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1. 求定义域或解不等式出错
例1求函数[y=11+tanx]的定义域．
错解∵[1+tanx≠0]，[∴x≠kπ-π4]，[k∈Z].
[∴]所求函数定义域为[{x|x≠kπ-π4,k∈Z}]．
分析[x=kπ+π2,k∈Z]时，[tanx]没有意义．
正解∵[1+tanx≠0,]
∴该函数定义域为
[{x|x≠kπ-π4]且[x≠kπ+π2,k∈Z}].
点拨求含正切函数的函数定义域时，不仅要解析式有意义，还要正切函数本身有意义，而且还要注意三角函数的定义域中含[k∈Z]时不能用区间表示，如此题答案不能为[kπ-π2,kπ-π4⋃kπ-π4,kπ+π2][(k∈Z)]，因为它表示无穷多个孤立的集合．
例2解不等式[tanx+3>0]．
错解一由[tanx+3>0]得[tanx>-3].
∴[x>kπ-π3,k∈Z].
∴所求不等式解集为[xx>kπ-π3,k∈Z]．
错解二所求不等式解集为[xx>kπ-π3]且[x≠kπ+π2,k∈Z]．
分析错解一，因为没有考虑正切函数定义域；错解二，错用正切函数的单调性.
∵正切函数在每一个区间[kπ-π2,kπ+π2(k∈Z)]上是增函数，在定义域上不是单调函数，
∴不能由[tanx>-3]得[x>kπ-π3,]
且[x≠kπ+π2,k∈Z]．
又[xx>kπ-π3]且[x≠kπ+π2,k∈Z]表示对任何整数[k]，满足[x>kπ-π3]且[x≠kπ+π2] 的一切实数[x]的集合.
∴[xx>kπ-π3]且[x≠kπ+π2,k∈Z]实质上表示实数集R，显然[x=-π3]不是原不等式的解．
正解由正切线或正切曲线得，不等式解集为[xkπ-π3 点拨解三角不等式时不仅要不等式两边和三角函数本身有意义，而且要充分利用三角函数的图象（或三角函数线）和性质（单调性和周期性等）来解．
2. 求值域或最值出错
例3已知[θ∈[-π2，π2]]，求函数[y=sinθ+cosθ]的值域．
错解[∵][sinθ+cosθ=2sin(θ+π4),]
[∴][sin(θ+π4)≤1].
[∴]函数[y=sinθ+cosθ]的值域为[[-2，2]].
分析盲目套用正弦函数有界性，忽视已知角[θ]的取值范围．
正解[∵y=sinθ+cosθ=2sinθ+π4]，
[∴θ∈[-π2,π2]].[∴θ+π4∈[-π4,3π4]].
根据正弦函数在[[-π4,3π4]]上的图象可知，
当[θ+π4=-π4]， [y]有最小值-1；
当[θ+π4=π2]时，[y]有最大值[2]．
[∴]所求值域为[[-1,2]].
点拨求三角函数的值域时要优先考虑已知角的取值范围，否则范围可能过大．
例4已知[2α+β=π]，求[y=cosβ-6sinα]的最小值和最大值．
错解∵[2α+β=π]，即[β=π-2α]，
[∴y=cos(π-2α)-6sina=-cos2α-6sinα=2sin2α-6sinα-1=2(sinα-32)2-112.]
所以[ymin=-112,ymax]不存在．
分析盲目套用二次函数求最值，没有考虑正弦函数的有界性，这里的[sinα]不可能等于[32]．
正解由上得[y=2(sinα-32)2-112].
∵[-1≤sinα≤1]，
[∴]当[sinα=-1]时，[ymax=7]；
当[sinα=1]时，[ymin=-5].
点拨求三角函数最值时，不仅要注意变量角的取值范围，而且要注意用三角函数的有界性（正弦、余弦、正切的值域）．
3. 求单调区间出错
例5 求[f(x)=log2sin2x]的增区间．
错解令[t=sin2x]，[y=log2t]，由复合函数单调性知，即求[t=sin2x]的增区间.
[∴2x∈[2kx-π2,2kπ+π2]k∈Z]，即增区间为[[kπ-π4,kπ+π4](k∈Z)].
分析没有考虑[f(x)]有意义的条件即[sin2x>0]，导致增区间超出了定义域．
正解由[sin2x>0]得，
[2x∈(2kπ,2kπ+π),k∈Z].
由正弦函数的增区间得，
[2x∈(2kπ,2kπ+π2],k∈Z].
[∴]所求增区间为[(kπ,kπ+π4]]，[k∈Z].
