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《数学课程标准》把初中几何内容作为《数学》的“空间与图形”编排，这不仅淡化了“几何”与“代数”的人为界限，更是凸显了几何研究的对象和特性。既然几何研究的是“空间与图形”，那么学习方法就应当从图形入手，训练画图、识图、变图，克服学生在“图外”、“题外”徘徊、观望、畏缩的现象。让学生的思维和智慧“走进”空间与图形的迷宫，达到游刃有余，锻炼和提高空间想象、几何审美、逻辑思维、解决问题和探究创新等方面的能力。
一、 练图学概念
几何概念是几何学习的基石。应让学生用眼、手、脑感知、体会概念的内涵，而不是死记硬背定义的文字叙述，或者只能说出概念名称，而不知为何物。在教学“垂线”时，为了使学生会画垂线，会判断垂直，我设计了以下画图练习：
(1) 在图1中画出直线a的三条垂线（实线为先画的线，虚线为后画的线，下同）
(2) 在图2中画出与直线a垂直的直线。
(3) 在图3中分别过点A、B、C画出直线m的垂线。
(4) 分别画出87°、88°、89°、90°、91°、92°、93°的角，并观察、比较大小。
(5) 判断：图4中哪条直线与直线l垂直？
通过以上画图训练，学生在操作、观察的过程中，对垂直、垂线的概念形成了较为深刻的体验和认识，实现了对抽象概念的自然内化，提高了画图能力和识图、辨图能力。
二、作图探定理
学生的学习方式正经历着重大变革，自主学习、探究学习、合作学习已为广大师生认可和实践。许多几何定理可以让学生通过画图，自主探究，合作交流，得出属于“自己的”结论。
在学习“平行四边形的判定”时，我先作如下引导：什么叫平行四边形？平行四边形的边、角、对角线有什么性质？还能根据别的条件来判断一个四边形是平行四边形吗？能否仿照它的定义（两组对边分别平行的四边形叫平行四边形），从性质中选取一些“足够而不多余”的条件，来判定平行四边形？要求学生不要急于回答，进行分组探讨：先选定若干条件，再作出满足条件的四边形，“观察”是不是平行四边形，然后进行严格的证明。
许多小组把平行四边形的性质定理反过来，得到相应的逆命题，先作图判断，然后证明。
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（如图5）；
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（如图6）；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形（如图7）；
（4）有一个小组的结论是：“一组对角相等的四边形是平行四边形。”画法是：如图8，先作∠1，然后画∠2＝∠1，再画∠3＝∠2。从而∠1＝∠3。他们宣布：“只要满足∠1＝∠3，就是平行四边形。”
谁知“成果”一公布，就得到了其他小组的反驳：要是直接画成图9，还是平行四边形吗？
问题出在哪儿呢？全班开始了热烈的讨论，结果一个平常害羞的男生出语惊人：图8实际上画的是两组对边分别平行的四边形，具备两组对角都相等而并不是只有一组对角相等！（全班鼓掌）最后一致证明得出：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
我们知道，过程比结论更重要。学生的探究过程就是一种积极的思维过程，在忘我的探讨过程中会不断地迸射出精彩的思维火花。使学生运用已有的知识去大胆地画图、推测和实验，在肯定与否定的反复中逐步接近于真理，从而实现思维的质的飞跃。课堂上在画图探索新知的时候，有的学生不敢动手，那是需要老师的亲切鼓励和指引方向；有的学生的“作品”或结论十分荒唐，那可是蕴藏着童心和智慧的珍贵教学资源啊！只有敢于“错”的教学，才是成功的教学。
三、串图记定理
几何定理和推论很多，学生觉得难记难理解，或者学一个丢一个。其实有些定理之间存在着一定的内在联系，图形之间可以相互变通，串联成系列图形。引导学生深入联想、思考，可把一些几何定理象用线穿珍珠一样串联起来，将知识条理化、系统化。
