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第一次执教“能被3整除的数的特征”，是在“大纲时代。”
课始，笔者通过展示“判断一个数能否被3整除”调动学生好奇心，接着学生猜测其中的奥秘，绝大部分学生猜测“个位是3、6、9的数”。然后用具体数验证，得出猜测错误。于是笔者提示：观察一下各个数位上数的和有什么特点？根据提示，学生很快找到能被3整除的数的特征。然后应用特征进行判断练习。接着拓展：如果去掉各个数位上是3、6、9的数字，其余各个数位上数的和能被3整除，这个数就能被3整除。学生应用这个简化版的特征，能更快速准确判断。
评课时同行一致认为，这节课效果很好，充分调动了学生的积极性，激发了学生的求知欲，渗透了“猜测—验证—总结—应用”的探索问题的方法，符合新知学习的心理过程。不仅教学知识，更教学方法。拓展的简化版特征，使学生的判断正确率提高很多，是一节高效的课。
但现在回看这节课，却发现问题不少。1. 学生不是主体。表面上一直是学生在试误、观察、总结，看似学生在研究，实际却是教师在主导着课堂的走向。简化版的判断方法是教师强加给学生的，不是学生自己发现的。此时，学生的主体地位只是表象。2. 评价只看结果。在对课堂成效的评价上，教师检查的是学生能否应用特征进行判断，是考查学生做题速度与正确率。而发现规律与总结规律的过程，则根本没有考查，这体现的是方法至上，至于算理是什么，学生则不必了解。前面的猜测、验证、试误与总结的过程，都是为找到特征服务的。这样的评价重结果轻过程。
第二次执教是2001版《课程标准》颁布不久，提倡情境创设与动手操作，这一课时恰好符合这样的条件。
这次教学笔者设计了闯关活动。第一关“找密码”，即在若干个数中找到能被3整除的数。因为给的时间短数字大，学生直接猜测个位是3、6、9的数。通过验证，显示结论错误。第二关“找规律”，出示操作要求：在计数器上拨出指定的数，数一数每个数所用珠子的个数，观察珠子的个数特点。然后进入后续各关，即应用特征进行判断等类型的巩固练习。
同行评价：创设情境极大激发学生的学习兴趣，猜测试误让学生经历自己的探索过程，动手操作让学生主动探究新知，课堂气氛活跃，体现新课标理念。
笔者反思，学生在找特征时通过计数器拨珠的操作活动，符合其形象思维的特点，能促使其在头脑中形成正确表象，利于特征的掌握与应用，更易于理解特征。与第一次教学相比虽有形式上的差别，但由教师做出的操作提示，本质上还是教师主导课的走向，虽然通过操作学生知晓能被3整除的数的特征，但为什么要数计数器上的珠子，学生并不了解。笔者思考：怎样才能让学生自己发现一个数能否被3整除与各个数位上数的和有关？数学课堂到底应该关注什么？
第三次教学是2011版《课程标准》颁布后。这时苏教版教材已把这一课时改成“3的倍数的特征”。但不管课题怎么变，内容本质还是一样的。
课始，笔者给每组发下若干数量不等的围棋子，先让学生们用手中给定的棋子组成一个两位数，组成的数是3的倍数就算获胜；接着组成不同的两位数，同样是3的倍数算获胜。然后再用给定的棋子组成三位数，还是组成的数是3的倍数获胜。几轮比赛过后，失败组就有学生发现，他们的棋子不论组成两位数还是三位数，都不能是3的倍数。因此怀疑他们的棋子数就不能组成3的倍数。而获胜组的学生不这么认为。笔者让胜利组和失败组交换棋子，同样让他们用给定的棋子组成四位数，是3的倍数的获胜。原来失败组的同学很快组成3的倍数，而原来一直获胜的信心满满的学生却总不能用手中的棋子组成3的倍数。这时他们才发现，能不能组成3的倍数，只和棋子的个数有关：棋子数是（不是）3的倍数，组成的数就是（不是）3的倍数。
然后利用他们自己得出的结论判断一组数之后，笔者抛出问题：“为什么3的倍数的特征是各个数位上数的和是3的倍数呢？”笔者展示课件（图1）：数量为24的小棒图。笔者提问：“10根一捆的小棒里有几个3，还余几根？”学生回答：“10÷3=3……1，10根一捆的小棒里有3个3，还余1根。”根据学生回答课件逐次展示（图2）：
