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摘要:数学思想方法是解决数学问题的理论基础和依据,同时也是解决日常生活中实际问题的行之有效的方法,我们应充分利用数学学科的特点提高学生的能力,这就要求我们在教学中不断地浸透数学思想,让学生学会数学思想,并能利用数学思想解决问题。
关键词:化归思想数形结合思想分类讨论思想
中图分类号:G40 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)02(a)-0087-01
1 数学思想方法在初中数学教学中存在的问题
数学思想方法作为数学教育的重要内容,已日益引起人们的注意,这与教育越来越重视学生的能力培养与素质提高有着密切的关系。但是,数学思想方法教学的重要性并没有引起老师们足够的重视,长期以来,数学教学受“传道、授业、解惑”的传统教学观念影响很深,以传授知识为目标的教学观点和模式是相继沿袭中形成的,加上历史的长期沉淀以及各种因素的牵连,变得相当稳固,在数学教学过程中只注重知识的传授,忽视知识发生过程中的数学思想方法的教学的现象比较普遍。
数学实践表明:数学教育的现代化,主要不是内容的现代化,而是数学思想方法及教学手段的现代化。加强数学思想方法的教学是实现数学教育现代化的关键,数学思想方法教学在人的能力培养和素质提高方面具有重要作用。掌握好数学思想,比掌握好形式化的数学知识更加重要,将会使学生在未来的生活和工作中终生受益。
2 初中数学中的重要数学思想与方法
2.1 化归思想与方法
所谓“化归”,从字面上看,可理解为转化和归结的意思。数学中把待解决的问题通过转化,归结到一类己经能解决或者比较容易解决的问题中去,最终获得原问题的解答的一种手段和方法。
数学处处都体现出转化的思想,如化繁为简、化难为易,化未知为已知,化多元为一元,化高次为低次等,是解决问题的一种最基本的思想。在具体内容上,有加减法的转化,乘除法的转化,乘方与开方的转化;添辅助线,设辅助元等等都是实现转化的具体手段。转化思想是一种思维策略的表现,即我们常说的换个角度想问题。它是解决数学问题的重要思想,它要求我们能把握住问题的本质,能辨证地看待事物,能运用所学的知识把复杂的问题转化为较简单的问题解决,把隐含的条件转化为明显的条件,把生疏的问题转化为较熟知的问题解决。严格说,几何证明只能是指出待证问题可以归入哪个问题的证明或由哪个已证的定理或结论来证明。实质上是一种化归过程。老老实实从公理、公设、定义出发去证明每一个命题,既费时,又没有必要,对学生来说有的甚至是不可能达到的。等价转化本身是数学中的充要条件很重要的内容,可以把较为深奥的问题化为较浅显的问题,学习数学时头脑的灵活也体现在这种等价转化上,能把原题改为一个新的题目且使两题的已知条件及结论本质上相同,做到此很不简单。
2.2 符号化、方程与函数思想
符号化思想,方程思想和函数思想本来是三个不同的思想,它们各有侧重点,符号化偏重于形式化、结构化,方程思想相对于算术法,偏重于关注问题中的等量关系、构造方程,由解方程而达到问题解决,函数思想则偏于事物的运动变化,寻求变量之间的对应关系,但是,一方面,由于数学知识量毕竟有限,这三种思想的形成还有待学生在后继学习中完成;另一方面,这三种思想存在着有机的联系,符号化是方程思想实现的基础,而方程又可以看作是函数的特殊情况,方程方法也是研究函数的有力工具。因此,这里把这三种思想方法放在一起。世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中,这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学。虽然函数知识安排在九年级学习,它是培养函数思想不缺少的内容,但函数思想已经渗透到七、八年级教材的各个内容之中。因此,教学上要有意识、有计划、有目的地培养函数思想方法。让学生逐渐形成以运动的观点去观察事物。方程思想就是把问题转化为利用方程或方程组求解。运用方程思想解题在数学、物理、化学等学科中均有广泛的应用。
数与方程是阶段数学的重要内容和主要内容,尤其是二次函数与二次方程。不等式反映的是不等量的关系,往往用等量关系(函数、方程)去解决问题,我们有时把不等式的一边化为0,而另一边则看作是函数,通过对函数的研究,从而解决不等式的问题。我们必须指导学生掌握这种数学思想和方法,有些学生不重视最基本的二次函数与二次方程,遇到数学中某些问题,不能把一些较复杂的问题转化为较简单的问题,去追求什么技巧,结果,思维受阻,对某些数学问题束手无策。