点拨求单调区间时优先考虑函数的定义域，因为单调区间是定义域的子集．
例6求函数[y=sin(π4-3x)]的减区间．
错解令[π4-3x=u]，则[y=sinu].
[∵y=sinu在[2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)]上递减，
[∴2kπ+π2≤π4-3x≤2kπ+3π2]，
即[-23kπ-5π12≤x≤-23kπ-π12,k∈Z].
故函数的减区间为
[[-23kπ-5π12,-23kπ-π12](k∈Z)]．
分析[∵y=sin(π4-3x)]是[y=sinu与u=π4-3x]复合而成的函数．
又[u=π4-3x]为减函数，
[∴]要求[y=sin(π4-3x)]的减区间即求[y=sinu]的增区间，不应是[[2kπ+π2,2kπ+3π2]][(k∈Z)]，而是[[2kπ-π2,2kπ+π2]][(k∈Z)]．
正解[∵y=sin(π4-3x)=-sin(3x-π4)]，
又[y=sinu在u∈[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z)]递增，
[∴2kπ-π2≤3x-π4≤2kπ+π2,]
即[23kπ-π12≤x≤23kπ+π4(k∈Z)].
[∴]所求函数的减区间为
[[23kπ-π12,23kπ+π4] (k∈Z)].
点拨在求三角函数的单调区间时，若自变量系数为负，先利用诱导公式（三）将自变量系数变正，再用相关三角函数的单调性．
4. 判断奇偶性出错
例7判断函数[f(x)=cosx-1]的奇偶性．
错解 [∵f(-x)=cos(-x)-1=cosx-1=f(x)]，
[∴f(x)]是偶函数．
分析对奇偶性的概念理解不到位，只判断是偶函数没有判断是不是奇函数．
正解∵[cosx≥1]，又[|cosx|≤1]，[∴][cosx=1].
[∴f(x)=0][∴f(-x)=-f(x)]且[f(-x)=f(x)].
∴[f(x)]既是奇函数又是偶函数．
点拨判断函数奇偶性时，应考虑奇函数和偶函数两个方面，不能顾此失彼．
例8判断函数[f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx]的奇偶性.
错解[f(x)=2sin2x2+2sinx2⋅cosx22cos2x2+2sinx2cosx2]
[=2sinx2(sinx2+cosx2)2cosx2(sinx2+cosx2)=tanx2].
即[f(-x)=tan(-x2)=-tanx2=-f(x)]，所以[f(x)]为奇函数．
分析上述化简不是等价变形，没有考虑[sinx2+cosx2≠0]的要求，导致定义域扩大．
正解∵[1+sinx+cos≠0]，[∴2sin(x+π4)≠1].
[∴][x≠2kπ-π2]且[x≠2kπ+π]，[k∈Z]，可见定义域不关于原点对称.
故[f(x)]为非奇非偶函数．
点拨判断函数的奇偶性一定要先求定义域；且化简时一定要注意等价变形．
5. 求周期出错
例9求[y=2tanx1-tan2x]的周期．
错解[∵y=tan2x]，[∴]周期为[π2].
分析[2tanx1-tan2x]有意义，
则[x≠kπ+π2且x≠kπ±π4,k∈Z].
而[tan2x]有意义，[2x≠kπ+π2]，即[x≠kπ2+π4]，[k∈Z].
[∴2tanx1-tan2x=2tanx]不是等价变形.
正解[y=2tanx1-tan2x]的周期是[π]．
点拨求三角函数的周期时也必须考虑函数的定义域，否则会造成错解．
例10求函数[y=|sinx|+|cosx|]的周期．
错解设[f(x)=y]，
[∵f(x+π)=|sin(x+π)|+|cos(x+π)|]
=[|sinx|+|cosx|=f(x)]，
[∴f(x)]的周期是[π]．
分析三角函数的周期与一般函数的周期不同，是指最小正周期．
正解法一：[∵y=|sinx|+|cosx|>0] [∴]函数[y]的周期与函数[y2=1+|sin2x|]的周期相同，而[y2=1+|sin2x|]的周期为[π2]，所以函数[y=|sinx|+|cosx|]的周期为[π2]．
法二：设[f(x)=|sinx|+|cosx|]
[∵f(x+π2)=|sin(x+π2)|+|cos(x+π2)|]
[=|cosx|+|sinx|=f(x), x∈R,]
且[π2]是满足[f(x+T)=f(x)]的最小正数[T]，
[∴]函数[f(x)]的最小正周期为[π2.]