接着提问：“两捆里还余几根？两捆里余下的小棒数和2捆有什么关系？”学生通过观察图很快明白：“1捆余1根，2捆就余2根，余下的根数和捆数相等，有几捆就余下几根。”再提问：“余下的2根小棒和4根小棒合起来是6，6是3的倍数吗？所以24是3的倍数吗？”通过这样的直观展示，让学生明白：3的倍数与各个数位上的数的和有关，因为这是数本身的组成决定的。接着笔者又用课件出示数量为147的小棒图，学生结合小棒图很快明白：100根小棒里有33个3，还余1根，这个1等于百位上的1；每10根小棒里有3个3余1根，40根小棒里就有12个3还余4根，这个4等于十位的4；个位上是7；1+4+7=12，12是3的倍数，所以147是3的倍数。有部分学生恍然大悟，还有部分学生还不太理解。笔者让明白的学生再举例说一说自己的认识，有学生举例73：一捆10根里余1根，7捆就余7根，和个位的3根合起来是10根，10里有3个3还余1，所以73不是3的倍数。这个过程大约用时5分钟，大部分学生能根据数的组成来理解能被3整除的数的特征。
考查本次教学成效，虽然学生判断一个数是不是3的倍数的速度和准确性不如第一次教学的结果，但这样的教学却有着特有的优势。1. 真正的自主探究。3的倍数的特征是由这个数各个数位上数的和决定的，这通过用棋子摆数的比赛，是学生自己发现的，而不是教师引导下找到的，学生自己发现与教师引导发现有本质区别。就如到一个目的地，自己摸索也许会出现失误走错，但回头再走，这样到达目的地后，便会记得这条路。而如果使用导航，能很快到达目的地，但下次再去，却可能还是找不到原来的路。这就是为什么我们讲授的课堂学生总是一听就懂一做题就错，因为讲授的课堂是导航过渡的课堂。2. 突出知识的本质。前两次教学都是以发现特征、应用特征为最终目标，而第三次教学，发现特征还是目标却不是最终目标。弄清特征的本质是什么应为教学的最终目标。也就是为什么3的倍数会有这样的特征。虽然学生的计算及应用不如前两次扎实，但计算和判断的正确率都是可以通过练习量来达成的，量的积累能提升技能的熟练程度与准确性，但这样的教学就停留在“术”的层面上；而追求知识的本质，让学生知其然并知其所以然，领悟知识表面现象背后的本质，这是“道”的层面。所以我们的小学数学教学，是该教应用技能还是在教技能的同时渗透本质，相信这术与道的取舍，每位教师心中一定都有自己正确的答案。
（作者单位：江苏省连云港市中云中心小学）
课始，笔者通过展示“判断一个数能否被3整除”调动学生好奇心，接着学生猜测其中的奥秘，绝大部分学生猜测“个位是3、6、9的数”。然后用具体数验证，得出猜测错误。于是笔者提示：观察一下各个数位上数的和有什么特点？根据提示，学生很快找到能被3整除的数的特征。然后应用特征进行判断练习。接着拓展：如果去掉各个数位上是3、6、9的数字，其余各个数位上数的和能被3整除，这个数就能被3整除。学生应用这个简化版的特征，能更快速准确判断。
评课时同行一致认为，这节课效果很好，充分调动了学生的积极性，激发了学生的求知欲，渗透了“猜测—验证—总结—应用”的探索问题的方法，符合新知学习的心理过程。不仅教学知识，更教学方法。拓展的简化版特征，使学生的判断正确率提高很多，是一节高效的课。
但现在回看这节课，却发现问题不少。1. 学生不是主体。表面上一直是学生在试误、观察、总结，看似学生在研究，实际却是教师在主导着课堂的走向。简化版的判断方法是教师强加给学生的，不是学生自己发现的。此时，学生的主体地位只是表象。2. 评价只看结果。在对课堂成效的评价上，教师检查的是学生能否应用特征进行判断，是考查学生做题速度与正确率。而发现规律与总结规律的过程，则根本没有考查，这体现的是方法至上，至于算理是什么，学生则不必了解。前面的猜测、验证、试误与总结的过程，都是为找到特征服务的。这样的评价重结果轻过程。
第二次执教是2001版《课程标准》颁布不久，提倡情境创设与动手操作，这一课时恰好符合这样的条件。
这次教学笔者设计了闯关活动。第一关“找密码”，即在若干个数中找到能被3整除的数。因为给的时间短数字大，学生直接猜测个位是3、6、9的数。通过验证，显示结论错误。第二关“找规律”，出示操作要求：在计数器上拨出指定的数，数一数每个数所用珠子的个数，观察珠子的个数特点。然后进入后续各关，即应用特征进行判断等类型的巩固练习。
同行评价：创设情境极大激发学生的学习兴趣，猜测试误让学生经历自己的探索过程，动手操作让学生主动探究新知，课堂气氛活跃，体现新课标理念。