例如从相交弦定理（如图10，有PA•PB=PC•PD）出发，弦AB、CD分别围绕点B、D旋转到交于圆外一点P时（如图11），得到割线定理，结论仍为PA•PB=PC•PD；当割线PAB绕点P向圆外旋转到与圆相切时（如图12），点A、B重合为切点M
有PA=PB=PM，上式变为PM2 =PC•PD，于是得到切割线定理；当割线PCD也绕点P向圆外旋转到与圆相切时（如图13），点C、D重合为切点N，有PC=PD=PN，上式变为PM2 =PN2 ，于是PM=PN，得到切线定理。看，这四个定理之间存在着血缘般的转化关系！
四、借图编习题
原题：如图14，直线m上有5个点：A1,A2,A3,A4,A5。图中共有几条线段？
此题对学生理解线段的概念有帮助，初学时很感兴趣。但如果以后的复习中多次做类似的题目（比如改变点的个数），就会失去激情。教学时可以一图多用，借图发挥，改编成“口味”新鲜的应用题：
改编1：往返于A1、A5两地的客车，中途停靠三个站：A2,A3,A4。求：（1）有多
少种不同的票价？（2）如果车票上要注明起点站与终点站，需准备多少种车票？
解：（1）将车站和三个停靠点看成直线m上的五个点，票价由路程的长短决定，即要找出图中有多少条不同的线段：4+3+2+1=10（条），故票价有10种。（2）由于同一段路，往返时起点和终点不同，所以要准备20种车票。
改编2：在一平直的公路m上有5个工厂：A1,A2,A3,A4,A5。要在m上建一个原料供应站，问：供应站设在何处，可使5个工厂与供应站距离的总和为最小？如果有6个工厂呢？
解：供应站应设在A3处，此时总距离s=A1A5+A2A4为最小。如果不设于A3,，而设于X处，则总距离为s，= A1A5+A2A4+A3X，显然s< s，
当有6个工厂：A1,A2,A3,A4,A5,A6时，供应站放在A3与A4之间的任何位置均可，其总距离为s=A1A6+A2A5+A3A4.
五、译图解难题
已知：S=|x-3|+|5-x|+|7-x|，则S的最小值是多少？（2000年希望杯数学竞赛题）
引导学生分析：由绝对值的几何意义可知，|x-a|等于数轴上分别表示数x、a的两点P、A的距离。
解：如图15，PA=|x-3|，PB=|5-x|，PC=|7-x|.则S=PA+PB+PC，当点P与点B重合时，S=AB+BC=2+2=4为最小。
此题根据绝对值的概念，把绝对值“翻译”成数轴上两点间的距离，数形结合，使学生很容易打开解题思路，起到了化难为易、化繁为简的作用。
六、变图深挖掘
几何图形象房屋建筑一样有主体结构和辅助部分。只有领会、把握了习题图形的结构原理，才算读懂了图，入了图形的“门”，从而拿到解题的“金钥匙”。有时还可“得寸进尺”，对图形或条件加以变换，深入发掘习题资源，达到一题多练，融会贯通的学习效果。
初中《几何》第三章有个复习题：
已知：如图16，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形。
求证：AN＝BM。
学生看到这个题目后普遍反映：题设简单，只有两个等边三角形，而题图复杂，线条多，三角形多，难以找到两个全等三角形及其全等的条件。我让学生各人自己再画出这个图形。先画什么，后画什么，由学生自己思考，有困难再提示。当学生弄清了图形的主体是线段AB同一旁的两个等边三角形后，画图变得轻松自如。面对着“自己的”图形，不会有陌生、畏难的感觉，解题思路就容易找到了。
问题解决后，教师再提问：如果等边△AMC、△CNB的边AC、CB不在同一直线上，还有结论AN＝BM吗？
学生很感兴趣地画出了变化的图形（如图17），并证得AN=BM仍然成立。同学1还发现△AMC绕点C“旋转”到任一位置，都有AN＝BM。同学2又发现△AMC绕点C“翻转”一下（如图18），就没有AN＝BM了。同学3马上提出了不同看法：在图16中△AMC沿着直线AB对折后仍然有AN＝BM！（如图19）
斯宾诺曾说过：“教育的目的应为教人如何思考，而非思考些什么。” 当然，对几何图形的训练、思考和运用，其方法还会有很多。总之，设法引导学生的思维在图形中畅游，我们的数学教学会“别有一番洞天”。这样做有利于培养学生的创新精神和求异思维品质，令人产生愉悦的成就感。同时学生极有可能找到几何学习的“感觉”，从此会一脚踏进几何王宫的大门！