对于一些概念性的问题可用方程的思想解决。如:“若和互为相反数,求？”其次,对于本身不是方程的问题,象函数的问题用方程的思想。如:“已知二次函数的图像对称轴,且图像的最高点在反比例函数的图像上,求二次函数解析式。”
2.3 数形结合思想
“数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的两个对象。在数学教学中,突出数形结合思想,有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解,提供解决问题的方法,也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
“数”与“形”是同一个事物的两个方面,以形判数,以数论形的思想方法就是数形结合法。数量问题有时借助于图形可以很直观地解决,反之,图形问题有时转化为数量问题可以很方便的解答。有些同学重视定理公式的计算,可是不重视数形的结合,因此,学不好数学。曲线、图象等是研究方程、数的点和手段。给人以深刻的感性认识,有些难于计算或计算繁杂的题目只要画一下图形就一目了然,完全可以避免计算或减少计算量,尤其对于那些不要求运算过程的标准化题目更为适用。指导学生要想到数形结合的方法,更重要的是如何恰当地选用图形解决问题,不然就事倍功半。
2.4 分类讨论思想
严格说,“分类讨论思想”不是数学所特有的,是自然科学乃至社会科学研究中都用到的基本逻辑方法,由于它在数学中的重要性,这里把它作为数学思想方法提出来。数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等,都体现了这一思想。启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类,帮助他们掌握好分类的方法原则,形成分类的思想。从具体的教法上看,如:初一“有理数的加法”教学中。引导学生观察、思考、探究,将有理数的加法分为三类进行研究,正确归纳出有理数加法法则,这样学生不仅掌握了具体的“法则”,而且对“分类”有了深刻的认识,那么在较为复杂的情况下,利用掌握好的分类的思想方法,正确地确定标准,不重不漏地进行分类,从而使看问题更加全面。当数量大小不确定,或图形的位置、形状不确定时,常常可以运用分类讨论的思想来分析解决。数学思想和方法是数学知识的精髓,又是知识转化为能力的桥梁。
参考文献
[1] 解恩泽,赵树智.数学思想方法纵横论.北京:科学出版社,1987.
[2] 黄翔,数学方法论选论[M].重庆:重庆大学出版社,1996.
关键词:化归思想数形结合思想分类讨论思想
中图分类号:G40 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)02(a)-0087-01
1 数学思想方法在初中数学教学中存在的问题
数学思想方法作为数学教育的重要内容,已日益引起人们的注意,这与教育越来越重视学生的能力培养与素质提高有着密切的关系。但是,数学思想方法教学的重要性并没有引起老师们足够的重视,长期以来,数学教学受“传道、授业、解惑”的传统教学观念影响很深,以传授知识为目标的教学观点和模式是相继沿袭中形成的,加上历史的长期沉淀以及各种因素的牵连,变得相当稳固,在数学教学过程中只注重知识的传授,忽视知识发生过程中的数学思想方法的教学的现象比较普遍。
数学实践表明:数学教育的现代化,主要不是内容的现代化,而是数学思想方法及教学手段的现代化。加强数学思想方法的教学是实现数学教育现代化的关键,数学思想方法教学在人的能力培养和素质提高方面具有重要作用。掌握好数学思想,比掌握好形式化的数学知识更加重要,将会使学生在未来的生活和工作中终生受益。
2 初中数学中的重要数学思想与方法
2.1 化归思想与方法
所谓“化归”,从字面上看,可理解为转化和归结的意思。数学中把待解决的问题通过转化,归结到一类己经能解决或者比较容易解决的问题中去,最终获得原问题的解答的一种手段和方法。
数学处处都体现出转化的思想,如化繁为简、化难为易,化未知为已知,化多元为一元,化高次为低次等,是解决问题的一种最基本的思想。在具体内容上,有加减法的转化,乘除法的转化,乘方与开方的转化;添辅助线,设辅助元等等都是实现转化的具体手段。转化思想是一种思维策略的表现,即我们常说的换个角度想问题。它是解决数学问题的重要思想,它要求我们能把握住问题的本质,能辨证地看待事物,能运用所学的知识把复杂的问题转化为较简单的问题解决,把隐含的条件转化为明显的条件,把生疏的问题转化为较熟知的问题解决。严格说,几何证明只能是指出待证问题可以归入哪个问题的证明或由哪个已证的定理或结论来证明。实质上是一种化归过程。老老实实从公理、公设、定义出发去证明每一个命题,既费时,又没有必要,对学生来说有的甚至是不可能达到的。等价转化本身是数学中的充要条件很重要的内容,可以把较为深奥的问题化为较浅显的问题,学习数学时头脑的灵活也体现在这种等价转化上,能把原题改为一个新的题目且使两题的已知条件及结论本质上相同,做到此很不简单。
