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考情分析
等差、等比数列是高考的一个基本考查点.选择题、填空题突出“小而巧”，主要考查性质的灵活应用及对概念的理解；解答题突出“大而全”，着重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想.在高考中也可能出现新的命题背景，如定义新数列进而转化为等差、等比数列.从近几年的高考命题来看，对等差、等比数列的考查更加突出其本质特征.
考点示例
1.等差、等比数列基本运算
例1 （2010辽宁卷）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=______.
分析:考查等差数列的基本公式的灵活应用.解决本题首先根据公式求得首项与公差，再利用通项公式求得最后结果.
解析:设等差数列的首项为a1，公差为d，则由S3=3,S6=24得3a1+3×22d=36a1+6×52d=24 ，解得a1=－1,d=2，所以a9=a1+8d=15.
点评：等差、等比数列的通项公式与前n项和公式是数列计算问题的基本依据，“基本量法”是常用的方法，有时灵活地运用性质，可使运算简便.
点评：利用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，由五个量a1,d(q),n,an,Sn中的三个量即可求其余两个量，即“知三求二”，体现解方程思想.解答等差、等比数列的有关问题时，“基本量”（等差数列中的首项a1和公差d或等比数列中的首项a1和公比q）法是常用方法.
2.等差、等比数列判定
例2 已知数列{an}满足a1=1,a2=3，an+2=3an+1－2an(n∈N)，
（1）证明：数列{an+1－an}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若数列{bn}满足4b1－14b2－1…4bn－1=(an+1)bn(n∈N)，证明{bn}是等差数列.
解：（1）证明：因为an+2=3an+1－2an，所以an+2－an+1=2(an－1－an)，
所以an+2－an+1an+1－an=2(n∈N)，因为a1=1,a2=3，所以{an+1－an}是以a2－a1=2为首项，2为公比的等比数列.
（2）解：由（1）得an+1－an=2n(n∈N)，
所以an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+…+(a2－a1)+a1
=2n－1+2n－2+…+2+1=2n－1(n∈N).
（3）证明：因为4b1－14b2－1…4bn－1=(an+1)bn，所以4(b1+b2+…+bn)－n=2nbn，
所以2=nbn……（1）
2=(n+1)bn+1……（2）
（2）－（1）得2(bn+1－1)=(n+1)bn+1－nbn，即(n－1)bn+1－nbn+2=0……（3）
所以nbn+2－(n+1)bn+1+2=0……（4），
（4）－（3）得nbn+2－2nbn+1+nbn=0，
即bn+2－2bn+1+bn=0，所以bn+2－bn+1=bn+1－bn(n∈N)，所以{bn}是等差数列.
点评：判断某个数列是否为等差（或等比）数列，常用方法有两种：一是由定义判断，二是看任意相邻三项是否满足等差中项（或等比中项），注意只要其中的一项不符合，就不能为等差（或等比）数列，而想判断某个数列不是等差（或等比）数列，只需看前三项即可.
3.等差、等比数列的性质
例3 （2010全国卷理科）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=
A.52B.7
C.6D.42
分析:本题主要考查了等比数列的性质.
解析:解法一：设等比数列{an}的公比为q，∵a4=a1q3，a5=a2q3，a6=a3q3，a7=a4q3，a8=a5q3，a9=a6q3，∴a1a2a3、a4a5a6、a7a8a9成等比数列，∴a4a5a6=a1a2a3×a7a8a9=50=52.
解法二：由等比数列的性质知a1a2a3=(a1a3)•a2=a32=5，a7a8a9=(a7a9)•a8=a38=10,所以a2a8=5013,所以a4a5a6=(a4a6)•a5=a35=(a2a8)3=(5016)3=52.
点评:数列及其前n项的性质是高考考查的热点，希望同学能归纳整理一下.
例4 （2010安徽卷）设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z，则下列等式中恒成立的是
A.X+Z=2YB.Y(Y－X)=Z(Z－X)
C.Y2=XZD.Y(Y－X)=X(Z－X)
分析:本题考查等比数列的性质.
解析:设数列的公比为q，则a1+a2+a3+…+an=X;
an+1+an+2+an+3+…+a2n=Y－X=Xqn;
a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n=Z－Y=Xq2n;
所以Y－XX=Z－YY－X,化简得：Y(Y-X)=X(Z-X).所以D正确.
