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纵观近几年的高考,数列的考查有如下特征: 题型稳定.近几年来高考数列试题一直稳定在1-2个小题和1道大题上,分值约为20分左右, 占总分值的12%左右.关于数列的考查主要有以三个方面的内容:一是数列本身的知识,主要是等差数列、等比数列概念、通项公式、性质、前n项和公式;二是数列与其它知识的交汇如:与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何等知识的结合;三是数列的应用问题,主要是增长率、分期付款等.下面针对高考中的几个热点举例分析说明如下:
1.数列本身的知识的问题
例1 (2009湖南卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7= .
【解析】S7=7(a1+a7)2=7(a2+a6)2=7(3+11)2=49
或由a2=a1+d=3a6=a1+5d=11 a1=1d=2 ,a7=1+6×2=13.
所以S7=7(a1+a7)2=7(1+13)2=49.
【点评】数列中的填空题,常常是考查数列的概念、性质、通项公式等,解决问题的方法,基本上是转化为等差或等比数列,再用方程与数列性质来解决,即建立以a1和d(或q)为未知数建立方程,解出a1和d(或q),问题基本就可以解决了.
2.数列与函数相结合问题
例2 (南通市2009-2010高三一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及前n项和;(II)设数列{bn}的通项公式为bn=anan+t,问: 是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得a5+a13=34,3a2=9,即a1+8d=17,a1+d=3, 解得a1=1,d=2. ,故an=2n-1,Sn=n2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=2n-12n-1+t.要使b1,b2,bm成等差数列,必须2b2=b1+bm,
即2×33+t=11+t+2m-12m-1+t,整理得m=3+4t-1,因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5.当t=2时,m=7;当t=3时,m=5;当t=5时,m=4.故存在正整数t,使得b1,b2,bm成等差数列.
【点评】第(Ⅰ)问思路明确,只要求基本量a1,d即可;第(Ⅱ)问须构造出m,t的函数关系式,然后用整除的性质.
例3 (南京市2009-2010高三期末)设函数f(x)=2x+33x(x>0),数列{an}满足:
a1=1,an=f1an-1(n∈N*,且n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n-1anan+1,若Tn≥tn2对n∈N*恒成立,求实数t的取值范围;
(3)是否存在以a1为首项,公比为q(0 【解析】(1)因为an=f1an-1=2×1an-1+33×1an-1=an-1+23,(n∈N*,且n≥2),
所以an-an-1=23.因为a1=1,所以数列{an}是以1为首项,公差为23的等差数列.
所以an=2n+13.
(2)①当n=2m,m∈N*时,
Tn=T2m=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)2m-1a2ma2m+1
=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2m(a2m-1-a2m+1)
=-43(a2+a4+…+a2m)=-43×a2+a2m2×m=-19(8m2+12m)=-19(2n2+6n).
②当n=2m-1,m∈N*时,
Tn=T2m-1=T2m-(-1)2m-1a2ma2m+1=-19(8m2+12m)+19(16m2+16m+3)
=19(8m2+4m+3)=19(2n2+6n+7).
所以Tn=-19(2n2+6n),n为偶数,19(2n2+6n+7),n为奇数 .
要使Tn≥tn2对n∈N*恒成立,只要使-19(2n2+6n)≥tn2,(n为偶数)恒成立.
只要使-192+6n≥t,对n为偶数恒成立,故实数t的取值范围为-∞,-59.
⑶由an=2n+13,知数列{an}中每一项都不可能是偶数.
①若存在以a1为首项,公比q为2或4的数列{ank},k∈N*,
此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数,故不存在以a1为首项,公比为偶数的数列{ank}.
②当q=1时,显然不存在这样的数列{ank}.
③当q=3时,若存在以a1为首项,公比为3的数列{ank},k∈N*.
则an1=1,n1=1,ank=3k-1=2nk+13,nk=3k-12.
所以满足条件的数列{nk}的通项公式为nk=3k-12.
【点评】第(2)问的关键是求和后转化为函数中的恒成立问题.
3.数列与向量相结合的问题
例4 设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是i、j,O为坐标原点.坐标平面上点An、Bn(n∈N*)分别满足下列两个条件:①OA1=j且AnAn+1=i+j;②OB1=3i且BnBn+1=(23)n×3i.