2.2 符号化、方程与函数思想
符号化思想,方程思想和函数思想本来是三个不同的思想,它们各有侧重点,符号化偏重于形式化、结构化,方程思想相对于算术法,偏重于关注问题中的等量关系、构造方程,由解方程而达到问题解决,函数思想则偏于事物的运动变化,寻求变量之间的对应关系,但是,一方面,由于数学知识量毕竟有限,这三种思想的形成还有待学生在后继学习中完成;另一方面,这三种思想存在着有机的联系,符号化是方程思想实现的基础,而方程又可以看作是函数的特殊情况,方程方法也是研究函数的有力工具。因此,这里把这三种思想方法放在一起。世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中,这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学。虽然函数知识安排在九年级学习,它是培养函数思想不缺少的内容,但函数思想已经渗透到七、八年级教材的各个内容之中。因此,教学上要有意识、有计划、有目的地培养函数思想方法。让学生逐渐形成以运动的观点去观察事物。方程思想就是把问题转化为利用方程或方程组求解。运用方程思想解题在数学、物理、化学等学科中均有广泛的应用。
数与方程是阶段数学的重要内容和主要内容,尤其是二次函数与二次方程。不等式反映的是不等量的关系,往往用等量关系(函数、方程)去解决问题,我们有时把不等式的一边化为0,而另一边则看作是函数,通过对函数的研究,从而解决不等式的问题。我们必须指导学生掌握这种数学思想和方法,有些学生不重视最基本的二次函数与二次方程,遇到数学中某些问题,不能把一些较复杂的问题转化为较简单的问题,去追求什么技巧,结果,思维受阻,对某些数学问题束手无策。
对于一些概念性的问题可用方程的思想解决。如:“若和互为相反数,求？”其次,对于本身不是方程的问题,象函数的问题用方程的思想。如:“已知二次函数的图像对称轴,且图像的最高点在反比例函数的图像上,求二次函数解析式。”
2.3 数形结合思想
“数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的两个对象。在数学教学中,突出数形结合思想,有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解,提供解决问题的方法,也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
“数”与“形”是同一个事物的两个方面,以形判数,以数论形的思想方法就是数形结合法。数量问题有时借助于图形可以很直观地解决,反之,图形问题有时转化为数量问题可以很方便的解答。有些同学重视定理公式的计算,可是不重视数形的结合,因此,学不好数学。曲线、图象等是研究方程、数的点和手段。给人以深刻的感性认识,有些难于计算或计算繁杂的题目只要画一下图形就一目了然,完全可以避免计算或减少计算量,尤其对于那些不要求运算过程的标准化题目更为适用。指导学生要想到数形结合的方法,更重要的是如何恰当地选用图形解决问题,不然就事倍功半。
2.4 分类讨论思想
严格说,“分类讨论思想”不是数学所特有的,是自然科学乃至社会科学研究中都用到的基本逻辑方法,由于它在数学中的重要性,这里把它作为数学思想方法提出来。数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等,都体现了这一思想。启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类,帮助他们掌握好分类的方法原则,形成分类的思想。从具体的教法上看,如:初一“有理数的加法”教学中。引导学生观察、思考、探究,将有理数的加法分为三类进行研究,正确归纳出有理数加法法则,这样学生不仅掌握了具体的“法则”,而且对“分类”有了深刻的认识,那么在较为复杂的情况下,利用掌握好的分类的思想方法,正确地确定标准,不重不漏地进行分类,从而使看问题更加全面。当数量大小不确定,或图形的位置、形状不确定时,常常可以运用分类讨论的思想来分析解决。数学思想和方法是数学知识的精髓,又是知识转化为能力的桥梁。
参考文献
[1] 解恩泽,赵树智.数学思想方法纵横论.北京:科学出版社,1987.
[2] 黄翔,数学方法论选论[M].重庆:重庆大学出版社,1996.