点评:本题主要根据等比数列的和性质，本题也可以利用数列的和的公式求解，但是相对提供的方法计算难度比较大.其中性质：利用等差数列中，若m+n=p+q，有am+an=ap+aq；等比数列中，若m+n=p+q，有aman=apaq．是常考知识点.
4.数列中的最值
例5 （2010辽宁卷）已知数列{an}满足a1=33,an+1－an=2n,则ann的最小值为______.
分析:考查数列的通项公式的求解以及利用单调性求函数的最值.
解析:观察已知条件，可以利用累加法求数列的通项公式：
a2－a1=2a3－a2=4
a4－a3=6
……
an－an－1=2(n－1)
把以上各式相加即得：
an=n2－n+33,
所以：ann=n+33n－1,
根据通过研究函数y=x+33x性质知;当n=33≈5.7时取得最小值，但是由于n是整数，所以需要验证5.7附近整数的值的大小：故需要验证n=5或6，当n=5时，ann=10.6,当n=6时，ann=10.5,显然当n=6时，ann取得最小值.最小值为：212.
点评:解决本题首先需要明确已知条件满足利用累加法求通项公式，再通过构造函数利用单调性求得最小值.本题极容易在最后直接应用均值定理确定所求数列的最小值为233－1，从而忽略了n的取值必须是正整数.故关于数列问题一定要注意n的取值范围，同时应用均值不等式求解最值问题也要考虑到取等号的条件.
点评：求等差数列的前n项的和最值的方法.（1）转化为二次函数的最值解决：由Sn=na1+n(n－1)d2=d2n2+(a1－12d)n可知，Sn是关于n的二次函数，故可用配方法来解决.
（2）利用数列的性质解决：①若数列首项a1<0,d>0，数列{an}是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，由an≤0an+1≥0 可求n.
②若数列首项a1>0,d>0，数列{an}是递减数列，正数项有限，前n项或有最大值，由an≥0，an+1≤0， 可求n.
5.数列求和
例6 （2010天津卷）设{an}是等比数列，公比q=2，Sn为{an}的前n项和.记Tn=17Sn-S2nan+1,n∈N*.设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0=______.
分析:本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式及均值不等式等求函数最值的方法，考查学生的推理及运算能力.
解析:an+1=a1(2)n,Sn=a12)n〗1－2,S2n=a12)2n〗1－2,
故Tn=17Sn－S2nan+1=16－17(2)n+(2)2n(1－2)(2)n=1(1－2)16(2)n+(2)n－17〗
≤11－2(216－17)=－(1+2)，（当且仅当(2)n=16(2)n即n=4时取等号）.
点评：本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对(2)n进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.
备考策略
1.准确理解、熟练掌握数列的有关概念和公式，数列的有关概念和公式是解决数列问题的基础，也是关键.因此必须准确理解并熟练掌握它，如等比数列的前n项和公式就分公比q是否为1两种情况进行讨论.
2.巧用性质、灵活自如.等差、等比数列的有关性质在解决数列问题（特别是客观题）时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简捷优美.
3.灵活运用特例与一般的关系.对于那些比较抽象的数列问题（如递推数列问题或综合数列问题），要善于从特例入手，进行个别试验，然后对试验的结果进行分析、归纳、抽象、概括，作出猜想，再证明其正确性，也就是从特例到一般；而对于有些数列（如某些数列应用题），如果从特例入手就使问题的解决过程繁琐，这时从一般入手（如寻求其递推关系或猜想通项公式，或构造辅助数列等）反而使问题得到简捷的解法.