(1)求OAn及OBn的坐标;(2)若四边形AnBnBn+1An+1的面积是an,求an(n∈N*)的表达式;(3)对于(2)中的an,是否存在最小的自然数M,对一切(n∈N*)都有an 【解析】(1)OAn=OA1+A1A2+…+An-1An=j+(n-1)(i+j)=(n-1)i+nj=(n-1,n).
OBn=OB1+B1B2+…+Bn-1Bn=3i+(23)1×3i+(23)2×3i+…+(23)n-1×3i
=1-(23)n1-23×3i=(9-9×(23)n,0).
(2)设P(-1,0),an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn=12[10-9×(23)n+1]×(n+1)-12[10-9×(23)n]×n
=5+(n-2)×(23)n-1.
(3)an-an+1=[5+3(n-2)×(23)n-1]-[5+3(n-1)×(23)n]
=3×(23)n-1[(n-2)-(n-1)×(23)]=(n-4)×(23)n-1.∴ a1-a2<0,a2-a3<0,a3-a4<0.a4-a5=0,a5-a6>0,a6-a7>0,当n≥7时,an-an+1>0.即在数列{an}中,a4=a5=5+1627是数列的最大项,所以存在最小的自然数M=6,对一切n∈N*,都有an 【点评】本题是向量与数列的结合,其实这里的向量只是个“外衣”,是个载体,利用向量的运算,就可以将向量的问题转化为数列的问题.
4.数列与解析几何结合问题
例5 如图,在直角坐标系xOy中,有一组对角线长为an的正方形AnBnCnDn(n=1,2,…),其对角线BnDn依次放置在x轴上(相邻顶点重合). 设{an}是首项为a,公差为d(d>0)的等差数列,点B1的坐标为(d,0).
(1)当a=8,d=4时,证明:顶点A1、A2、A3不在同一条直线上;
(2)在(1)的条件下,证明:所有顶点An均落在抛物线y2=2x上;
(3)为使所有顶点An均落在抛物线y2=2px(p>0)上,求a与d之间所应满足的关系式.
【解析】(1)由题意可知,A1(8,4),A2(18,6),A3(32,8),
∴kA1A2=6-418-8=15,kA2A3=8-632-18=17.∵kA1A2≠kA2A3,
∴ 顶点A1,A2,A3不在同一条直线上.
(2)由题意可知,顶点An的横坐标xn=d+a1+a2+…+an-1+12an=2(n+1)2,
顶点An的纵坐标yn=12an=2(n+1).∵ 对任意正整数n,点An(xn,yn)的坐标满足方程y2=2x,∴ 所有顶点An均落在抛物线y2=2x上.
(3)由题意可知,顶点An的横、纵坐标分别是
xn=d+12a+(n-1)a+12(n-1)2d,yn=12[a+(n-1)d]
消去n-1,可得 xn=2dy2n+d+a(d-a)2d.
为使得所有顶点An均落在抛物线y2=2px(p>0)上,则有
d2=2p,d+a(d-a)2d=0. 解之,得 d=4p,a=8p.
∴ a、d所应满足的关系式是:a=2d.
【点评】对于数列与解析几何相结合的问题,这里是正方形的对角线为数列的项,通过它得到An的坐标作为数列中的项,将数列与解析几何结合起来.这类题的综合性和探索性较强,知识的交汇清新自然且难度较大,能有效地考查深层次的数学品质和数学综合素质,因而极易在高考中出现.
5. 数列与线性规划结合问题
例6 (2008四川卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为 .
【解析】由题意,4a1+4×32d≥105a1+5×42d≤15 ,即2a1+3d≥5a1+2d≤3 .又a4=a1+3d.
这是加了包装的线性规划.建立平面直角坐标系a1Od,画出可行域2a1+3d≥5a1+2d≤3 (图略),画出目标函数即直线a4=a1+3d,由图知,当直线a4=a1+3d过可行域内(1,1)点时截距最大,此时目标函数取最大值a4=4.
【点评】本题明为数列,实为线性规划,着力考查了转化化归和数形结合思想.掌握线性规划问题“画-移-求-答”四步曲,理解线性规划解题程序的实质是根本.这是本题的命题意图.
