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【摘要】引入数学建模是高等数学教学的有效方式.本文以返券销售系统设计为案例，通过构造消费效用函数和利润函数设计最优策略模型，利用高等数学中的积分和偏导运算解决实际问题.教学设计引入数学模型对学生理解和应用高等数学具有积极作用.
【关键词】数学建模;高等数学;效用函数;利润函数
1 引言
高等数学是现代各个学科知识的理论基础，其教学过程中无处不体现着数学建模的思维方法.极限、微积分、连续和微分方程等数学思想，以及待定系數法、最小二乘法、连续离散化等数学方法都蕴含了数学模型的建构.数学建模可以在抽象问题和实际问题之间建立联系.在高等数学的教学过程中可以通过引入数学建模的内容和思维方法分析实际问题，提升学生的数学建模意识和学习动力.本文以经济生活中的返券促销现象实施数学模型的应用教学.
2 返券系统设计
某商店采用“返券”优惠促销，当消费者消费金额满100元时，该店可赠送50元的“返券”，不足100元的部分不能获得返券.返券的用法是：每消费100元的商品，可以使用该店的50元返券，在付款时可以抵消50元，不足100元的部分忽略不计.
根据这个问题可以进行延拓，进一步考虑商家如何设计返券，从而获得最大利润.首先对符号进行说明.
2.1 消费者的消费行为
将消费者的消费行为分为两个阶段，第一个阶段是消费者第一次消费得到返券，第二个阶段是消费者使用返券进行抵扣消费.当消费者自我感觉最为划算的时候效用达到最大.消费者对若干消费品的选择，在达到每一种消费品的单位货币支付所得的边际效用相等时，实现最大总效用，即称之为效用最大化原则[1].
假设商家在没有使用返券促销活动的情况下，消费者在两个阶段均按照自己的预期消费金额进行消费，设两次预期消费金额的均值为x.当商家使用返券活动时，在第一个阶段，当消费者消费金额大于等于Y1时即可以得到价值Γ的返券，但是该返券并不能用于第一个阶段的消费，只能用于第二个阶段消费抵扣.在第二个阶段，即返券使用时期，当消费金额大于等于Y2时，消费者就可以使用返券来抵扣本次消费，如果消费小于Y则不能使用该返券.
为更好地刻画消费者的行为，构建消费者消费的效用函数[2]如下：
其中x为消费者最佳的预期消费金额，s为实际的消费金额;ω是消费者实际消费金额小于等于预期消费金额时，每单位一消费金额的效用值（ω
【关键词】数学建模;高等数学;效用函数;利润函数
1 引言
高等数学是现代各个学科知识的理论基础，其教学过程中无处不体现着数学建模的思维方法.极限、微积分、连续和微分方程等数学思想，以及待定系數法、最小二乘法、连续离散化等数学方法都蕴含了数学模型的建构.数学建模可以在抽象问题和实际问题之间建立联系.在高等数学的教学过程中可以通过引入数学建模的内容和思维方法分析实际问题，提升学生的数学建模意识和学习动力.本文以经济生活中的返券促销现象实施数学模型的应用教学.
2 返券系统设计
某商店采用“返券”优惠促销，当消费者消费金额满100元时，该店可赠送50元的“返券”，不足100元的部分不能获得返券.返券的用法是：每消费100元的商品，可以使用该店的50元返券，在付款时可以抵消50元，不足100元的部分忽略不计.
根据这个问题可以进行延拓，进一步考虑商家如何设计返券，从而获得最大利润.首先对符号进行说明.
2.1 消费者的消费行为
将消费者的消费行为分为两个阶段，第一个阶段是消费者第一次消费得到返券，第二个阶段是消费者使用返券进行抵扣消费.当消费者自我感觉最为划算的时候效用达到最大.消费者对若干消费品的选择，在达到每一种消费品的单位货币支付所得的边际效用相等时，实现最大总效用，即称之为效用最大化原则[1].
假设商家在没有使用返券促销活动的情况下，消费者在两个阶段均按照自己的预期消费金额进行消费，设两次预期消费金额的均值为x.当商家使用返券活动时，在第一个阶段，当消费者消费金额大于等于Y1时即可以得到价值Γ的返券，但是该返券并不能用于第一个阶段的消费，只能用于第二个阶段消费抵扣.在第二个阶段，即返券使用时期，当消费金额大于等于Y2时，消费者就可以使用返券来抵扣本次消费，如果消费小于Y则不能使用该返券.
为更好地刻画消费者的行为，构建消费者消费的效用函数[2]如下：
其中x为消费者最佳的预期消费金额，s为实际的消费金额;ω是消费者实际消费金额小于等于预期消费金额时，每单位一消费金额的效用值（ω