怎样保证考生饮食健康
考生考前饮食调理非常重要，保证其饮食的健康性必须遵循以下四个规则。
规则一：食物酸碱性恰当搭配
一般来说，人体在正常情况下，血液呈碱性，当用脑过度或体力消耗大时，血液则呈酸性，所以，若长期偏好吃酸性食物，会使血液酸性化，大脑和神经功能就易退化，引起记忆力减退。含磷、氯、硫的食物都属于酸性食物，如大米、面粉、鱼、肉、鸭蛋、花生、白糖等，常常食用会使血液酸化;反之，含有钠、钙、镁的食物则属于碱性食物。海带所含碱性最大，所以可以多吃海带。另外，一些干果类，如腰果、胡桃及芽菜类等，都含有丰富的蛋白质、脂肪、维生素A、E和矿物质钙、磷、铁等，对提高人体的记忆力，都有相当程度的帮助。
规则二：适当吃些脂肪性食物
考试前，应多吃些主食。适当摄取脂肪可增强记忆力，脂肪中含有磷脂和胆固醇，磷脂是三磷酸腺苷的主要成分，三磷酸腺苷又是大脑细胞能量代谢不可缺少的高能物质。胆固醇也是大脑活动的所需物质，学生尤不可缺。所以，适当吃些脂肪性食物对青少年来说是没有坏处的。还可多吃些水果，特别是含葡萄糖较多的浆果，如葡萄、草莓等。若食欲过差，可适当服些多维葡萄糖。要保证足够的蛋白质，对促进身体发育和智力发育都有好处。平时，学生每日需要蛋白质70~80克，复习考试期间可适当增加一些，蛋白质以动物性食品，如奶、蛋、鱼、肉中的蛋白质为佳。大豆蛋白也是优质蛋白，多吃些豆制品很有必要。
规则三：考前食谱不要大变脸
考生考前饮食不要因高考临近而刻意改变，在临考前的一段时间及考试期间，饮食量都不要比平时增加太多，尤其考试期间饮食不要做太大的变动，应和平时保持一致。
同时，考生的饮食要保证主食的摄入量，以前人们总是认为主食可有可无，只要多吃些鱼类、肉类的食物即可，其实这些食物只能补充人体所需的蛋白质，而大脑思维主要依靠的是葡萄糖，只有主食才能转化为葡萄糖，这就需要每天要摄取一定量的主食。
规则四：勿用饮料代替白开水
考生考前应多喝水，每天要保证1500~2000ml的摄入量，切忌不能以喝饮料代替喝水，最好是白开水，矿泉水和纯净水也可以多喝些。充足的水分可确保血液循环顺畅，这样大脑工作所需的氧才能得到及时供应。一些含糖的饮料在吃饭前最好不要吃，易产生饱腹感，不利进餐时的食量。考生考前可以喝一些茶及咖啡，但一定不能太浓，浓茶及浓咖啡都有兴奋的作用，会适得其反，影响睡眠质量。考试期间一定不要喝咖啡，因为咖啡因的作用会使人产生尿频，影响考生的临场发挥。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
等差、等比数列是高考的一个基本考查点.选择题、填空题突出“小而巧”，主要考查性质的灵活应用及对概念的理解；解答题突出“大而全”，着重考查函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想.在高考中也可能出现新的命题背景，如定义新数列进而转化为等差、等比数列.从近几年的高考命题来看，对等差、等比数列的考查更加突出其本质特征.
考点示例
1.等差、等比数列基本运算
例1 （2010辽宁卷）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=______.
分析:考查等差数列的基本公式的灵活应用.解决本题首先根据公式求得首项与公差，再利用通项公式求得最后结果.
解析:设等差数列的首项为a1，公差为d，则由S3=3,S6=24得3a1+3×22d=36a1+6×52d=24 ，解得a1=－1,d=2，所以a9=a1+8d=15.
点评：等差、等比数列的通项公式与前n项和公式是数列计算问题的基本依据，“基本量法”是常用的方法，有时灵活地运用性质，可使运算简便.
点评：利用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，由五个量a1,d(q),n,an,Sn中的三个量即可求其余两个量，即“知三求二”，体现解方程思想.解答等差、等比数列的有关问题时，“基本量”（等差数列中的首项a1和公差d或等比数列中的首项a1和公比q）法是常用方法.
2.等差、等比数列判定
例2 已知数列{an}满足a1=1,a2=3，an+2=3an+1－2an(n∈N)，
（1）证明：数列{an+1－an}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若数列{bn}满足4b1－14b2－1…4bn－1=(an+1)bn(n∈N)，证明{bn}是等差数列.
解：（1）证明：因为an+2=3an+1－2an，所以an+2－an+1=2(an－1－an)，
所以an+2－an+1an+1－an=2(n∈N)，因为a1=1,a2=3，所以{an+1－an}是以a2－a1=2为首项，2为公比的等比数列.
（2）解：由（1）得an+1－an=2n(n∈N)，
所以an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+…+(a2－a1)+a1
=2n－1+2n－2+…+2+1=2n－1(n∈N).
