浅议数学习题中函数思想的灵活应用

• 作 者: 姜瑜
• 出 处: 中小学教育
• 发表日期: 2014年3期

　　函数思想是一种通过构造函数来实现问题转化的思想方法。在中学数学中，许多问题如果应用函数思想去解决，可使问题直观化、简单化，便于学生理解和掌握，收到事半功倍的效果。
　　一、通过构造函数，利用函数图像的对称性来解答方程根的问题
　　例1.已知x1是方程x+lgx=3的一个根，x2是x+10x=3的一个根，则x1+x2的值是（ ）。
　　A.6 B.3 C.2 D.1
　　解析：构造函数f（x）=lgx，g（x）=10x，h（x）=3-x，在同一坐标系内画出这三个函数的图象，易知g（x）与f（x）的图象关于直线y=x对称，x1和x2分别是g（x）和f（x）与直线y=x交点的横坐标。由y=x与y=3-x解得交点的横坐标为 ，所以， = ，即x1+x2=3。
　　二、通过引进函数，再利用函数的奇偶性解决问题
　　例2.已知（3x4+7x3+4x2-7x-5）5·（3x4-7x3+4x2+7x-5）5=a0+a1x+a2x2+…+a40x40，求a0+a1+a4+…+a40的值。
　　解析：设f（x）=（3x4+7x3+4x2-7x-5）5·（3x4-7x3+4x2+7x-5）5，易知f（x）=f（-x），从而f（x）是偶函数，于是有a1=a3=a5=…=a39=0。
　　∴a0+a1+a2+…+a40=a0+a2+…+a40，
　　且有f（1）=（3+7+4-7-5）5·（3-7+4+7-5）5=1024，
　　即得a0+a1+a4+…+a40=1024。
　　三、通过引进函数，再利用函数的单调性解决不等式的解的问题
　　例3.设实数a>1>b>0，问a、b满足什么关系时，不等式lg（ax-bx）>0的解集是（1，+∞）？
　　解析：构造函数f（x）=lg（ax-bx），
　　∵ax-bx>0，即（ ）x>1，且 >1，
　　∴x∈（0+∞）。
　　依题意，只需f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（1）=0。
　　∵a>1>b>0，
　　∴ax和（-b）x在（0，+∞）上都随x的增大而增大，故f（x）=lg（ax-bx）是（0，+∞）上的增函数。
　　又f（1）=lg（a-b），令lg（a-b）=0，得a-b=1，即a、b满足的关系应为a=b+1。
　　四、利用函数观点解答数列问题
　　例4.设等差数列{an}前n项和为sn，已知a3=12，s12>0，s13<0。
　　（1）求公差d的取值范围。
　　（2）指出s1，s2，…，s12中哪一个值最大，并说明理由。
　　解析：（1）由s12>0，s13<0，a3=12易求得- 　　（2）sn=na1+ d
　　= [n- （5- ）]2- [ （5- ）]2
　　∵d<0，∴[n- （5- ）]2 最小时，sn最大。
　　当- 　　∴n取正整数6时，sn最大，即s6最大。
　　五、利用函数，解决二次方程根的问题
　　例5.已知关于x的实系数方程x2+ax+b=0的两个实根α，β，证明：
　　（1）如|α|<2，|β|<2，那么2|a|<4+b，且|b|<4。
　　（2）如果2|a|<4+b，且|b|<4，那么|α|<2，|β|<2。
　　证明：（1）由根与系数的关系得|b|=|αβ|<4，引进函数f（x）=x2+ax+b，因|α|<2，|β|<2，故必有f（±2）>0。
　　即1-2a+b>0，2a>-（4+b）；
　　1-2a+b>0，2a<4+b，
　　∴2|a|<4+b。
　　（2）由2|a|<4+b得4+2a+b>0，4-2a+b>0，即f（2）>0，f（-2）>0，由此可知f（x）=0的每个实根或者在区间（-2， 2）之内或者在（-2，2）之外。
　　若α，β落在（-2，2）之外，则与|b|=|αβ|<4矛盾；
　　若a（或β）落在（-2，2）之外，则由|b|=αβ|<4，另一根β（或α）落在（-2，2）之内，这与f（2）>0、f（-2）>0矛盾。
　　综上，α、β均落在（-2， 2）之内，故有|α|<2，|β|<2。