6. 数列中的数表问题
例7 第一行是等差数列0,1,2,3,…,2008,2009,2010,将其相邻两项的和依次写下作为第二行,第二行相邻两项的和依次写下作为第三行,依此类堆,共写出2011行.
0, 1, 2, 3,…,2008, 2009, 2010
1, 3, 5, …, 4017, 4019
4, 8, … , 8036
……
(1)第一行至第2010行各行都能构成等差数列(定义只有两项的数列a1,a2也称等差数列).若各行的公差组成数列{di}(i=1,2,…,2010),则通项公式di为 .
(2)将各行的第一个数组成数列{aj}(j=1,2,…,2011),则第2011行的第一个数a2011= .
【解析】(1) 设第amn(m,n∈N)表示第m行第n个数,则di+1=a(i+1)(k+1)-a(i+1)k
=ai(k+1)+ai(k+2)-aik-ai(k+1)=ai(k+2)-aik=2didi+1di=2.所以{di}是以d1=1为首项,2为公比的等比数列,从而di=d1•2i-1=2i-1.
(2)a(j+1)1=aj1+aj2=aj1+aj1+dj=2aj1+2j-1,两边同除以2j+1得,a(j+1)12j+1=aj12j+14a(j+1)12j+1-aj12j=14,所以数列aj12j是以a112=02=0为首项,14为公差的等差数列,∴aj12j=0+(j-1)•14aj1=14(j-1)•2j=(j-1)•2j-2.所以a2011=2010•22009.
【点评】第(1) 问关键是判断{di}为等比数列,第(2) 问的关键是构造等差数列aj12j.
由以上分析可以看出,在数列备考复习中,在知识的掌握上可以从以下几个方面着手:1.学会运用基本量思想(方程思想)解决有关问题;2.注意等差、等比数列的性质的灵活运用;3.注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用; 4.注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式;5.根据递推公式,通过寻找规律,运用归纳思想,写出数列中的某一项或通项,主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳; 6.掌握数列通项an与前n项和Sn之间的关系;7.根据递推关系,运用化归思想,将其转化为常见数列;8.掌握一些数列求和的方法:(1)分解成特殊数列的和,(2)裂项求和,(3)“错位相减”法求和;9.以等差、等比数列的基本问题为主,突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用.题型方法上注意1. 求数列的通项通常有两种题型:一是根据所给的一列数,通过观察求通项;二是根据递推关系式求通项;2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题,对不等式的证明有比较法、放缩,放缩通常要化归为等比数列和可裂项的形式;3. 数列是特殊的函数,而函数又是高中数学的一条主线,所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题,这应是命题的一个方向.
(作者:严循跃,江苏省如皋中学)
1.数列本身的知识的问题
例1 (2009湖南卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7= .
【解析】S7=7(a1+a7)2=7(a2+a6)2=7(3+11)2=49
或由a2=a1+d=3a6=a1+5d=11 a1=1d=2 ,a7=1+6×2=13.
所以S7=7(a1+a7)2=7(1+13)2=49.
【点评】数列中的填空题,常常是考查数列的概念、性质、通项公式等,解决问题的方法,基本上是转化为等差或等比数列,再用方程与数列性质来解决,即建立以a1和d(或q)为未知数建立方程,解出a1和d(或q),问题基本就可以解决了.
2.数列与函数相结合问题
例2 (南通市2009-2010高三一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及前n项和;(II)设数列{bn}的通项公式为bn=anan+t,问: 是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得a5+a13=34,3a2=9,即a1+8d=17,a1+d=3, 解得a1=1,d=2. ,故an=2n-1,Sn=n2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn=2n-12n-1+t.要使b1,b2,bm成等差数列,必须2b2=b1+bm,
即2×33+t=11+t+2m-12m-1+t,整理得m=3+4t-1,因为m,t为正整数,所以t只能取2,3,5.当t=2时,m=7;当t=3时,m=5;当t=5时,m=4.故存在正整数t,使得b1,b2,bm成等差数列.
【点评】第(Ⅰ)问思路明确,只要求基本量a1,d即可;第(Ⅱ)问须构造出m,t的函数关系式,然后用整除的性质.
例3 (南京市2009-2010高三期末)设函数f(x)=2x+33x(x>0),数列{an}满足:
a1=1,an=f1an-1(n∈N*,且n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n-1anan+1,若Tn≥tn2对n∈N*恒成立,求实数t的取值范围;
(3)是否存在以a1为首项,公比为q(0
所以an-an-1=23.因为a1=1,所以数列{an}是以1为首项,公差为23的等差数列.
