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高中数学新教材必修5第三章《数列》中有一个研究性课题：“购房与数学”，主要研究的是购房中的“分期付款问题”，是利用等比数列求和这些数学知识解决生活中的实际问题。学生在把实际问题转化为数学问题以及数学建模过程中都存在相当大的困难，这就要求教师在教学过程中务必结合学生实际，注意调整教学思路，根据学生的思维现状，从学生最初的错误思维出发，不断地调整深化，培养学生的思维能力和解决实际问题的能力。这是研究性学习的一个很好的素材，
例1：购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款的方法，每期付款数相同，购买后1个月第一次付款，再过一个月第二次付款，如此下去，共付款5次还清。如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少？（精确到1元）。
我归纳了我的学生的解法，大概有以下几种思维方法：
[思维一] 为数不少的学生认为买5000元商品，付款5次还清，则每次付款1000元即可。
学生的这种思维，显然是错误的，商家是否吃亏了？这时学生的思维立刻活跃起来，普遍认为每次付1000元是不对的。他们认真思考讨论后认为，和一次性付款比较，商家确实吃亏了。因为把钱存入银行肯定有利息，经商要产生效益，因此5000元必须考虑利息。按题意，以月利率0.8%，按复利计算，那么5个月后5000元的价值应该是5000（1＋0.8%）5元。
[思维二] 在理解了商家的5000元钱要算利息而且要按复利计算后，许多学生开始认识到问题的复杂性，这时有相当一部分学生提出每月应付款5000(1＋0.8%)5÷5（元）。
出现这种想法对于高中的学生来说是很自然的，这说明学生的思维是自然的，但也是单纯的。对这种算法，教师不要立刻否定，而是要再做进一步的分析，适时调整学生思维，以培养学生思维的深刻性。这时教师可以这样引导：这样付款商家当然不吃亏，但是如果是你去买东西，这样付款你是否吃亏了呢？
问题提出后学生议论纷纷，普遍认为顾客吃亏了，因为顾客每一次还的钱也应该计算利息。于是有了第三种思维：
[思维三] 学生认识到若商家的5000元折算成5个月后的钱要计算5个月的利息，那么顾客第一次还的钱也应计算4个月利息，第二次还的钱应计算3个月利息，第三次还的钱应计算2个月利息，第四次还的钱应计算1个月利息，最后一次把钱还清。这时可以说学生彻底搞懂了问题的来龙去脉，明白了钱是增值的，不管是商家的还是顾客的都要算利息。于是可得以下几种解法：
解法一：设每月还款x元，则到欠款还清时，5次款总额为：x(1＋0.8%)4＋x(1＋0.8%)3＋x(1＋0.8%)2＋x(1＋0.8%)＋x（元 ）。5000元的本利和为5000(1＋0.8%)5（元）。则应列出方程x(1＋0.8%)4＋x(1＋0.8%)3＋x(1＋0.8%)2＋（1＋0.8%）＋x=5000(1＋0.8%)5
解这个方程得x≈1024（元）。
答：每期付款1024元。
教师进一步引导：钱是增值的，钱能变钱。解法一是把欠款和还款计算利息折算成5个月后的钱考虑的，能否把还款折算成现在的钱来考虑呢？
解法二：设每月还款x元，则第一个月所还的x元折算成现在的钱应为 元，第二个月所还的x元折算成现在的钱为 元，第三个月所还的x元折算成现在的钱应为 元，第四个月所还的x元折算成现在的钱应 元，第五个月所还的x元折算成现在的钱应为 元，于是有：
解这个方程得：x≈1024（元）。
教师再进一步引导：本题还有其他解法吗？是不是可以通过计算欠款的办法来解决呢？
解法三：设每月还款x元，则购买1个月后的欠款数为：5000（1＋0.8%）－x=5000×1.008－x，购买2个月后的欠款数为：（5000（1＋0.8%）－x）×1.008－x=5000×1.0082－1.008x－x……
则购买5个月后的欠款数为：
5000×1.0085－1.0084x－1.0083x－1.0082x－1.008x－x，又购买5个月后欠款全部还清，欠款为零，故有5000×1.0085－1.0084x－1.0083x－1.0082x－1.008x－x=0，解这个方程得：x≈1024（元）。
至此，这个问题基本上得到了解决。紧接着我们又对分期付款的一般性问题进行了探究：
一般地，购买一件售价为a元的商品，采用分期付款的方法，每期付款数相同，要求在m个月内将款全部付清，月利率为p，分n次付款（n是m的约数），求每次付款的计算公式。
课堂上，我们对教材中提出的分期付款问题进行了全面的研究，使得学生明白了分期付款的计算方法，弄清了复利计算的含义，理解了售价及每期付款的增值规律，掌握了利用等比数列解决分期付款中求每期付款的计算方法。
分期付款这种运用方式在今天的商业活动中应用日益广泛，那些实际问题采用分期付款比较划算？在分期付款的多种方案中，那种方案最佳？商家采用的分期付款和课本中介绍的分期付款到底有多大的距离？实际问题的分期付款是否只有复利计算等等。我要求学生带着这些问题走出课堂，进行大量的社会调查，获得课本上、课堂上和老师那儿得不到的知识和办法，使得他们的思维能力和解决实际问题的能力不断提高。也使学生明白解决“分期付款问题”所用的方法可以推广到其他实际问题中去，如木材砍伐，人口增长，等等。如果我们在“研究性课题”教学中经常这样培养学生的思维，调整学生思维定势，使学生思维进一步深化，可以不断提高学生分析和解决实际问题的能力。