（3）证明：因为4b1－14b2－1…4bn－1=(an+1)bn，所以4(b1+b2+…+bn)－n=2nbn，
所以2=nbn……（1）
2=(n+1)bn+1……（2）
（2）－（1）得2(bn+1－1)=(n+1)bn+1－nbn，即(n－1)bn+1－nbn+2=0……（3）
所以nbn+2－(n+1)bn+1+2=0……（4），
（4）－（3）得nbn+2－2nbn+1+nbn=0，
即bn+2－2bn+1+bn=0，所以bn+2－bn+1=bn+1－bn(n∈N)，所以{bn}是等差数列.
点评：判断某个数列是否为等差（或等比）数列，常用方法有两种：一是由定义判断，二是看任意相邻三项是否满足等差中项（或等比中项），注意只要其中的一项不符合，就不能为等差（或等比）数列，而想判断某个数列不是等差（或等比）数列，只需看前三项即可.
3.等差、等比数列的性质
例3 （2010全国卷理科）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=
A.52B.7
C.6D.42
分析:本题主要考查了等比数列的性质.
解析:解法一：设等比数列{an}的公比为q，∵a4=a1q3，a5=a2q3，a6=a3q3，a7=a4q3，a8=a5q3，a9=a6q3，∴a1a2a3、a4a5a6、a7a8a9成等比数列，∴a4a5a6=a1a2a3×a7a8a9=50=52.
解法二：由等比数列的性质知a1a2a3=(a1a3)•a2=a32=5，a7a8a9=(a7a9)•a8=a38=10,所以a2a8=5013,所以a4a5a6=(a4a6)•a5=a35=(a2a8)3=(5016)3=52.
点评:数列及其前n项的性质是高考考查的热点，希望同学能归纳整理一下.
例4 （2010安徽卷）设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z，则下列等式中恒成立的是
A.X+Z=2YB.Y(Y－X)=Z(Z－X)
C.Y2=XZD.Y(Y－X)=X(Z－X)
分析:本题考查等比数列的性质.
解析:设数列的公比为q，则a1+a2+a3+…+an=X;
an+1+an+2+an+3+…+a2n=Y－X=Xqn;
a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n=Z－Y=Xq2n;
所以Y－XX=Z－YY－X,化简得：Y(Y-X)=X(Z-X).所以D正确.
点评:本题主要根据等比数列的和性质，本题也可以利用数列的和的公式求解，但是相对提供的方法计算难度比较大.其中性质：利用等差数列中，若m+n=p+q，有am+an=ap+aq；等比数列中，若m+n=p+q，有aman=apaq．是常考知识点.
4.数列中的最值
例5 （2010辽宁卷）已知数列{an}满足a1=33,an+1－an=2n,则ann的最小值为______.
分析:考查数列的通项公式的求解以及利用单调性求函数的最值.
解析:观察已知条件，可以利用累加法求数列的通项公式：
a2－a1=2a3－a2=4
a4－a3=6
……
an－an－1=2(n－1)
把以上各式相加即得：
an=n2－n+33,
所以：ann=n+33n－1,
根据通过研究函数y=x+33x性质知;当n=33≈5.7时取得最小值，但是由于n是整数，所以需要验证5.7附近整数的值的大小：故需要验证n=5或6，当n=5时，ann=10.6,当n=6时，ann=10.5,显然当n=6时，ann取得最小值.最小值为：212.
点评:解决本题首先需要明确已知条件满足利用累加法求通项公式，再通过构造函数利用单调性求得最小值.本题极容易在最后直接应用均值定理确定所求数列的最小值为233－1，从而忽略了n的取值必须是正整数.故关于数列问题一定要注意n的取值范围，同时应用均值不等式求解最值问题也要考虑到取等号的条件.
点评：求等差数列的前n项的和最值的方法.（1）转化为二次函数的最值解决：由Sn=na1+n(n－1)d2=d2n2+(a1－12d)n可知，Sn是关于n的二次函数，故可用配方法来解决.
（2）利用数列的性质解决：①若数列首项a1<0,d>0，数列{an}是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，由an≤0an+1≥0 可求n.
②若数列首项a1>0,d>0，数列{an}是递减数列，正数项有限，前n项或有最大值，由an≥0，an+1≤0， 可求n.
5.数列求和
例6 （2010天津卷）设{an}是等比数列，公比q=2，Sn为{an}的前n项和.记Tn=17Sn-S2nan+1,n∈N*.设Tn0为数列{Tn}的最大项，则n0=______.
分析:本题考查等比数列的通项公式和前n项和公式及均值不等式等求函数最值的方法，考查学生的推理及运算能力.