笔者反思，学生在找特征时通过计数器拨珠的操作活动，符合其形象思维的特点，能促使其在头脑中形成正确表象，利于特征的掌握与应用，更易于理解特征。与第一次教学相比虽有形式上的差别，但由教师做出的操作提示，本质上还是教师主导课的走向，虽然通过操作学生知晓能被3整除的数的特征，但为什么要数计数器上的珠子，学生并不了解。笔者思考：怎样才能让学生自己发现一个数能否被3整除与各个数位上数的和有关？数学课堂到底应该关注什么？
第三次教学是2011版《课程标准》颁布后。这时苏教版教材已把这一课时改成“3的倍数的特征”。但不管课题怎么变，内容本质还是一样的。
课始，笔者给每组发下若干数量不等的围棋子，先让学生们用手中给定的棋子组成一个两位数，组成的数是3的倍数就算获胜；接着组成不同的两位数，同样是3的倍数算获胜。然后再用给定的棋子组成三位数，还是组成的数是3的倍数获胜。几轮比赛过后，失败组就有学生发现，他们的棋子不论组成两位数还是三位数，都不能是3的倍数。因此怀疑他们的棋子数就不能组成3的倍数。而获胜组的学生不这么认为。笔者让胜利组和失败组交换棋子，同样让他们用给定的棋子组成四位数，是3的倍数的获胜。原来失败组的同学很快组成3的倍数，而原来一直获胜的信心满满的学生却总不能用手中的棋子组成3的倍数。这时他们才发现，能不能组成3的倍数，只和棋子的个数有关：棋子数是（不是）3的倍数，组成的数就是（不是）3的倍数。
然后利用他们自己得出的结论判断一组数之后，笔者抛出问题：“为什么3的倍数的特征是各个数位上数的和是3的倍数呢？”笔者展示课件（图1）：数量为24的小棒图。笔者提问：“10根一捆的小棒里有几个3，还余几根？”学生回答：“10÷3=3……1，10根一捆的小棒里有3个3，还余1根。”根据学生回答课件逐次展示（图2）：
接着提问：“两捆里还余几根？两捆里余下的小棒数和2捆有什么关系？”学生通过观察图很快明白：“1捆余1根，2捆就余2根，余下的根数和捆数相等，有几捆就余下几根。”再提问：“余下的2根小棒和4根小棒合起来是6，6是3的倍数吗？所以24是3的倍数吗？”通过这样的直观展示，让学生明白：3的倍数与各个数位上的数的和有关，因为这是数本身的组成决定的。接着笔者又用课件出示数量为147的小棒图，学生结合小棒图很快明白：100根小棒里有33个3，还余1根，这个1等于百位上的1；每10根小棒里有3个3余1根，40根小棒里就有12个3还余4根，这个4等于十位的4；个位上是7；1+4+7=12，12是3的倍数，所以147是3的倍数。有部分学生恍然大悟，还有部分学生还不太理解。笔者让明白的学生再举例说一说自己的认识，有学生举例73：一捆10根里余1根，7捆就余7根，和个位的3根合起来是10根，10里有3个3还余1，所以73不是3的倍数。这个过程大约用时5分钟，大部分学生能根据数的组成来理解能被3整除的数的特征。
考查本次教学成效，虽然学生判断一个数是不是3的倍数的速度和准确性不如第一次教学的结果，但这样的教学却有着特有的优势。1. 真正的自主探究。3的倍数的特征是由这个数各个数位上数的和决定的，这通过用棋子摆数的比赛，是学生自己发现的，而不是教师引导下找到的，学生自己发现与教师引导发现有本质区别。就如到一个目的地，自己摸索也许会出现失误走错，但回头再走，这样到达目的地后，便会记得这条路。而如果使用导航，能很快到达目的地，但下次再去，却可能还是找不到原来的路。这就是为什么我们讲授的课堂学生总是一听就懂一做题就错，因为讲授的课堂是导航过渡的课堂。2. 突出知识的本质。前两次教学都是以发现特征、应用特征为最终目标，而第三次教学，发现特征还是目标却不是最终目标。弄清特征的本质是什么应为教学的最终目标。也就是为什么3的倍数会有这样的特征。虽然学生的计算及应用不如前两次扎实，但计算和判断的正确率都是可以通过练习量来达成的，量的积累能提升技能的熟练程度与准确性，但这样的教学就停留在“术”的层面上；而追求知识的本质，让学生知其然并知其所以然，领悟知识表面现象背后的本质，这是“道”的层面。所以我们的小学数学教学，是该教应用技能还是在教技能的同时渗透本质，相信这术与道的取舍，每位教师心中一定都有自己正确的答案。
（作者单位：江苏省连云港市中云中心小学）