例1：购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款的方法，每期付款数相同，购买后1个月第一次付款，再过一个月第二次付款，如此下去，共付款5次还清。如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少？（精确到1元）。
我归纳了我的学生的解法，大概有以下几种思维方法：
[思维一] 为数不少的学生认为买5000元商品，付款5次还清，则每次付款1000元即可。
学生的这种思维，显然是错误的，商家是否吃亏了？这时学生的思维立刻活跃起来，普遍认为每次付1000元是不对的。他们认真思考讨论后认为，和一次性付款比较，商家确实吃亏了。因为把钱存入银行肯定有利息，经商要产生效益，因此5000元必须考虑利息。按题意，以月利率0.8%，按复利计算，那么5个月后5000元的价值应该是5000（1＋0.8%）5元。
[思维二] 在理解了商家的5000元钱要算利息而且要按复利计算后，许多学生开始认识到问题的复杂性，这时有相当一部分学生提出每月应付款5000(1＋0.8%)5÷5（元）。
出现这种想法对于高中的学生来说是很自然的，这说明学生的思维是自然的，但也是单纯的。对这种算法，教师不要立刻否定，而是要再做进一步的分析，适时调整学生思维，以培养学生思维的深刻性。这时教师可以这样引导：这样付款商家当然不吃亏，但是如果是你去买东西，这样付款你是否吃亏了呢？
问题提出后学生议论纷纷，普遍认为顾客吃亏了，因为顾客每一次还的钱也应该计算利息。于是有了第三种思维：
[思维三] 学生认识到若商家的5000元折算成5个月后的钱要计算5个月的利息，那么顾客第一次还的钱也应计算4个月利息，第二次还的钱应计算3个月利息，第三次还的钱应计算2个月利息，第四次还的钱应计算1个月利息，最后一次把钱还清。这时可以说学生彻底搞懂了问题的来龙去脉，明白了钱是增值的，不管是商家的还是顾客的都要算利息。于是可得以下几种解法：
解法一：设每月还款x元，则到欠款还清时，5次款总额为：x(1＋0.8%)4＋x(1＋0.8%)3＋x(1＋0.8%)2＋x(1＋0.8%)＋x（元 ）。5000元的本利和为5000(1＋0.8%)5（元）。则应列出方程x(1＋0.8%)4＋x(1＋0.8%)3＋x(1＋0.8%)2＋（1＋0.8%）＋x=5000(1＋0.8%)5
解这个方程得x≈1024（元）。
答：每期付款1024元。
教师进一步引导：钱是增值的，钱能变钱。解法一是把欠款和还款计算利息折算成5个月后的钱考虑的，能否把还款折算成现在的钱来考虑呢？
解法二：设每月还款x元，则第一个月所还的x元折算成现在的钱应为 元，第二个月所还的x元折算成现在的钱为 元，第三个月所还的x元折算成现在的钱应为 元，第四个月所还的x元折算成现在的钱应 元，第五个月所还的x元折算成现在的钱应为 元，于是有：
解这个方程得：x≈1024（元）。
教师再进一步引导：本题还有其他解法吗？是不是可以通过计算欠款的办法来解决呢？
解法三：设每月还款x元，则购买1个月后的欠款数为：5000（1＋0.8%）－x=5000×1.008－x，购买2个月后的欠款数为：（5000（1＋0.8%）－x）×1.008－x=5000×1.0082－1.008x－x……
则购买5个月后的欠款数为：
5000×1.0085－1.0084x－1.0083x－1.0082x－1.008x－x，又购买5个月后欠款全部还清，欠款为零，故有5000×1.0085－1.0084x－1.0083x－1.0082x－1.008x－x=0，解这个方程得：x≈1024（元）。
至此，这个问题基本上得到了解决。紧接着我们又对分期付款的一般性问题进行了探究：
一般地，购买一件售价为a元的商品，采用分期付款的方法，每期付款数相同，要求在m个月内将款全部付清，月利率为p，分n次付款（n是m的约数），求每次付款的计算公式。
课堂上，我们对教材中提出的分期付款问题进行了全面的研究，使得学生明白了分期付款的计算方法，弄清了复利计算的含义，理解了售价及每期付款的增值规律，掌握了利用等比数列解决分期付款中求每期付款的计算方法。
分期付款这种运用方式在今天的商业活动中应用日益广泛，那些实际问题采用分期付款比较划算？在分期付款的多种方案中，那种方案最佳？商家采用的分期付款和课本中介绍的分期付款到底有多大的距离？实际问题的分期付款是否只有复利计算等等。我要求学生带着这些问题走出课堂，进行大量的社会调查，获得课本上、课堂上和老师那儿得不到的知识和办法，使得他们的思维能力和解决实际问题的能力不断提高。也使学生明白解决“分期付款问题”所用的方法可以推广到其他实际问题中去，如木材砍伐，人口增长，等等。如果我们在“研究性课题”教学中经常这样培养学生的思维，调整学生思维定势，使学生思维进一步深化，可以不断提高学生分析和解决实际问题的能力。