点拨求出三角函数的正周期后，还要看看有没有更小的正周期，注意诱导公式的运用．
例1求函数[y=11+tanx]的定义域．
错解∵[1+tanx≠0]，[∴x≠kπ-π4]，[k∈Z].
[∴]所求函数定义域为[{x|x≠kπ-π4,k∈Z}]．
分析[x=kπ+π2,k∈Z]时，[tanx]没有意义．
正解∵[1+tanx≠0,]
∴该函数定义域为
[{x|x≠kπ-π4]且[x≠kπ+π2,k∈Z}].
点拨求含正切函数的函数定义域时，不仅要解析式有意义，还要正切函数本身有意义，而且还要注意三角函数的定义域中含[k∈Z]时不能用区间表示，如此题答案不能为[kπ-π2,kπ-π4⋃kπ-π4,kπ+π2][(k∈Z)]，因为它表示无穷多个孤立的集合．
例2解不等式[tanx+3>0]．
错解一由[tanx+3>0]得[tanx>-3].
∴[x>kπ-π3,k∈Z].
∴所求不等式解集为[xx>kπ-π3,k∈Z]．
错解二所求不等式解集为[xx>kπ-π3]且[x≠kπ+π2,k∈Z]．
分析错解一，因为没有考虑正切函数定义域；错解二，错用正切函数的单调性.
∵正切函数在每一个区间[kπ-π2,kπ+π2(k∈Z)]上是增函数，在定义域上不是单调函数，
∴不能由[tanx>-3]得[x>kπ-π3,]
且[x≠kπ+π2,k∈Z]．
又[xx>kπ-π3]且[x≠kπ+π2,k∈Z]表示对任何整数[k]，满足[x>kπ-π3]且[x≠kπ+π2] 的一切实数[x]的集合.
∴[xx>kπ-π3]且[x≠kπ+π2,k∈Z]实质上表示实数集R，显然[x=-π3]不是原不等式的解．
正解由正切线或正切曲线得，不等式解集为[xkπ-π3
2. 求值域或最值出错
例3已知[θ∈[-π2，π2]]，求函数[y=sinθ+cosθ]的值域．
错解[∵][sinθ+cosθ=2sin(θ+π4),]
[∴][sin(θ+π4)≤1].
[∴]函数[y=sinθ+cosθ]的值域为[[-2，2]].
分析盲目套用正弦函数有界性，忽视已知角[θ]的取值范围．
正解[∵y=sinθ+cosθ=2sinθ+π4]，
[∴θ∈[-π2,π2]].[∴θ+π4∈[-π4,3π4]].
根据正弦函数在[[-π4,3π4]]上的图象可知，
当[θ+π4=-π4]， [y]有最小值-1；
当[θ+π4=π2]时，[y]有最大值[2]．
[∴]所求值域为[[-1,2]].
点拨求三角函数的值域时要优先考虑已知角的取值范围，否则范围可能过大．
例4已知[2α+β=π]，求[y=cosβ-6sinα]的最小值和最大值．
错解∵[2α+β=π]，即[β=π-2α]，
[∴y=cos(π-2α)-6sina=-cos2α-6sinα=2sin2α-6sinα-1=2(sinα-32)2-112.]
所以[ymin=-112,ymax]不存在．
分析盲目套用二次函数求最值，没有考虑正弦函数的有界性，这里的[sinα]不可能等于[32]．
正解由上得[y=2(sinα-32)2-112].
∵[-1≤sinα≤1]，
[∴]当[sinα=-1]时，[ymax=7]；
当[sinα=1]时，[ymin=-5].
点拨求三角函数最值时，不仅要注意变量角的取值范围，而且要注意用三角函数的有界性（正弦、余弦、正切的值域）．
3. 求单调区间出错
例5 求[f(x)=log2sin2x]的增区间．
错解令[t=sin2x]，[y=log2t]，由复合函数单调性知，即求[t=sin2x]的增区间.
[∴2x∈[2kx-π2,2kπ+π2]k∈Z]，即增区间为[[kπ-π4,kπ+π4](k∈Z)].
分析没有考虑[f(x)]有意义的条件即[sin2x>0]，导致增区间超出了定义域．
正解由[sin2x>0]得，
[2x∈(2kπ,2kπ+π),k∈Z].
由正弦函数的增区间得，
[2x∈(2kπ,2kπ+π2],k∈Z].
[∴]所求增区间为[(kπ,kπ+π4]]，[k∈Z].