解析:an+1=a1(2)n,Sn=a12)n〗1－2,S2n=a12)2n〗1－2,
故Tn=17Sn－S2nan+1=16－17(2)n+(2)2n(1－2)(2)n=1(1－2)16(2)n+(2)n－17〗
≤11－2(216－17)=－(1+2)，（当且仅当(2)n=16(2)n即n=4时取等号）.
点评：本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对(2)n进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.
备考策略
1.准确理解、熟练掌握数列的有关概念和公式，数列的有关概念和公式是解决数列问题的基础，也是关键.因此必须准确理解并熟练掌握它，如等比数列的前n项和公式就分公比q是否为1两种情况进行讨论.
2.巧用性质、灵活自如.等差、等比数列的有关性质在解决数列问题（特别是客观题）时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简捷优美.
3.灵活运用特例与一般的关系.对于那些比较抽象的数列问题（如递推数列问题或综合数列问题），要善于从特例入手，进行个别试验，然后对试验的结果进行分析、归纳、抽象、概括，作出猜想，再证明其正确性，也就是从特例到一般；而对于有些数列（如某些数列应用题），如果从特例入手就使问题的解决过程繁琐，这时从一般入手（如寻求其递推关系或猜想通项公式，或构造辅助数列等）反而使问题得到简捷的解法.
怎样保证考生饮食健康
考生考前饮食调理非常重要，保证其饮食的健康性必须遵循以下四个规则。
规则一：食物酸碱性恰当搭配
一般来说，人体在正常情况下，血液呈碱性，当用脑过度或体力消耗大时，血液则呈酸性，所以，若长期偏好吃酸性食物，会使血液酸性化，大脑和神经功能就易退化，引起记忆力减退。含磷、氯、硫的食物都属于酸性食物，如大米、面粉、鱼、肉、鸭蛋、花生、白糖等，常常食用会使血液酸化;反之，含有钠、钙、镁的食物则属于碱性食物。海带所含碱性最大，所以可以多吃海带。另外，一些干果类，如腰果、胡桃及芽菜类等，都含有丰富的蛋白质、脂肪、维生素A、E和矿物质钙、磷、铁等，对提高人体的记忆力，都有相当程度的帮助。
规则二：适当吃些脂肪性食物
考试前，应多吃些主食。适当摄取脂肪可增强记忆力，脂肪中含有磷脂和胆固醇，磷脂是三磷酸腺苷的主要成分，三磷酸腺苷又是大脑细胞能量代谢不可缺少的高能物质。胆固醇也是大脑活动的所需物质，学生尤不可缺。所以，适当吃些脂肪性食物对青少年来说是没有坏处的。还可多吃些水果，特别是含葡萄糖较多的浆果，如葡萄、草莓等。若食欲过差，可适当服些多维葡萄糖。要保证足够的蛋白质，对促进身体发育和智力发育都有好处。平时，学生每日需要蛋白质70~80克，复习考试期间可适当增加一些，蛋白质以动物性食品，如奶、蛋、鱼、肉中的蛋白质为佳。大豆蛋白也是优质蛋白，多吃些豆制品很有必要。
规则三：考前食谱不要大变脸
考生考前饮食不要因高考临近而刻意改变，在临考前的一段时间及考试期间，饮食量都不要比平时增加太多，尤其考试期间饮食不要做太大的变动，应和平时保持一致。
同时，考生的饮食要保证主食的摄入量，以前人们总是认为主食可有可无，只要多吃些鱼类、肉类的食物即可，其实这些食物只能补充人体所需的蛋白质，而大脑思维主要依靠的是葡萄糖，只有主食才能转化为葡萄糖，这就需要每天要摄取一定量的主食。
规则四：勿用饮料代替白开水
考生考前应多喝水，每天要保证1500~2000ml的摄入量，切忌不能以喝饮料代替喝水，最好是白开水，矿泉水和纯净水也可以多喝些。充足的水分可确保血液循环顺畅，这样大脑工作所需的氧才能得到及时供应。一些含糖的饮料在吃饭前最好不要吃，易产生饱腹感，不利进餐时的食量。考生考前可以喝一些茶及咖啡，但一定不能太浓，浓茶及浓咖啡都有兴奋的作用，会适得其反，影响睡眠质量。考试期间一定不要喝咖啡，因为咖啡因的作用会使人产生尿频，影响考生的临场发挥。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文