换元引参常见错误诊断

• 作 者: 周淦利
• 出 处: 中学课程辅导高考版·学生版
• 发表日期: 2010年4期

　　换元引参是中学数学中重要的解题方法,对于许多问题,若能合理地换元引参,往往能达到化繁为简、化难为易,实现从未知向已知转化的目的.相反,由于缺乏换元意识或引参不当常会使解题陷入困境.为此,下面举几种错解并予以诊断,望同学们在学习中防患于未然.
　　一、缺乏换元意识致错
　　
　　例1 求函数y=sinx4sin2x+9的最大值和最小值.
　　错解:当sinx=0时,y=0;当sin x>0时,y=14sinx+9sinx≤124sinx•9sinx=112;当sin x<0时,y=-1-4sinx-9sinx≥-12(-4sinx)•(-9sinx)=-112.故函数y=sinx4sin2x+9的最大值为112,最小值为-112.
　　剖析:错解中运用了均值不等式,应注意运用这个不等式的条件是“一正、二定、三相等”.条件“一正、二定”具备了,等号能否取到?上面能取到等号的条件是当且仅当4sinx=9sinx,即sinx=±32,这是不可能的,因此出现了错误.说到底,上面解法错误的原因还是由于缺乏换元意识造成的.如果进行换元转化,利用函数的单调性求最值,求解会合理自然.
　　正解:令sinx=t(-1≤t≤1),则y=f(t),当t=0时,y=0;当t≠0时,有f(t)=t4t2+9=14t+9t,若t<0,则g(t)=4t+9t在[-1,0)上递减,故g(t)≤-13,-113≤f(t)<0;若t>0,则g(t)=4t+9t在(0,1]上递减,故g(t)≥13,0　　二、换元引参不当致错
　　例2 设四个实数成等比数列,其积为116,中间两项之和为2,求公比q的值.
　　错解:设这四个数分别为at3,at,at,at3,则at3•at•at•at3=116,得a4=116①,又由at+at=2,得a=2tt2+1②. 由①、②整理得t2±22t+1=0,所以t=2±1或-2±1.于是所求数列的公比q=t2=3±22.
　　剖析:上面的设法利用了对称性,但只有在这几个数同号时(因为公比q=t2>0),才能用如上的对称设法.因此公比(参数)的设法在这里是不正确的.
　　正解:设这四个数为a,aq,aq2,aq3,则a4q6=116aq+aq2=2 ,解得q=3±22或q=-5±26.
　　三、换元后新元范围限制不到位致错
　　例3 求函数y=sinx•cosx1+sinx+cosx的值域.
　　错解:令t=sinx+cosx(t≠-1),则sinx•cosx=t2-12,从而y=t2-121+t=t-12≠-1,即函数的值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).
　　剖析:上述解法因为换元后没有充分挖掘新变元t的取值范围,使得新变元t的范围限制不到位而导致了错误.
　　正解:令t=sinx+cosx=2sin(x+π4),可得t∈[-2,2]且t≠-1,即t∈[-2,-1)∪(-1,2].则sinx•cosx=t2-12,从而y=t2-121+t=t-12,由t∈[-2,-1)∪(-1,2]可得所求函数的值域为[-2+12,-1)∪(-1,2-12].
　　(作者:周淦利,江苏省泰州市第三高级中学)