点拨求单调区间时优先考虑函数的定义域，因为单调区间是定义域的子集．
例6求函数[y=sin(π4-3x)]的减区间．
错解令[π4-3x=u]，则[y=sinu].
[∵y=sinu在[2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)]上递减，
[∴2kπ+π2≤π4-3x≤2kπ+3π2]，
即[-23kπ-5π12≤x≤-23kπ-π12,k∈Z].
故函数的减区间为
[[-23kπ-5π12,-23kπ-π12](k∈Z)]．
分析[∵y=sin(π4-3x)]是[y=sinu与u=π4-3x]复合而成的函数．
又[u=π4-3x]为减函数，
[∴]要求[y=sin(π4-3x)]的减区间即求[y=sinu]的增区间，不应是[[2kπ+π2,2kπ+3π2]][(k∈Z)]，而是[[2kπ-π2,2kπ+π2]][(k∈Z)]．
正解[∵y=sin(π4-3x)=-sin(3x-π4)]，
又[y=sinu在u∈[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z)]递增，
[∴2kπ-π2≤3x-π4≤2kπ+π2,]
即[23kπ-π12≤x≤23kπ+π4(k∈Z)].
[∴]所求函数的减区间为
[[23kπ-π12,23kπ+π4] (k∈Z)].
点拨在求三角函数的单调区间时，若自变量系数为负，先利用诱导公式（三）将自变量系数变正，再用相关三角函数的单调性．
4. 判断奇偶性出错
例7判断函数[f(x)=cosx-1]的奇偶性．
错解 [∵f(-x)=cos(-x)-1=cosx-1=f(x)]，
[∴f(x)]是偶函数．
分析对奇偶性的概念理解不到位，只判断是偶函数没有判断是不是奇函数．
正解∵[cosx≥1]，又[|cosx|≤1]，[∴][cosx=1].
[∴f(x)=0][∴f(-x)=-f(x)]且[f(-x)=f(x)].
∴[f(x)]既是奇函数又是偶函数．
点拨判断函数奇偶性时，应考虑奇函数和偶函数两个方面，不能顾此失彼．
例8判断函数[f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx]的奇偶性.
错解[f(x)=2sin2x2+2sinx2⋅cosx22cos2x2+2sinx2cosx2]
[=2sinx2(sinx2+cosx2)2cosx2(sinx2+cosx2)=tanx2].
即[f(-x)=tan(-x2)=-tanx2=-f(x)]，所以[f(x)]为奇函数．
分析上述化简不是等价变形，没有考虑[sinx2+cosx2≠0]的要求，导致定义域扩大．
正解∵[1+sinx+cos≠0]，[∴2sin(x+π4)≠1].
[∴][x≠2kπ-π2]且[x≠2kπ+π]，[k∈Z]，可见定义域不关于原点对称.
故[f(x)]为非奇非偶函数．
点拨判断函数的奇偶性一定要先求定义域；且化简时一定要注意等价变形．
5. 求周期出错
例9求[y=2tanx1-tan2x]的周期．
错解[∵y=tan2x]，[∴]周期为[π2].
分析[2tanx1-tan2x]有意义，
则[x≠kπ+π2且x≠kπ±π4,k∈Z].
而[tan2x]有意义，[2x≠kπ+π2]，即[x≠kπ2+π4]，[k∈Z].
[∴2tanx1-tan2x=2tanx]不是等价变形.
正解[y=2tanx1-tan2x]的周期是[π]．
点拨求三角函数的周期时也必须考虑函数的定义域，否则会造成错解．
例10求函数[y=|sinx|+|cosx|]的周期．
错解设[f(x)=y]，
[∵f(x+π)=|sin(x+π)|+|cos(x+π)|]
=[|sinx|+|cosx|=f(x)]，
[∴f(x)]的周期是[π]．
分析三角函数的周期与一般函数的周期不同，是指最小正周期．
正解法一：[∵y=|sinx|+|cosx|>0] [∴]函数[y]的周期与函数[y2=1+|sin2x|]的周期相同，而[y2=1+|sin2x|]的周期为[π2]，所以函数[y=|sinx|+|cosx|]的周期为[π2]．
法二：设[f(x)=|sinx|+|cosx|]
[∵f(x+π2)=|sin(x+π2)|+|cos(x+π2)|]
[=|cosx|+|sinx|=f(x), x∈R,]
且[π2]是满足[f(x+T)=f(x)]的最小正数[T]，
[∴]函数[f(x)]的最小正周期为[π2.]
点拨求出三角函数的正周期后，还要看看有没有更小的正周期，注意诱导公式的运用．