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圆在初中数学体系中处在核心的地位,在初中数学的教学和学习中既是重点又是难点,在历届中考试题中占有相当大比重,占总分值的20℅左右,常出现在选择题、填空题、作图题、证明题以及计算题中。它既有相对独立的知识内容体系,又常与三角形、方程、函数图像等结合,内容丰富,综合性强,已成每年各省市中考的必考压轴题。
笔者在多年的教学实践中,经过与同行的交流合作,探究出有关圆的作辅助线的几种方法,现将其总结归类,供读者参考。
有关圆的辅助线的常规作法有以下四大类:
一、“圆——线”型辅助线常规作法:
“圆——线”型指以圆及圆的重点线段的结合为图形模型,以圆及相关重点线段为构成要素,已知圆的某些性质特征及线段的特点,求圆及线段的其他特征,常见线段有:直径、弦(非直径)、半径、弦心距、切线和割线等。
例如,已知:如图3,⊙O的半径为5,AB所对的圆心角为120°,则弦AB的长是多少?
解析:过点O作AB的垂线与AB相交于点E。因为∠AOB=120°,所以∠AOE=60°,AE=AOsin60°=5× = 所以AB=2AE=2× =
又如,已知:如图,A是以EF为直径的半圆上的一点,作AG⊥EF交EF于G,又B为AG上一点,EB的延长线交半圆于点K,
求证:
证明,连结AF,AK
∵EF是直径
∴∠EAF=90°
又∵AG⊥EF
∴∠AFE=∠GAE
又∵∠AKE=∠AFE
∴∠AKE=∠EAG
∠AEK=∠AEB
∴△AEB∽△KEA
二、“圆——角”型辅助线的常规作法:
“圆——角型”即以圆及圆内特殊角构成几何图形模型,其角一般包括圆心角、圆周角、弦切角、园内角、圆外角等,
如图,AB在⊙O的直径,点D在AB的延长线上,且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°.
(1) CD是⊙O的切线吗?说明你的理由;
证明:∵∠CAB=30°
.∴∠COB=60°
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=60°
∴CB=OB
又∵BD=OB
∴∠ODC=∠DCB=30°
∵∠OCB=60°
∴∠DCO+∠OCB=30°+60°=90°
∴CD是圆的切线
已知:如图,△ABC内接于⊙O,AE是⊙O的直径,CD是△ABC中AB边上的高,
求证:AC•BC=AE•CD
证明,连结EC,
∵AE是直径
∴∠ACE=∠D=90°
又∵∠B=∠E
∴△BDC∽△ECA
∴
即AC•BC=AE•CD
三、“圆——圆——线”型辅助线作法:
这种图形的组成元素包括两个圆及相关重点直线(如公切线、连心线、公共弦等)
如图,两等圆⊙O1和⊙O2相外切,过O1作⊙O2的两条切线O1A、O1B,A、B是切点,则∠A O1B等于(B)
A.90° B.60°C.45°D.30°
解析:如右图所示,分别连接O1O2, O2A, O2B ,O2A⊥O1A, ∠O1AO2=900, 在Rt△O1AO2中,O1O2=2 O2A所以∠AO1O2=30°,所以∠A O1B等于60°。
四、“圆——三角形”型,这类图形一般由圆和与直径相关的直角三角形与半径相关的等腰三角形构成:
已知:如图,平面直角坐标系中,半圆的直径AB在x轴上,圆心为D.半圆交y轴于点C,AC=2 ,BC=4 .
(1)证明:△AOC∽△ACB;
(2)求以AO、BO两线段长为根的一元二次方程;
(3)求图象经过A、B、C三点的二次函数的表达式;
(4)设此抛物线的顶点为E,连接EC,试判断直线EC与⊙O的位置关系,并说明理由.
(1)证明:∵AB为半圆O的直径, ∴∠ACB=90°.∴∠AOC=∠ACB, ∠CAO=∠BAC .
∴△AOC∽△ACB .
(2)AB= =10,
∵△AOC∽△ACB, ∴ .∴AO= =2, BO=AB-AO=10-2=8.
∴以AO、BO两线段长为根的一元二次方程为x2-10x+16=0.
(3)在Rt△AOC中,OC=4, ∴A(-2,0) , B(8,0), C(0,4).
设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0), 依题意有:
∴ ∴
表达式为:y=- x2+ x+4.
(4)直线EC与⊙D相切,理由如下:
∵
∴顶点E的坐标为(3, ). 连接EC、CD、ED,则CD=AD=5,ED= .
∴CF=3,EF= ,CE= .
∴CD2+CE2= ,DE2= .
∴CD2+CE2=DE2 . ∴∠DCE=90°,CD为半径.
∴直线EC与⊙D的位置关系是相切.