所以an=2n+13.
(2)①当n=2m,m∈N*时,
Tn=T2m=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)2m-1a2ma2m+1
=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2m(a2m-1-a2m+1)
=-43(a2+a4+…+a2m)=-43×a2+a2m2×m=-19(8m2+12m)=-19(2n2+6n).
②当n=2m-1,m∈N*时,
Tn=T2m-1=T2m-(-1)2m-1a2ma2m+1=-19(8m2+12m)+19(16m2+16m+3)
=19(8m2+4m+3)=19(2n2+6n+7).
所以Tn=-19(2n2+6n),n为偶数,19(2n2+6n+7),n为奇数 .
要使Tn≥tn2对n∈N*恒成立,只要使-19(2n2+6n)≥tn2,(n为偶数)恒成立.
只要使-192+6n≥t,对n为偶数恒成立,故实数t的取值范围为-∞,-59.
⑶由an=2n+13,知数列{an}中每一项都不可能是偶数.
①若存在以a1为首项,公比q为2或4的数列{ank},k∈N*,
此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数,故不存在以a1为首项,公比为偶数的数列{ank}.
②当q=1时,显然不存在这样的数列{ank}.
③当q=3时,若存在以a1为首项,公比为3的数列{ank},k∈N*.
则an1=1,n1=1,ank=3k-1=2nk+13,nk=3k-12.
所以满足条件的数列{nk}的通项公式为nk=3k-12.
【点评】第(2)问的关键是求和后转化为函数中的恒成立问题.
3.数列与向量相结合的问题
例4 设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是i、j,O为坐标原点.坐标平面上点An、Bn(n∈N*)分别满足下列两个条件:①OA1=j且AnAn+1=i+j;②OB1=3i且BnBn+1=(23)n×3i.
(1)求OAn及OBn的坐标;(2)若四边形AnBnBn+1An+1的面积是an,求an(n∈N*)的表达式;(3)对于(2)中的an,是否存在最小的自然数M,对一切(n∈N*)都有an
OBn=OB1+B1B2+…+Bn-1Bn=3i+(23)1×3i+(23)2×3i+…+(23)n-1×3i
=1-(23)n1-23×3i=(9-9×(23)n,0).
(2)设P(-1,0),an=S△PAn+1Bn+1-S△PAnBn=12[10-9×(23)n+1]×(n+1)-12[10-9×(23)n]×n
=5+(n-2)×(23)n-1.
(3)an-an+1=[5+3(n-2)×(23)n-1]-[5+3(n-1)×(23)n]
=3×(23)n-1[(n-2)-(n-1)×(23)]=(n-4)×(23)n-1.∴ a1-a2<0,a2-a3<0,a3-a4<0.a4-a5=0,a5-a6>0,a6-a7>0,当n≥7时,an-an+1>0.即在数列{an}中,a4=a5=5+1627是数列的最大项,所以存在最小的自然数M=6,对一切n∈N*,都有an
4.数列与解析几何结合问题
例5 如图,在直角坐标系xOy中,有一组对角线长为an的正方形AnBnCnDn(n=1,2,…),其对角线BnDn依次放置在x轴上(相邻顶点重合). 设{an}是首项为a,公差为d(d>0)的等差数列,点B1的坐标为(d,0).
(1)当a=8,d=4时,证明:顶点A1、A2、A3不在同一条直线上;
(2)在(1)的条件下,证明:所有顶点An均落在抛物线y2=2x上;
(3)为使所有顶点An均落在抛物线y2=2px(p>0)上,求a与d之间所应满足的关系式.
【解析】(1)由题意可知,A1(8,4),A2(18,6),A3(32,8),
∴kA1A2=6-418-8=15,kA2A3=8-632-18=17.∵kA1A2≠kA2A3,
∴ 顶点A1,A2,A3不在同一条直线上.
(2)由题意可知,顶点An的横坐标xn=d+a1+a2+…+an-1+12an=2(n+1)2,
顶点An的纵坐标yn=12an=2(n+1).∵ 对任意正整数n,点An(xn,yn)的坐标满足方程y2=2x,∴ 所有顶点An均落在抛物线y2=2x上.
