“无棱”二面角解法探求

• 作 者: 杨启琴
• 出 处: 青年与社会·教育版
• 发表日期: 2010年7期

　　某些特殊图形中二面角的两个面有时只给出一个公共点,因而二面角的棱未明确,此类问题俗称“无棱”二面角。
　　解决此类问题通常有以下三种方法:
　　一、“延伸法”
　　此种方法是常延伸得到两平面的交线,进而作出其平面角。
　　例1如图,设正方体ABCD—A1 B1 C1D1中,E为A A1的中点,
　　求平面B1DE和底面ABCD所成二面角的大小。
　　解:延长B1E和AB交于F,连结DF,
　　 则DF就是所求二面角的棱
　　 E是A A1的中点,故B1E=EF,
　　 AF= A1 B1 =CD
　　 四边形FACD为平行四边形
　　 DF//CA,而CA BD, DF BD
　　又 B1B 平面ABCD故B1B DF
　　 B1DB是二面角的平面角,
　　 在Rt B1BD中, B1DB==,
　　B1DB=,
　　 平面B1DE与底面ABCD所二面角为。
　　例2如图,四棱锥P-ABCD的顶点为P,PA 平面ABCD,四边形ABCD为正方形设PA=AB= ,求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小。
　　解:过点P作PQ平行且等于AB,
　　 AB平行且等于CD, PQ平行且等于CD。
　　 PQ就是平面PAB与平面PCD的交线
　　 PA ABPA PQ
　　又 PA 平面ABCD,CD AD,
　　 CD PD(三垂线定理)
　　 PD PQ
　　DPA就是平面PAB与PCD所成二面角的平面角
　　 PA=AB=AD,PA ADDPA=45°
　　即平在PAB与平面PCD所成的二面角是45°
　　二、射影面积法
　　射影面积公式 = ,其中 为二面角的平面角, 是一个面积为S的平面图形在另一个平面内的射影面积。
　　例3如图,在正方体ABCD—A1 B1 C1 D1中,E、F分别是BC、
　　AA1的中点,求平面B1EF和底面A1B1 C1D1所成二面角的大小。
　　解:在平面B1 C1CB中作EE1B1 C1,
　　则 B1 E1A1为 B1 EF在底面A1B1 C1D1内的射影,
　　设正方体的棱长为 ,则B1E=B1F= ,EF=
　　B1 EF=2
　　而 B1 E1A1=A1 B1 •B1E1=2
　　设平面B1EF与底面A1 B1 C1 D1所成的二面角为 ,
　　根据射影面积公式得
　　三、向量法
　　利用二面角两个面的方法向量的夹角与二面角相等或互补求之。
　　例4如图 ,四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形,SD垂直于底面ABCD,SB= 。
　　求面ASD与面BSC所成二面角的大小。
　　解: AD DCSD 平面AC
　　 SD AD SD DC
　　可以建立空间直角坐标系D— 系
　　正方形ABCD的边长为1,
　　 DB= ,而SB= , SD=1
　　S(0,0,1)A(1,0,0)
　　B(1,1,0)C(0,1,0)
　　 平面SBC与 轴平行,
　　 又设它的一个法向量为 =
　　 又=(0,-1,1),由 • =0,得(0,1,-1)• =0
　　 令
　　 =(0,1,1) 因此,平面SDA的一个法向量为 =(0,1,0)
　　 ()= = =
　　 平面ASD与平面BSC所成二面角的大小为45°