（作者联通：425000湖南省江华县沱江中学）
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
一、 练图学概念
几何概念是几何学习的基石。应让学生用眼、手、脑感知、体会概念的内涵，而不是死记硬背定义的文字叙述，或者只能说出概念名称，而不知为何物。在教学“垂线”时，为了使学生会画垂线，会判断垂直，我设计了以下画图练习：
(1) 在图1中画出直线a的三条垂线（实线为先画的线，虚线为后画的线，下同）
(2) 在图2中画出与直线a垂直的直线。
(3) 在图3中分别过点A、B、C画出直线m的垂线。
(4) 分别画出87°、88°、89°、90°、91°、92°、93°的角，并观察、比较大小。
(5) 判断：图4中哪条直线与直线l垂直？
通过以上画图训练，学生在操作、观察的过程中，对垂直、垂线的概念形成了较为深刻的体验和认识，实现了对抽象概念的自然内化，提高了画图能力和识图、辨图能力。
二、作图探定理
学生的学习方式正经历着重大变革，自主学习、探究学习、合作学习已为广大师生认可和实践。许多几何定理可以让学生通过画图，自主探究，合作交流，得出属于“自己的”结论。
在学习“平行四边形的判定”时，我先作如下引导：什么叫平行四边形？平行四边形的边、角、对角线有什么性质？还能根据别的条件来判断一个四边形是平行四边形吗？能否仿照它的定义（两组对边分别平行的四边形叫平行四边形），从性质中选取一些“足够而不多余”的条件，来判定平行四边形？要求学生不要急于回答，进行分组探讨：先选定若干条件，再作出满足条件的四边形，“观察”是不是平行四边形，然后进行严格的证明。
许多小组把平行四边形的性质定理反过来，得到相应的逆命题，先作图判断，然后证明。
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（如图5）；
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（如图6）；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形（如图7）；
（4）有一个小组的结论是：“一组对角相等的四边形是平行四边形。”画法是：如图8，先作∠1，然后画∠2＝∠1，再画∠3＝∠2。从而∠1＝∠3。他们宣布：“只要满足∠1＝∠3，就是平行四边形。”
谁知“成果”一公布，就得到了其他小组的反驳：要是直接画成图9，还是平行四边形吗？
问题出在哪儿呢？全班开始了热烈的讨论，结果一个平常害羞的男生出语惊人：图8实际上画的是两组对边分别平行的四边形，具备两组对角都相等而并不是只有一组对角相等！（全班鼓掌）最后一致证明得出：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
我们知道，过程比结论更重要。学生的探究过程就是一种积极的思维过程，在忘我的探讨过程中会不断地迸射出精彩的思维火花。使学生运用已有的知识去大胆地画图、推测和实验，在肯定与否定的反复中逐步接近于真理，从而实现思维的质的飞跃。课堂上在画图探索新知的时候，有的学生不敢动手，那是需要老师的亲切鼓励和指引方向；有的学生的“作品”或结论十分荒唐，那可是蕴藏着童心和智慧的珍贵教学资源啊！只有敢于“错”的教学，才是成功的教学。
三、串图记定理
几何定理和推论很多，学生觉得难记难理解，或者学一个丢一个。其实有些定理之间存在着一定的内在联系，图形之间可以相互变通，串联成系列图形。引导学生深入联想、思考，可把一些几何定理象用线穿珍珠一样串联起来，将知识条理化、系统化。
例如从相交弦定理（如图10，有PA•PB=PC•PD）出发，弦AB、CD分别围绕点B、D旋转到交于圆外一点P时（如图11），得到割线定理，结论仍为PA•PB=PC•PD；当割线PAB绕点P向圆外旋转到与圆相切时（如图12），点A、B重合为切点M