(3)由题意可知,顶点An的横、纵坐标分别是
xn=d+12a+(n-1)a+12(n-1)2d,yn=12[a+(n-1)d]
消去n-1,可得 xn=2dy2n+d+a(d-a)2d.
为使得所有顶点An均落在抛物线y2=2px(p>0)上,则有
d2=2p,d+a(d-a)2d=0. 解之,得 d=4p,a=8p.
∴ a、d所应满足的关系式是:a=2d.
【点评】对于数列与解析几何相结合的问题,这里是正方形的对角线为数列的项,通过它得到An的坐标作为数列中的项,将数列与解析几何结合起来.这类题的综合性和探索性较强,知识的交汇清新自然且难度较大,能有效地考查深层次的数学品质和数学综合素质,因而极易在高考中出现.
5. 数列与线性规划结合问题
例6 (2008四川卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为 .
【解析】由题意,4a1+4×32d≥105a1+5×42d≤15 ,即2a1+3d≥5a1+2d≤3 .又a4=a1+3d.
这是加了包装的线性规划.建立平面直角坐标系a1Od,画出可行域2a1+3d≥5a1+2d≤3 (图略),画出目标函数即直线a4=a1+3d,由图知,当直线a4=a1+3d过可行域内(1,1)点时截距最大,此时目标函数取最大值a4=4.
【点评】本题明为数列,实为线性规划,着力考查了转化化归和数形结合思想.掌握线性规划问题“画-移-求-答”四步曲,理解线性规划解题程序的实质是根本.这是本题的命题意图.
6. 数列中的数表问题
例7 第一行是等差数列0,1,2,3,…,2008,2009,2010,将其相邻两项的和依次写下作为第二行,第二行相邻两项的和依次写下作为第三行,依此类堆,共写出2011行.
0, 1, 2, 3,…,2008, 2009, 2010
1, 3, 5, …, 4017, 4019
4, 8, … , 8036
……
(1)第一行至第2010行各行都能构成等差数列(定义只有两项的数列a1,a2也称等差数列).若各行的公差组成数列{di}(i=1,2,…,2010),则通项公式di为 .
(2)将各行的第一个数组成数列{aj}(j=1,2,…,2011),则第2011行的第一个数a2011= .
【解析】(1) 设第amn(m,n∈N)表示第m行第n个数,则di+1=a(i+1)(k+1)-a(i+1)k
=ai(k+1)+ai(k+2)-aik-ai(k+1)=ai(k+2)-aik=2didi+1di=2.所以{di}是以d1=1为首项,2为公比的等比数列,从而di=d1•2i-1=2i-1.
(2)a(j+1)1=aj1+aj2=aj1+aj1+dj=2aj1+2j-1,两边同除以2j+1得,a(j+1)12j+1=aj12j+14a(j+1)12j+1-aj12j=14,所以数列aj12j是以a112=02=0为首项,14为公差的等差数列,∴aj12j=0+(j-1)•14aj1=14(j-1)•2j=(j-1)•2j-2.所以a2011=2010•22009.
【点评】第(1) 问关键是判断{di}为等比数列,第(2) 问的关键是构造等差数列aj12j.
由以上分析可以看出,在数列备考复习中,在知识的掌握上可以从以下几个方面着手:1.学会运用基本量思想(方程思想)解决有关问题;2.注意等差、等比数列的性质的灵活运用;3.注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用; 4.注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式;5.根据递推公式,通过寻找规律,运用归纳思想,写出数列中的某一项或通项,主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳; 6.掌握数列通项an与前n项和Sn之间的关系;7.根据递推关系,运用化归思想,将其转化为常见数列;8.掌握一些数列求和的方法:(1)分解成特殊数列的和,(2)裂项求和,(3)“错位相减”法求和;9.以等差、等比数列的基本问题为主,突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用.题型方法上注意1. 求数列的通项通常有两种题型:一是根据所给的一列数,通过观察求通项;二是根据递推关系式求通项;2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题,对不等式的证明有比较法、放缩,放缩通常要化归为等比数列和可裂项的形式;3. 数列是特殊的函数,而函数又是高中数学的一条主线,所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题,这应是命题的一个方向.
(作者:严循跃,江苏省如皋中学)