以几种类型,综合探究了圆的常见几种辅助线的作法,但由于圆的题型复杂多样,综合性较强,要熟练掌握这些辅助线的添加方法,还需要善于思考,多加练习,长期积累,勤于总结。这样才能触类旁通,形成一套完整的解题方法。
笔者在多年的教学实践中,经过与同行的交流合作,探究出有关圆的作辅助线的几种方法,现将其总结归类,供读者参考。
有关圆的辅助线的常规作法有以下四大类:
一、“圆——线”型辅助线常规作法:
“圆——线”型指以圆及圆的重点线段的结合为图形模型,以圆及相关重点线段为构成要素,已知圆的某些性质特征及线段的特点,求圆及线段的其他特征,常见线段有:直径、弦(非直径)、半径、弦心距、切线和割线等。
例如,已知:如图3,⊙O的半径为5,AB所对的圆心角为120°,则弦AB的长是多少?
解析:过点O作AB的垂线与AB相交于点E。因为∠AOB=120°,所以∠AOE=60°,AE=AOsin60°=5× = 所以AB=2AE=2× =
又如,已知:如图,A是以EF为直径的半圆上的一点,作AG⊥EF交EF于G,又B为AG上一点,EB的延长线交半圆于点K,
求证:
证明,连结AF,AK
∵EF是直径
∴∠EAF=90°
又∵AG⊥EF
∴∠AFE=∠GAE
又∵∠AKE=∠AFE
∴∠AKE=∠EAG
∠AEK=∠AEB
∴△AEB∽△KEA
二、“圆——角”型辅助线的常规作法:
“圆——角型”即以圆及圆内特殊角构成几何图形模型,其角一般包括圆心角、圆周角、弦切角、园内角、圆外角等,
如图,AB在⊙O的直径,点D在AB的延长线上,且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°.
(1) CD是⊙O的切线吗?说明你的理由;
证明:∵∠CAB=30°
.∴∠COB=60°
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=60°
∴CB=OB
又∵BD=OB
∴∠ODC=∠DCB=30°
∵∠OCB=60°
∴∠DCO+∠OCB=30°+60°=90°
∴CD是圆的切线
已知:如图,△ABC内接于⊙O,AE是⊙O的直径,CD是△ABC中AB边上的高,
求证:AC•BC=AE•CD
证明,连结EC,
∵AE是直径
∴∠ACE=∠D=90°
又∵∠B=∠E
∴△BDC∽△ECA
∴
即AC•BC=AE•CD
三、“圆——圆——线”型辅助线作法:
这种图形的组成元素包括两个圆及相关重点直线(如公切线、连心线、公共弦等)
如图,两等圆⊙O1和⊙O2相外切,过O1作⊙O2的两条切线O1A、O1B,A、B是切点,则∠A O1B等于(B)
A.90° B.60°C.45°D.30°
解析:如右图所示,分别连接O1O2, O2A, O2B ,O2A⊥O1A, ∠O1AO2=900, 在Rt△O1AO2中,O1O2=2 O2A所以∠AO1O2=30°,所以∠A O1B等于60°。
四、“圆——三角形”型,这类图形一般由圆和与直径相关的直角三角形与半径相关的等腰三角形构成:
已知:如图,平面直角坐标系中,半圆的直径AB在x轴上,圆心为D.半圆交y轴于点C,AC=2 ,BC=4 .
(1)证明:△AOC∽△ACB;
(2)求以AO、BO两线段长为根的一元二次方程;
(3)求图象经过A、B、C三点的二次函数的表达式;
(4)设此抛物线的顶点为E,连接EC,试判断直线EC与⊙O的位置关系,并说明理由.
(1)证明:∵AB为半圆O的直径, ∴∠ACB=90°.∴∠AOC=∠ACB, ∠CAO=∠BAC .
∴△AOC∽△ACB .
(2)AB= =10,
∵△AOC∽△ACB, ∴ .∴AO= =2, BO=AB-AO=10-2=8.
∴以AO、BO两线段长为根的一元二次方程为x2-10x+16=0.
(3)在Rt△AOC中,OC=4, ∴A(-2,0) , B(8,0), C(0,4).
设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0), 依题意有:
∴ ∴
表达式为:y=- x2+ x+4.
(4)直线EC与⊙D相切,理由如下:
∵
∴顶点E的坐标为(3, ). 连接EC、CD、ED,则CD=AD=5,ED= .
∴CF=3,EF= ,CE= .
∴CD2+CE2= ,DE2= .
∴CD2+CE2=DE2 . ∴∠DCE=90°,CD为半径.
∴直线EC与⊙D的位置关系是相切.
以几种类型,综合探究了圆的常见几种辅助线的作法,但由于圆的题型复杂多样,综合性较强,要熟练掌握这些辅助线的添加方法,还需要善于思考,多加练习,长期积累,勤于总结。这样才能触类旁通,形成一套完整的解题方法。