有PA=PB=PM，上式变为PM2 =PC•PD，于是得到切割线定理；当割线PCD也绕点P向圆外旋转到与圆相切时（如图13），点C、D重合为切点N，有PC=PD=PN，上式变为PM2 =PN2 ，于是PM=PN，得到切线定理。看，这四个定理之间存在着血缘般的转化关系！
四、借图编习题
原题：如图14，直线m上有5个点：A1,A2,A3,A4,A5。图中共有几条线段？
此题对学生理解线段的概念有帮助，初学时很感兴趣。但如果以后的复习中多次做类似的题目（比如改变点的个数），就会失去激情。教学时可以一图多用，借图发挥，改编成“口味”新鲜的应用题：
改编1：往返于A1、A5两地的客车，中途停靠三个站：A2,A3,A4。求：（1）有多
少种不同的票价？（2）如果车票上要注明起点站与终点站，需准备多少种车票？
解：（1）将车站和三个停靠点看成直线m上的五个点，票价由路程的长短决定，即要找出图中有多少条不同的线段：4+3+2+1=10（条），故票价有10种。（2）由于同一段路，往返时起点和终点不同，所以要准备20种车票。
改编2：在一平直的公路m上有5个工厂：A1,A2,A3,A4,A5。要在m上建一个原料供应站，问：供应站设在何处，可使5个工厂与供应站距离的总和为最小？如果有6个工厂呢？
解：供应站应设在A3处，此时总距离s=A1A5+A2A4为最小。如果不设于A3,，而设于X处，则总距离为s，= A1A5+A2A4+A3X，显然s< s，
当有6个工厂：A1,A2,A3,A4,A5,A6时，供应站放在A3与A4之间的任何位置均可，其总距离为s=A1A6+A2A5+A3A4.
五、译图解难题
已知：S=|x-3|+|5-x|+|7-x|，则S的最小值是多少？（2000年希望杯数学竞赛题）
引导学生分析：由绝对值的几何意义可知，|x-a|等于数轴上分别表示数x、a的两点P、A的距离。
解：如图15，PA=|x-3|，PB=|5-x|，PC=|7-x|.则S=PA+PB+PC，当点P与点B重合时，S=AB+BC=2+2=4为最小。
此题根据绝对值的概念，把绝对值“翻译”成数轴上两点间的距离，数形结合，使学生很容易打开解题思路，起到了化难为易、化繁为简的作用。
六、变图深挖掘
几何图形象房屋建筑一样有主体结构和辅助部分。只有领会、把握了习题图形的结构原理，才算读懂了图，入了图形的“门”，从而拿到解题的“金钥匙”。有时还可“得寸进尺”，对图形或条件加以变换，深入发掘习题资源，达到一题多练，融会贯通的学习效果。
初中《几何》第三章有个复习题：
已知：如图16，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形。
求证：AN＝BM。
学生看到这个题目后普遍反映：题设简单，只有两个等边三角形，而题图复杂，线条多，三角形多，难以找到两个全等三角形及其全等的条件。我让学生各人自己再画出这个图形。先画什么，后画什么，由学生自己思考，有困难再提示。当学生弄清了图形的主体是线段AB同一旁的两个等边三角形后，画图变得轻松自如。面对着“自己的”图形，不会有陌生、畏难的感觉，解题思路就容易找到了。
问题解决后，教师再提问：如果等边△AMC、△CNB的边AC、CB不在同一直线上，还有结论AN＝BM吗？
学生很感兴趣地画出了变化的图形（如图17），并证得AN=BM仍然成立。同学1还发现△AMC绕点C“旋转”到任一位置，都有AN＝BM。同学2又发现△AMC绕点C“翻转”一下（如图18），就没有AN＝BM了。同学3马上提出了不同看法：在图16中△AMC沿着直线AB对折后仍然有AN＝BM！（如图19）
斯宾诺曾说过：“教育的目的应为教人如何思考，而非思考些什么。” 当然，对几何图形的训练、思考和运用，其方法还会有很多。总之，设法引导学生的思维在图形中畅游，我们的数学教学会“别有一番洞天”。这样做有利于培养学生的创新精神和求异思维品质，令人产生愉悦的成就感。同时学生极有可能找到几何学习的“感觉”，从此会一脚踏进几何王宫的大门！
（作者联通：425000湖南省江华县沱江中学）
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”