解法中我们得出得出∠GFC=45°的结论，再联系等腰直角三角形ACF的前提可得到FG的延长线交AC于I，I垂直平分AC，直接得到FI= AC=3，GI= BC=2，看到此结果全班同学一片唏嘘，我们做题的激情和自豪不由述说，简直体会到了一个数学人的乐趣。
突然，一个学生举手说，老师我还有方法，我激动地请她讲。如图4，我从刚才用中位线求GF想到延长AE与CB交于I，由CD ⊥AE，CD平分∠ACB可证得CF垂直平分AI，从而AC=CI，可得GF= BI=1。顿时教室内响起了热烈的掌声……这道试题解法的探索达到了顶峰。
通过对这道题的讲评与分析，通过学生的积极参与和不懈努力我们不仅从多角度审视了这道题，而且充分发挥了学生的主动性，让学生既收获了知识又收获了成功，既收获了兴趣又收获了能力。老师基本就是起了在他们迷茫时指一下路的作用，对于学生是学习，对于老师同样是学习，对于今后的教学处理有很好的借鉴。老师，我们要还主动性于学生，重视对学生进行思维的训练和快速入题方向的指导，能在复杂的背景下，由已有数学知识解决问题，这就是我对数学教学的感悟和体会。
（作者单位：四川省绵阳南山中学双语学校）
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
已知：如图1，AB是圆G的直径，C是圆上一点且AC=6，BC=4，∠ACB的平分线交⊙G于D，AE⊥CD于H交⊙G于F，连接CE，GF。试计算GF之长。
由于之前同学们在做的时候对本题有畏难情绪，所以我出示之后大家不怎么讲话，可能也不知从何讲起。我首先说既然我们想算GF之长，按通常的处理方法应该先将GF放入一个图形中，同学们考虑一下，到底怎么放，是找现成有图形呢，还是动手画辅助线？我们同时又要看到本题圆这个背景，G是圆心，F是两弦AE和CD的交点。突然有同学说到垂径定理，我顺势提示：你动手画一下进行体会，如图2，一部分同学作了GH⊥AE于H。那要求GF，需要先求出什么条件呢，七嘴八舌的，要找GH和HF。先看GH，学生很快发现它是△ABE的中位线，先求出BE就行了，有的同学说：“我连接BE”。那BE怎么求呢？我问，“依赖于Rt△ABE”，学生说。“只要求出AE就行了”，又有学生接了上来。我问：由于AE⊥CD，我们是将AE当成整体计算还是分成部分呢？最的我们达成共识：在AC已知，∠ACF=45°时，当然要先算AF= 。那EF如果找到全部问题就解决了，连接DE发现了等腰直角DFE，BE∥CD，弧BC与弧DE相等……所以DE=BC=4，EF= ，AE= ，这样就可由GF=得答案。并不沉浸在得到答案的喜悦中，我对学生说：同学们，刚才我们看到GH和FH有什么关系？那进一步我们可不可以从Rt△HGF的角度方面来思考呢？于是就有了下面的方法。
如图3，因为AF=CF，AE⊥CD于H，连接CG，发现△AGF≌△CGF，得出∠GFC=45°，所以可设GH=HF=x,AH=AF-x= -x,AG是半径，在直角三角形AGH中可由勾股定理求出x，从而求出GF。
在这次的解法中我们得出得出∠GFC=45°的结论，再联系等腰直角三角形ACF的前提可得到FG的延长线交AC于I，I垂直平分AC，直接得到FI= AC=3，GI= BC=2，看到此结果全班同学一片唏嘘，我们做题的激情和自豪不由述说，简直体会到了一个数学人的乐趣。
突然，一个学生举手说，老师我还有方法，我激动地请她讲。如图4，我从刚才用中位线求GF想到延长AE与CB交于I，由CD ⊥AE，CD平分∠ACB可证得CF垂直平分AI，从而AC=CI，可得GF= BI=1。顿时教室内响起了热烈的掌声……这道试题解法的探索达到了顶峰。
通过对这道题的讲评与分析，通过学生的积极参与和不懈努力我们不仅从多角度审视了这道题，而且充分发挥了学生的主动性，让学生既收获了知识又收获了成功，既收获了兴趣又收获了能力。老师基本就是起了在他们迷茫时指一下路的作用，对于学生是学习，对于老师同样是学习，对于今后的教学处理有很好的借鉴。老师，我们要还主动性于学生，重视对学生进行思维的训练和快速入题方向的指导，能在复杂的背景下，由已有数学知识解决问题，这就是我对数学教学的感悟和体会。
（作者单位：四川省绵阳南山中学双语学校）
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”